圆锥曲线的综合问题
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，
又因为e＝＝＝，所以a＝，
所以b2＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
由题意知AC的斜率为－，
所以|AC|＝＝.
|AC|＋|BD|＝4
8
＝≥
＝＝.
当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，
故|AC|＋|BD|的最小值为.
②当直线BD的斜率不存在或等于零时，
可得|AC|＋|BD|＝>.
综上，|AC|＋|BD|的最小值为.
2．已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2.
(2)已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|＝|GN|，求点G的横坐标的取值范围．
解 (1)由已知得
解得a2＝9，b2＝8，c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)，点G(m，0)，使得|GM|＝|GN|，
则GE⊥MN.
由得x2＋36kx－36＝0，
由Δ>0，得k∈R且k≠0.
∴x1＋x2＝－，
∴x0＝，y0＝kx0＋2＝.
∵GE⊥MN，∴kGE＝－，
即＝－，
8
∴m＝＝.
当k>0时，9k＋≥2＝12
，
∴－≤m0，
8
所以|PN|＝·
＝.
由可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x2＋x3＝，x2x3＝，
且Δ＝144k2＋144>0，
所以|MQ|＝·＝.
若＝2，
则＝2×，
解得k＝±.
故存在斜率为k＝±的直线l，使得＝2.
4．已知M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，且|F1F2|＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k，且k1k2＝k2.试探究|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
解 (1)由题意知，F1(－，0)，F2(，0)，
根据椭圆定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a，
所以2a＝ ＋
＝4，
所以a2＝4，b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C：＋y2＝1.
(2)设直线AB：y＝kx＋m(km≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝(8km)2－16(m2－1)(4k2＋1)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
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因为k1k2＝k2，所以·＝k2，
即km(x1＋x2)＋m2＝0(m≠0)，解得k2＝.
|OA|2＋|OB|2＝x＋x＋y＋y
＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＝5，
所以|OA|2＋|OB|2＝5.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|＝3|F2E|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解 (1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)．
∵|DF2|＝3|F2E|，可得＝3，
又＝(1，－b)，＝(x－1，y)，
∴代入＋＝1，
可得＋＝1，
又a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，
即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
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∴
根据H，A，M三点共线，可得＝，
∴yM＝.
同理可得yN＝，
∴M，N的坐标分别为，，
∴k1k2＝·＝yMyN
＝··
＝
＝
＝＝＝.
∴k1与k2之积为定值，且该定值是.
6．已知平面上动点P到点F的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1.
①设直线l与圆x2＋y2＝1交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；
②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程，并探究：若M(m，n)是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设P(x，y)，由题意，得＝.
整理，得＋y2＝1，
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
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(2)①圆心到直线l的距离d＝，
∵直线与圆有两个不同交点C，D，
∴|CD|2＝4.
又∵＋n2＝1(m≠0)，
∴|CD|2＝4.
∵|m|≤2，∴0
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