坐标系与参数方程
1．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是( )
A．ρ＝2 B．θ＝ C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2
解析 先将极坐标化成直角坐标表示，化为(0，2)，过(0，2)且平行于x轴的直线为y＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D.
答案 D
2．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
解 (1)y2＝2ax，y＝x－2.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，
代入y2＝2ax，得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，
∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，
即a2＋3a－4＝0.解得a＝1或a＝－4(舍去)．
19．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin＝t(t为参数)．
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(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；
(2)若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：＋为定值，并求出这个定值．
解 (1)将点P代入曲线E的方程，
得
解得a2＝3，
所以曲线E的普通方程为＋＝1，
极坐标方程为ρ2＝1.
(2)不妨设点A，B的极坐标分别为
A(ρ1，θ)，B，ρ1>0，ρ2>0，
则
即
所以＋＝，即＋＝，
所以＋为定值.
29．已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ为参数)．
(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝的距离的最小值．
解 (1)点P的直角坐标为，
由ρ＝2cos，
得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，①
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y代入①，
可得曲线C的直角坐标方程为
2＋2＝1.
(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝的直角坐标方程为2x＋4y－＝0，
设点Q的直角坐标为，
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则M，
∴点M到直线l的距离
d＝
＝
＝，其中tan φ＝.
∴d≥＝(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，
∴点M到直线l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝的距离的最小值为.
30．已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为ρcos(θ－α)＝2sin(θ为参数)．
(1)求证：l1⊥l2；
(2)设点A的极坐标为，P为直线l1，l2的交点，求|OP||AP|的最大值．
(2)解 当ρ＝2，θ＝时，
ρcos(θ－α)＝2cos＝2sin，
所以点A在直线ρcos(θ－α)＝2sin上．
设点P到直线OA的距离为d，由l1⊥l2可知，d的最大值为＝1.
于是|OP||AP|＝d·|OA|＝2d≤2，
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所以|OP||AP|的最大值为2.
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