数列的求和问题
1．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的两根，则b10等于( )
A．24 B．32
C．48 D．64
答案 D
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1＋m，且a1，a4，a5－2成等差数列，bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则满足Tn>的最小正整数n的值为( )
A．11 B．10 C．9 D．8
答案 B
解析 根据Sn＝2n＋1＋m可以求得an＝
所以有a1＝m＋4，a4＝16，a5＝32，
根据a1，a4，a5－2成等差数列，
可得m＋4＋32－2＝32，从而求得m＝－2，
所以a1＝2满足an＝2n，
从而求得an＝2n(n∈N*)，
所以bn＝＝
＝－，
所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－，
令1－>，整理得2n＋1>2 019，
解得n≥10.
3．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n(n∈N*)，则S100等于( )
6
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
答案 D
解析 由＝＋2n，得－＝2n，
则－＝2n－1，－＝2n－2，…，－＝21，
将各式相加得－＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
又a1＝，所以an＝n·，
因此S100＝1×＋2×＋…＋100×，
则S100＝1×＋2×＋…＋99×＋100×，
两式相减得S100＝＋＋＋…＋－100×，
所以S100＝2－99－100·100＝2－.
押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循．
答案 1
解析 因为an＝＝＝－，
所以Sn＝＋＋…＋
＝1－，
由于1－0，
所以ln an＋1＝3ln an，
6
数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以ln an＝3n－1，an＝e3n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝(2n－1)ln an＝(2n－1)·3n－1，
Tn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，①
3Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，②
①－②，得－2Tn＝1＋2(31＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n
＝1＋2×－(2n－1)×3n＝－2(n－1)×3n－2.
所以Tn＝(n－1)×3n＋1(n∈N*)．
10．在等比数列{an}中，首项a1＝8，数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，又设数列的前n项和为Tn，求证：Tn0，∴2bn＋1＝bn，
∴q＝，b3＝b1q2＝，
∴b1＝1，bn＝n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得cn＝(2n－1)n－1，
Tn＝1＋3×＋5×2＋…＋(2n－1)n－1，
Tn＝1×＋3×2＋…＋(2n－3)n－1＋(2n－1)×n，
两式相减，得Tn＝1＋2×＋2×2＋…＋2×n－1－(2n－1)×n
＝1＋2－(2n－1)×n
＝3－n－1.
∴Tn＝6－n－1(2n＋3)(n∈N*)．
13．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}满足nbn＋1－(n＋1)bn＝n(n＋1)(n∈N*)，且b1＝1，
(1)证明数列为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若cn＝(－1)n－1，求数列{cn}的前2n项和T2n；
(3)若dn＝an·，数列的前n项和为Dn，对任意的n∈N*，都有Dn≤nSn－a，求实数a的取值范围．
解 (1)由nbn＋1－(n＋1)bn＝n(n＋1)两边同除以n(n＋1)，
得－＝1，
从而数列为首项＝1，公差d＝1的等差数列，
所以＝n(n∈N*)，
数列{bn}的通项公式为bn＝n2.
当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1.
当n≥2时，Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1，
两式相减得an＝2an－1，
6
又a1＝1≠0，所以＝2，
从而数列{an}为首项a1＝1，公比q＝2的等比数列，
从而数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(3)由(1)得dn＝an＝n·2n－1，
Dn＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
2Dn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.
两式相减得－Dn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n，
所以Dn＝(n－1)·2n＋1，
由(1)得Sn＝2an－1＝2n－1，
因为对∀n∈N*，都有Dn≤nSn－a，
即(n－1)·2n＋1≤n－a恒成立，
所以a≤2n－n－1恒成立，
记en＝2n－n－1，所以a≤min，
因为en＋1－en＝－＝2n－1>0，从而数列为递增数列，
所以当n＝1时，en取最小值e1＝0，于是a≤0.
6
微信/支付宝扫码支付