数列的综合问题
1．删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( )
A．2 062 B．2 063
C．2 064 D．2 065
答案 B
解析 由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第k个平方数与第k＋1个平方数之间有2k个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原来数列的第2 063项，即为2 063.
2．已知数列{an}满足060.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则( )
A．an≥2n＋1 B．Sn≥n2
C．an≥2n－1 D．Sn≥2n－1
答案 B
4
解析 由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，…，
an－an－1≥2，
∴a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1≥2(n－1)，
∴an－a1≥2(n－1)，∴an≥2n－1.
∴a1≥1，a2≥3，a3≥5，…，an≥2n－1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1，
∴Sn≥(1＋2n－1)＝n2.
4．数列{an}满足a1＝，an＝(n∈N*)，若对n∈N*，都有k>＋＋…＋成立，则最小的整数k是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
5．已知f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4,6,12，则f(12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f(21)＝21，那么(i)的值为( )
A．2 488 B．2 495 C．2 498 D．2 500
答案 D
解析 由f(n)的定义知f(n)＝f(2n)，且若n 为奇数则f(n)＝n，
4
则(i)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(100)
＝1＋3＋5＋…＋99＋f(2)＋f(4)＋…＋f(100)
＝＋f(1)＋f(2)＋…＋f(50)
＝2 500＋(i)，
∴(i)＝(i)－(i)＝2 500.
6．若数列{an}满足－＝1，且a1＝5，则数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为( )
A．42 B．40 C．30 D．20
答案 B
解析 ∵数列{an}满足－＝1，
即－＝1，且＝1，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝n，
②由①得bn＝n－2，
从而cn＝＋n·2n－2.
记C1＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝，
记C2＝1·2－1＋2·20＋…＋n·2n－2，
则2C2＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，
两式相减得C2＝(n－1)·2n－1＋，
从而Tn＝＋(n－1)·2n－1＋
＝＋(n－1)·2n－1，
则不等式Tn9，
4
从而最小正整数n的值是10.
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－n＝2(an－2)(n∈N*)．
(1)证明：数列{an－1}为等比数列；
(2)若bn＝an·log2(an－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.
(1)证明 ∵Sn－n＝2(an－2)，
当n≥2时，Sn－1－(n－1)＝2(an－1－2)，
两式相减，得an－1＝2an－2an－1，
∴an＝2an－1－1，∴an－1＝2(an－1－1)，
∴＝2(n≥2)(常数)．
又当n＝1时，a1－1＝2(a1－2)，
得a1＝3，a1－1＝2，
∴数列{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知，an－1＝2×2n－1＝2n，
∴an＝2n＋1，
又bn＝an·log2(an－1)，
∴bn＝n(2n＋1)，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)，
设An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，
则2An＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，
两式相减，得
－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1
＝－n×2n＋1，
∴An＝(n－1)×2n＋1＋2.
又1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Tn＝(n－1)×2n＋1＋2＋(n∈N*)．
4
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