空间中的平行与垂直
1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；
③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.
则以上说法中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 对于①，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于③，α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，正确；对于④，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交．故选B.
2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
答案 D
解析 由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；
图②中GH与MN异面，符合题意；
图③中GH与MN相交，不合题意；
图④中GH与MN异面，符合题意．
则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为②④.
3．给出下列四个命题：
①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；
10
②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
4．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β
C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2
答案 D
解析 对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.
5．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )
10
A. B.
C. D.
答案 B
解析 如图所示，
分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，NE，A1N，A1M，
∵M，N，E，F分别为所在棱的中点，
∴MN∥BC1，EF∥BC1，
∴MN∥EF，
又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN∥平面AEF.
∵AA1∥NE，AA1＝NE，
∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N∥AE，
又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N∥平面AEF，
又A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，
∴平面A1MN∥平面AEF.
(2)求三棱锥N－PCE的体积．
(1)证明 取A1E的中点F，连接MF，CF，
∵ M为棱A1D的中点，
10
∴MF∥DE且MF＝DE，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∴MF∥BC，即MF∥NC，
且MF＝BC＝NC，
∴四边形MFCN为平行四边形，
∴MN∥FC，
∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，
∴MN∥平面A1EC.
(2)解 取BD的中点H，连接PH，
则PH为△A1BD的中位线，
∴PH∥A1D，
∵在△ABC中，AB⊥BC，DE∥BC，
∴在空间几何体中，DE⊥DA1，
∵A1D⊥BD，DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BCED，
∴A1D⊥平面BCED，
∵PH∥A1D，∴PH⊥平面BCED，
∴PH为三棱锥P－NCE的高，
∴PH＝A1D＝AB＝1，S△NCE＝NC·BD＝××2＝，
∴VN－PCE＝VP－NCE＝PH·S△NCE
＝×1×＝.
9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点．现有下列四个结论：
p1：AC1∥MN；
p2：A1C⊥C1N；
p3：B1C⊥平面AMN；
p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为.
其中正确的结论是( )
A．p1，p2 B．p2，p3
10
C．p2，p4 D．p3，p4
答案 C
解析 正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，
M，N分别为B1C1，BB1的中点．
对于p1：如图①所示，
MN∥BC1，BC1∩AC1＝C1，
∴AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；
对于p2：如图②所示，
连接AC1，交A1C于点O，连接ON，
易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，
∴ON⊥A1C，
又ON∩AC1＝O，ON，AC1⊂平面ONC1，
∴A1C⊥平面ONC1，
又C1N⊂平面ONC1，
∴A1C⊥C1N，p2正确；
对于p3：如图③所示，
取BC的中点O，连接AO，BC1，
过点O作OP∥BC1，交CC1于点P，
连接AP，则AO⊥平面BCC1B1，
又B1C⊂平面BCC1B1，
∴AO⊥B1C，
又BC1∥OP，BC1⊥B1C，
∴B1C⊥OP，
又AO∩OP＝O，AO，OP⊂平面AOP，
∴B1C⊥平面AOP，
又平面AMN与平面AOP有公共点A，
10
∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；
对于p4：如图④所示，
连接BC1，AC1，则MN∥BC1，
∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角，
设AB＝1，则AC1＝BC1＝，
∴cos∠ABC1＝＝，p4正确．
综上，其中正确的结论是p2，p4.
10.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABC－A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．
(1)若F在CC1上，且CC1＝4CF，E为AB的中点，求证：直线EF∥平面C1DB1；
(2)若AD＝AC＝1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到平面B1C1D的距离．
(1)证明 方法一 取AC的中点G，CC1的中点H，连接AH，GF，GE，如图所示．
∵AD∥C1H且AD＝C1H，
∴四边形ADC1H为平行四边形，
∴AH∥C1D，又F是CH的中点，G是AC的中点，
∴GF∥AH，∴GF∥C1D，
又GF⊄平面C1DB1，C1D⊂平面C1DB1，
∴GF∥平面C1DB1，
10
又G，E分别是AC，AB的中点，
∴GE∥BC∥B1C1，
又GE⊄平面C1DB1，B1C1⊂平面C1DB1，
∴GE∥平面C1DB1，
又GE∩GF＝G，GE⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，
∴平面GEF∥平面C1DB1，
又EF⊂平面GEF，
∴EF∥平面C1DB1.
方法二 取B1D的中点M，连接EM，MC1，
则EM是梯形ABB1D的中位线，
∴EM∥BB1∥CC1∥AD，
∴EM＝(AD＋BB1)
＝＝CC1，
又C1F＝CC1－CF＝CC1，
∴ EM∥C1F且EM＝C1F，
故四边形EMC1F为平行四边形，∴C1M∥EF，
又EF⊄平面C1DB1，C1M⊂平面C1DB1，
∴EF∥平面C1DB1.
(2)解 ∵AD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC，
又AD＝AC＝1，CC1＝2AD，AD∥CC1，
∴C1D2＝DC2＝AC2＋AD2＝2AD2＝2，C1C2＝4，
故CC＝CD2＋C1D2，即C1D⊥CD，
又BC⊥AC，AD⊥BC，AC∩AD＝A，
AC，AD⊂平面ACC1D，
∴BC⊥平面ACC1D，
10
又CD⊂平面ACC1D，
∴BC⊥CD，
又B1C1∥BC，∴B1C1⊥CD，
又DC1∩B1C1＝C1，DC1，B1C1⊂平面B1C1D，
∴CD⊥平面B1C1D，
∴点C到平面B1C1D的距离为CD的长，即为.
11．如图，矩形AB′DE(AE＝6，DE＝5)，被截去一角(即△BB′C)，AB＝3，∠ABC＝135°，平面PAE⊥平面ABCDE，PA＋PE＝10.
(1)求五棱锥P－ABCDE的体积的最大值；
(2)在(1)的情况下，证明：BC⊥PB.
在平面PAE内，PA＋PE＝10>AE＝6，P在以A，E为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点P为短轴端点时，P到AE的距离最大，
此时PA＝PE＝5，OA＝OE＝3，
所以POmax＝4，
所以(VP－ABCDE)max＝SABCDE·POmax＝×28×4＝.
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(2)证明 连接OB，如图，由(1)知，OA＝AB＝3，
故△OAB是等腰直角三角形，所以∠ABO＝45°，
所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝135°－45°＝90°，
即BC⊥BO.
由于PO⊥平面ABCDE，BC⊂平面ABCDE，
所以PO⊥BC，
又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面POB，
所以BC⊥平面POB，
又PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.
12. 如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．
(1)求证：A1E⊥FP；
(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．
(1)证明 在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．
因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.
所以在题图(2)中，A1E⊥EF，
10
又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，
且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，
所以A1E⊥平面BEFC.
因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.
(2)解 在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．
理由如下：
如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，
所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.
如图所示，取A1P的中点M，连接MK，
因为点K为棱A1F的中点，
所以MK∥FP.
因为FP∥BE，所以MK∥BE.
因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，
所以MK∥平面A1BE.
故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．
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