空间几何体
1．已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：
①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；
③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.
其中说法正确的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．4
答案 C
解析 ①若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，不正确；②若l∥α，α∥β，则l∥β 或l⊂β，不正确；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l与β相交且l与β不垂直，不正确，故选C.
2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
答案 D
解析 由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；
图②中GH与MN异面，符合题意；
图③中GH与MN相交，不合题意；
图④中GH与MN异面，符合题意．
则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为②④.
3．给出下列四个命题：
①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；
6
②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
4．对于四面体A—BCD，有以下命题：
①若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等；
②若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是△BCD的内心；
③四面体A—BCD的四个面中最多有四个直角三角形；
④若四面体A—BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为.
其中正确的命题是( )
A．①③ B．③④
C．①②③ D．①③④
答案 D
解析 ①正确，若AB＝AC＝AD，则AB，AC，AD在底面上的射影相等，即与底面所成角相等；②不正确，如图，点A在平面BCD内的射影为点O，连接BO，CO，可得BO⊥CD，CO⊥BD，所以点O是△BCD的垂心；
③正确，如图，AB⊥平面BCD，∠BCD＝90°，其中有4个直角三角形；
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④正确，设正四面体的内切球的半径为r，棱长为1，高为，根据等体积公式×S△BCD×＝×4×S△BCD×r，解得 r＝，那么内切球的表面积S＝4πr2＝，故选D.
5．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是( )
(2)求三棱锥E－ACD的体积．
(1)证明 连接BE交AF于点O，取AC的中点H，连接OH，DH，则OH是△AFC的中位线，
所以OH∥CF且OH＝CF，
由已知得DE∥CF且DE＝CF，
所以DE∥OH且DE＝OH，
所以四边形DEOH为平行四边形，DH∥EO，
又因为EO⊄平面ACD，DH⊂平面ACD，
所以EO∥平面ACD，即BE∥平面ACD.
(2)解 由已知得，四边形ABFE为正方形，
且边长为2，则AF⊥BE，
由已知AF⊥BD，BE∩BD＝B，BE，BD⊂平面BDE，
可得AF⊥平面BDE，
又DE⊂平面BDE，
所以AF⊥DE，
又AE⊥DE，AF∩AE＝A，AF，AE⊂平面ABFE，
所以DE⊥平面ABFE，
又EF⊂平面ABEF，
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所以DE⊥EF，四边形DEFC是直角梯形，
又AE⊥EF，DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面CDE，
所以AE⊥平面CDE，
所以AE是三棱锥A－DEC的高，
VE－ACD＝VA－ECD＝VA－EFD
＝×AE××DE×EF＝.
22.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABC－A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．
(1)若F在CC1上，且CC1＝4CF，E为AB的中点，求证：直线EF∥平面C1DB1；
(2)若AD＝AC＝1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到平面B1C1D的距离．
(1)证明 方法一 取AC的中点G，CC1的中点H，连接AH，GF，GE，如图所示．
∵AD∥C1H且AD＝C1H，
∴四边形ADC1H为平行四边形，
∴AH∥C1D，又F是CH的中点，G是AC的中点，
∴GF∥AH，∴GF∥C1D，
又GF⊄平面C1DB1，C1D⊂平面C1DB1，
∴GF∥平面C1DB1，
又G，E分别是AC，AB的中点，
∴GE∥BC∥B1C1，
又GE⊄平面C1DB1，B1C1⊂平面C1DB1，
∴GE∥平面C1DB1，
又GE∩GF＝G，GE⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，
6
∴平面GEF∥平面C1DB1，
又EF⊂平面GEF，
∴EF∥平面C1DB1.
又C1F＝CC1－CF＝CC1，
∴ EM∥C1F且EM＝C1F，
故四边形EMC1F为平行四边形，∴C1M∥EF，
又EF⊄平面C1DB1，C1M⊂平面C1DB1，
∴EF∥平面C1DB1.
(2)解 ∵AD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC，
又AD＝AC＝1，CC1＝2AD，AD∥CC1，
∴C1D2＝DC2＝AC2＋AD2＝2AD2＝2，C1C2＝4，
故CC＝CD2＋C1D2，即C1D⊥CD，
又BC⊥AC，AD⊥BC，AC∩AD＝A，
AC，AD⊂平面ACC1D，
∴BC⊥平面ACC1D，
又CD⊂平面ACC1D，
∴BC⊥CD，
又B1C1∥BC，∴B1C1⊥CD，
又DC1∩B1C1＝C1，DC1，B1C1⊂平面B1C1D，
6
∴CD⊥平面B1C1D，
∴点C到平面B1C1D的距离为CD的长，即为.
6
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