圆锥曲线的综合问题
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．
解 (1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，
又因为e＝＝＝，所以a＝，
所以b2＝2，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，
直线BD的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程＋＝1，
并化简得(3k2＋2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立．
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
|BD|＝·|x1－x2|
＝
＝.
由题意知AC的斜率为－，
所以|AC|＝＝.
|AC|＋|BD|＝4
＝≥
6
＝＝.
当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，
故|AC|＋|BD|的最小值为.
②当直线BD的斜率不存在或等于零时，
可得|AC|＋|BD|＝>.
综上，|AC|＋|BD|的最小值为.
5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|＝3|F2E|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解 (1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)．
∵|DF2|＝3|F2E|，可得＝3，
又＝(1，－b)，＝(x－1，y)，
∴代入＋＝1，
可得＋＝1，
又a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，
即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
6
∴yM＝.
同理可得yN＝，
∴M，N的坐标分别为，，
∴k1k2＝·＝yMyN
＝··
＝
＝
＝＝＝.
∴k1与k2之积为定值，且该定值是.
6．已知平面上动点P到点F的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
6
(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1.
①设直线l与圆x2＋y2＝1交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；
②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程，并探究：若M(m，n)是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．
解 (1)设P(x，y)，由题意，得＝.
整理，得＋y2＝1，
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
(2)①圆心到直线l的距离d＝，
∵直线与圆有两个不同交点C，D，
∴|CD|2＝4.
又∵＋n2＝1(m≠0)，
∴|CD|2＝4.
∵|m|≤2，∴0
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