空间中的平行与垂直
1.四棱锥PABCD的三视图如图所示，四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为( )
A．12π B．24π C．36π D．48π
答案 A
2．已知a，b，m，n是四条不同的直线，其中a，b是异面直线，则下列命题正确的个数为( )
①若m⊥a，m⊥b，n⊥a，n⊥b，则m∥n
②若m∥a，n∥b，则m，n是异面直线
③若m与a，b都相交，n与a，b都相交，则m，n是异面直线
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 显然①正确．②中m，n可能异面，可能相交，∴②不正确．③中m，n可能异面，可能相交，∴③不正确．
答案 B
3．已知l，m，n是空间中的三条直线，命题p：若m⊥l，n⊥l，则m∥n；命题q：若直线l，m，n两两相交，则直线l，m，n共面，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∨q
C．p∨(非q) D．(非p)∧q
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解析 命题p中，m，n可能平行，还可能相交或异面，所以命题p为假命题；命题q中，当三条直线交于三个不同的点时，三条直线一定共面，当三条直线交于一点时，三条直线不一定共面，所以命题q也为假命题．所以非p和非q都为真命题，故p∨(非q)为真命题．
答案 C
4．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题：
①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；
③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 对于①，可能l⊂β，对于②，可能l⊂β；对于④，l∥β，l⊂β，l与β相交都有可能．综上可知①②④为假命题．由面面平行的性质定理易知命题③正确，故选A.
答案 A
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱B1C1的中点，动点P在底面ABCD内，且PA1＝A1E，则点P运动形成的图形是( )
A．线段
B．圆弧
C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分
解析 由PA1＝A1E知点P应落在以A1为球心，A1E长为半径的球面上．又知动点P在底面ABCD内，所以点P的轨迹是底面ABCD与球面形成的交线，故为圆弧，所以选B.
答案 B
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面．其中不正确的结论是( )
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A．① B．②
C．③ D．④
解析
作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确．
答案 B
7．如图所示，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则以下结论中不成立的是( )
A．EF与BB1垂直 B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面 D．EF与A1C1异面
解析 连接B1C，AC，则易知EF是△ACB1的中位线，因此EF∥AC∥A1C1，故选D.
答案 D
8．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( )
A．0
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