导数的热点问题
1．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为3＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升)．
(1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
(2)y′＝－＝，
令y′＝0，得v＝10，
当00，解得x，
由f′(x)0知，方程p(x)＝0的判别式Δ＝1＋4a>0，
设p(x)＝0的正根为x0，
∴x－x0－a＝0，
∵p(1)＝1－1－a＝－a1，
又p(0)＝－a0恒成立，
∴F(x)在(1，＋∞)上为增函数，
又∵F(1)＝2－0－2＝0，
∴F(x)>0，即h(x)min>0，
∴当x∈(0，＋∞)且a>0时，f(x)>g(x)．
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3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋m(m∈R)．
(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围；
(2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x10)，
当x>1时，F′(x)1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
则当x>1时，f(x)>f(1)＝0，
当n>1时，令x＝>1，
∴f(x)＝＋ln＝－＋ln>0，
∴ln>，ln>，ln>，…，ln>，
∴ln＋ln＋…＋ln>＋＋…＋，
即ln>＋＋…＋，
∴ln n>＋＋…＋，
即对于任意大于1的正整数n，
都有ln n>＋＋…＋.
6．已知函数f(x)＝ex＋2ln x，g(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)>x2＋m＋2ln x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对任意的实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)＋x2－2ln x在(0，＋∞)上总有零点，求实数b
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的取值范围．
解 (1)对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)>x2＋m＋2ln x恒成立可转化为不等式m0，
即m′(x)>0，所以m(x)在[0，＋∞)上单调递增，m(x)的最小值是m(0)＝1，
所以m≤1，即m的取值范围为(－∞，1]．
(2)函数F(x)＝f(x)－g(x)＋x2－2ln x在(0，＋∞)上总有零点，
即F(x)＝ex－ax－b在(0，＋∞)上总有零点．
若a1时，F(x)＝ex－ax－b在(0，＋∞)上总有零点．
①若ax2在x∈(0，＋∞)时恒成立，
取x0＝a＋b>0，
则F(x0)＝F(a＋b)＝ea＋b－a(a＋b)－b>(a＋b)2－a2－ab－b＝ab＋b(b－1)>0，
由于F(0)＝1－b0，
故F(x)在(0，a＋b)上必有零点．
综上，实数b的取值范围是(1，＋∞)．
7．已知x＝1为函数f(x)＝(x2－ax)ln x＋x的一个极值点．
(1)求实数a的值，并讨论函数f(x)的单调性；
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(2)若方程f(x)＝mx2＋2x有且只有一个实数根，求实数m的值．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝(x2－ax)×＋(2x－a)ln x＋1
＝x＋(2x－a)ln x－(a－1)．
因为x＝1为函数f(x)的一个极值点，
所以f′(1)＝1＋(2－a)ln 1－(a－1)＝2－a＝0，
解得a＝2.
故f(x)＝(x2－2x)ln x＋x，
f′(x)＝x＋(2x－2)ln x－1＝(x－1)(1＋2ln x)．
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝＝.
当x∈时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．
(2)方程f(x)＝mx2＋2x，
即(x2－2x)ln x＋x＝mx2＋2x，
整理得(x2－2x)ln x－x＝mx2.
因为x>0，所以m＝＝.
令g(x)＝＝ln x－，
则g′(x)＝ln x＋×＋＝.
令h(x)＝2ln x＋x－1，
则h′(x)＝＋1>0恒成立，
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h(1)＝0，
所以当x＝(0,1)时，h(x)0，g(x)单调递增．
所以g(x)的最小值为g(1)＝－1
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