三角恒等变换与解三角形
1．tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
【答案】D
【解析】因为tan 120°＝＝－，
即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A＝，则该三角形为( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
【答案】D
【解析】由cos A＝，即＝，
化简得c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B＋bcos A＝2ccos C，c＝，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为( )
A．1＋ B．2＋
C．4＋ D．5＋
【答案】D
【解析】在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C，
则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos C，
∵sin(A＋B)＝sin C≠0，∴cos C＝，∴C＝，
由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab，
即(a＋b)2－3ab＝c2＝7，
又S＝absin C＝ab＝，∴ab＝6，
∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋.
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4．已知α为锐角，则2tan α＋的最小值为( )
A．1 B．2 C. D.
【答案】D
【解析】方法一 由tan 2α有意义，α为锐角可得α≠45°，
∵α为锐角，∴tan α>0，
∴2tan α＋＝2tan α＋
＝≥×2＝，
当且仅当tan α＝，即tan α＝，α＝时等号成立．故选D.
方法二 ∵α为锐角，∴sin α>0，cos α>0，
∴2tan α＋＝＋
＝＝
＝≥×2＝，
当且仅当＝，
即α＝时等号成立．故选D.
5．已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )
A．－或0 B.或0
C．－ D.
【答案】A
【解析】因为2sin θ＝1－cos θ，
所以4sin cos ＝1－＝2sin2，
解得sin ＝0或2cos ＝sin ，即tan ＝0或2，
又tan θ＝，
当tan ＝0时，tan θ＝0；
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当tan ＝2时，tan θ＝－.
6．在锐角△ABC中，角A所对的边为a，△ABC的面积S＝，给出以下结论：
①sin A＝2sin Bsin C；
②tan B＋tan C＝2tan Btan C；
③tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
④tan Atan Btan C有最小值8.
其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由S＝＝absin C，得a＝2bsin C，
又＝，得sin A＝2sin Bsin C，故①正确；
由sin A＝2sin Bsin C，
得sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，
两边同时除以cos Bcos C，
可得tan B＋tan C＝2tan Btan C，故②正确；
由tan(A＋B)＝，
且tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
所以＝－tan C，
整理移项得tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，
故③正确；
由tan B＋tan C＝2tan Btan C，
tan A＝－tan(B＋C)＝，
且tan A，tan B，tan C都是正数，
得tan Atan Btan C＝·tan Btan C
＝·tan Btan C＝，
设m＝tan Btan C－1，则m>0，
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tan Atan Btan C＝
＝2＋4≥4＋4＝8，
当且仅当m＝tan Btan C－1＝1，
即tan Btan C＝2时取“＝”，
此时tan Btan C＝2，tan B＋tan C＝4，tan A＝4，
所以tan Atan Btan C的最小值是8，故④正确，故选D.
7．已知sin＋cosα＝－，则cos＝( )
A．－ B. C．－ D.
【答案】 C
8．已知sin＝，则cos的值是( )
A. B. C．－ D．－
【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝1－2sin2＝，∴cos＝cos＝cos＝－cos＝－.
【答案】 D
9．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A等于( )
A. B. C. D.或
【解析】由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝，所以A＝或.又a
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