1
第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题
教学内容
根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．
教学目标
掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．
重难点关键
1．重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．
教具、学具准备
小黑板
教学过程
一、复习引入
（口述）1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
（学生口答，老师点评）
二、探索新知
现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．
例 1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深多 2m，
渠底比渠深多 0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为 xm，则上口宽为 x+2，渠底为 x+0.4，那么，根
据梯形的面积公式便可建模．
解：（1）设渠深为 xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得： （x+2+x+0.4）x=1.6
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1= =0.8m，x2=-2（舍）
∴上口宽为 2.8m，渠底为 1.2m．
（2） =25 天
答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和 1.2m；需要 25 天才能挖完渠道．
学生活动：例 2．如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm，宽 21cm，正中央是一个与整个封面长
宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、
右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）？
1
2
4
5
1.6 750
48
×2
老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边
衬宽与左右边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm，则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意，得：
中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）= ×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x= ，
x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm．
三、巩固练习
有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，
各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 0．1 尺）
四、应用拓展
例 3．如图（a）、（b）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A开始沿 AB 边向点 B
以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动．
（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 S△PBQ=8cm2．
（2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C后又继续在 CA
边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．（友情提示：过点 Q作 DQ⊥CB，垂足为 D，则：
）
分析：（1）设经过 x 秒钟，使 S△PBQ=8cm2，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二
次方程的数学模型．
（2）设经过 y 秒钟，这里的 y>6 使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得：
AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积公
式即可建模．
解：（1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBQ 的面积为 8cm2．
则： （6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过 2 秒，点 P 到离 A 点 1×2=2cm 处，点 Q 离 B 点 2×2=4cm 处，经过 4 秒，点 P 到离 A 点 1×4=4cm
处，点 Q 离 B 点 2×4=8cm 处，所以它们都符合要求．
（2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使 CQ=（2y-8）cm，过点
1
4
3
4
6 3 3
4
±
DQ CQ
AB AC
=
(a)
BA
C
Q
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P
(b) BA
C
Q D
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P
1
2
九
年
级 练
数
学 习
同
步3
Q 作 DQ⊥CB，垂足为 D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC= =10
∴DQ=
则： （14-y）· =12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7），点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处（CQ=2y-8=6），
使△PCD 的面积为 12.6cm2．
经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm>10，
∴点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在．
∴本小题只有一解 y1=7．
五、归纳小结
本节课应掌握：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
六、布置作业
1．教材 P44 习题 2.6
2．选用作业设计:
一、选择题
1．直角三角形两条直角边的和为 7，面积为 6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．有两块木板，第一块长是宽的 2 倍，第二块的长比第一块的长少 2m，宽是第一块宽的 3 倍，已知第二
块木板的面积比第一块大 108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）．
A．第一块木板长 18m，宽 9m，第二块木板长 16m，宽 27m;
B．第一块木板长 12m，宽 6m，第二块木板长 10m，宽 18m;
C．第一块木板长 9m，宽 4.5m，第二块木板长 7m，宽 13.5m;
D．以上都不对
3．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2，则原来的正方形铁片的面积是
（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
二、填空题
1．矩形的周长为 8 ，面积为 1，则矩形的长和宽分别为________．
2．长方形的长比宽多 4cm，面积为 60cm2，则它的周长为________．
3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m，所围的面
积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为
_______．
DQ CQ
AB AC
=
2 26 8+
6(2 8) 6( 4)
10 5
y y− −=
1
2
6( 4)
5
y −
37 38
24
三、综合提高题
1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽 3m，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1：1，若坝长 30m，
完成大坝所用去的土方为 4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：背水坡度 = ，迎水坡度 ）
（精确到 0.1m）
2．在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周的
宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
3．谁能量出道路的宽度:
如图 22-10，有矩形地 ABCD 一块，要在中央修一矩形花辅 EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃
四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行．
CF
BF
1
2
1
1
DE
AE
=
BA
C
E
D
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F
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