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第六章 反比例函数
6.1 反比例函数
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规
律的重要数学模型.在前画已学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的
认识，在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后继学习产生积极影响.
本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比例函数的概念.通过例题和
列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义.
由于本节课比较抽象，理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概念的过程中，应充分利用学生
已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并
逐步加深理解.教学中要提供直观背景展现反比例函数的经验来源，在获得反比例函数概念之后，经验背
景将成为概念的某种直观解释或实际意义，在活动中，教师应注意提供思考或研究问题的方向.
教学目标：
(一)教学知识点
1.从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
(二)能力训练要求
结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式.
(三)情感与价值观要求
结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到
理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作
用.
教学重点：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解它的概念.
教学难点：领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.
教学方法：教师引导学生进行归纳.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为 其中 ， 为常数
且 ，正比例函数的表达式为 ，其中 为不为零的常数,但是在现实生活中，并不是只有这两
种类型的表达式，如从 A 地到 B 地的路程为 1200 km，某人开车要从 A 地到月地，汽车的速度 v(km／h)和
时间 t(h)之间的关系式为 vt＝1200，则 t＝ 中，t 和 v 之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数
的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢?这就是本节课我们要揭开的奥秘.
Ⅱ.新课讲解
[师]引我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数?
1.复习函数的定义
[师]大家还记得函数的定义吗?
[生]记得.
在某变化过程中有两个变量 x，y.若给定其中一个变量 x 的值，y 都有唯一确定的值与它对应,则称 y
是 x 的函数.
[师]大家能举出实例吗?
bkxy += k b
0≠k kxy = k
v
12002
[生]可以.
例如购买单价是 0.4 元的铅笔，总金额 y(元)与铅笔数 n(个)的关系是 y＝0.4n，这是一个正比例函数.
等腰三角形的顶角的度数 y 与底角的度数 x 的关系为 y=180-2x，y 是 x 的一次函数.
[师]很好，我们复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中
的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式.
2.经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式.
[师]请看下面的问题.
电流 I，电阻 R，电压 U 之间满足关系式 U＝IR，当 U＝220 V 时.
(1)你能用含有 R 的代数式表示 I 吗?
(2)利用写出的关系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
当 R 越来越大时，I 怎样变化?当 R 越来越小呢?
(3)变量 I 是 R 的函数吗?为什么?
请大家交流后回答.
[生](1)能用含有 R 的代数式表示 I.
由 IR=220，得 I= .
(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填 11，5.5，3.67，2.75，2.2.
从表格中的数据可知，当电阻 R 越来越大时，电流 I 越来越小；当 R 越来越小时，I 越来越大.
(3)变量 I 是 R 的函数.
由 IR＝220 得 I＝ .当给定一个 R 的值时，相应地就确定了一个 I 值，因此 I 是 R 的函数.
[师]这位同学回答，的非常精彩，下面大家再思考一个问题.
舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼的?请大
家互相交流后回答.
[生]根据 I＝ ，当 R 变大时，I 变小，灯光较暗；当 R 变小时，I 变大，灯光较亮.
所以通过改变电阻 R 的大小来控制电流 I 的变化，就可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布
的阴天，或由黑夜变成白昼.
投影片：(§ 6.1 A)
京沪高速公路全长约为 1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间 t(h)与
行驶的平均速度 v(km／h)之间有怎样的关系?变量 t 是 v 的函数吗?为什么?
[师]经过刚才的例题讲解，大家可以独立完成此题.如有困难再进行交流.
[生]由路程等于速度乘以时间可知 1262＝vt，则有 t＝ .当给定一个 v 的值时，相应地就确定了
一个 t 值，根据函数的定义可知 t 是 v 的函数.
[师]从上面的两个例题得出关系式
I= 和 t= .
它们是函数吗?它们是正比例函数吗?是一次函数吗?
[生]因为给定一个 R 的值，相应地就确定了一个 I 的值，所以 I 是 R 的函数；同理可知 t 是 v 的函数.
但是从表达式来看，它们既不是正比例函数，也不是一次函数.
[师]我们知道正比例函数的关系式为 y=kx(k≠0)，一次函数的关系式为 y＝kx+b(k，b 为常数且 k≠
0).大家能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢?
R
220
R
220
R
220
v
1262
R
220
v
12623
[生]可以.由 I＝ 与 t= 可知关系式为 y= (k 为常数且 k≠0).
[师]很好.
一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y＝ (k 为常数，k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的
反比例函数.
从 y＝ 中可知 x 作为分母，所以 x 不能为零.
3.做一做
投影片(§ 6.1 B)
1.一个矩形的面积为 20 cm2，相邻的两条边长分别为 x cm 和 y cm，那么变量 y 是变量 x 的函数吗?是反比
例函数吗?为什么?
2.某村有耕地 346.2 公顷，人口数量 n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积 m(公顷／人)是全村人
口数 n 的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
3. y 是 x 的反比例函数，下表给出了 x 与 y 的一些值：
x -2 -1 - 1 3
y 2 -1
(1)写出这个反比例函数的表达式；
(2)根据函数表达式完成上表.
[生]由面积等于长乘以宽可得 xy＝20.则有 y＝ .变量 y 是变量 x 的函数.因为给定一个 x 的值，相
应地就确定了一个 y 的值，根据函数的定义可知变量 y 是变量 x 的函数.再根据反比例函数的表达式可知
y 是 x 的反比例函数.
[生]根据人均占有耕地面积等于总耕地面积除以总人数得 m= .给定一个 n 的值，就相应地确定了
一个 m 的值，因此 m 是 n 的函数，又 m＝ 符合反比例函数的形式，所以是反比例函数.
[师]在做第 3 题之前，我们先回忆一下如何求正比例函数和一次函数的表达式，在 y=kx 中.要确定关
系式的关键是求得非零常数 k 的值，因此需要一个条件即可；在一次函数 y＝kx+b 中，要确定关系式实际
上是要求得 b 和 k 的值，有两个待定系数因此需要两个条件.同理，在求反比例函数的表达式时，实际上
是要确定 k 的值.因此只需要—个条件即可，也就是要有一组 x 与 y 的值确定 k 的值.所以要从表格中进行
观察.由 x＝-1，y＝2 确定 k 的值,然后再根据求出的表达式分别计算.x 或 y 的值.
[生]设反比例函数的表达式为 y=
(1)当 x＝-1 时,y＝2；
∴k＝-2.
∴表达式为 y＝-
(2)当 x＝-2 时，y＝1.
当 x=- 时，y＝4；
当 x= 时.y=-4；
R
220
v
1262
x
k
x
k
x
k
2
1
2
1
3
2
x
20
n
2.346
n
2.346
x
k
x
2
2
1
2
14
当 x＝1 时,y=-2.
当 x＝3 时，y＝- ；
当 y＝ 时，x=-3；
当 y＝-1 时,x=2.
因此表格中从左到右应填
-3，1，4，-4,-2，2，-
Ⅲ.课堂练习
课本 P150 随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为 y＝ (k 为常数.k≠0)，
自变量 x 不能为零.还能根据定义和表达式判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数.
Ⅴ.课后作业
课本 P150 习题 6.1
Ⅵ.活动与探究
已知 y-1 与成反比例 ，且当 x＝1 时，y=4，求 y 与 x 的函数表达式，并判断是哪类函数?
分析：由 y 与 x 成反比例可知 y＝ ，得 y-1 与 成反比例的关系式为 y-1＝
=k(x+2)，由 x＝1、y=4 确定 k 的值.
从而求出表达式.
解：由题意可知 y-1=k= k(x+2).
当 x＝1 时.y＝4.
所以 3k=4-1，
k=1.
即表达式为 y-1＝x+2，
y=x+3.
由上可知 y 是 x 的一次函数.
备课资料
参考例题
1.k 为何值时，y=(k+2)xk2-5 是反比例函数
分析：根据反比例函数表达式的一般形式 y＝ (k≠0)也可以写成 y=kx-1≠0),后一种写法中的 x 的次
数为-1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件：
k+2≠0 k2-5＝-1
二者缺一不可.
3
2
3
2
3
2
x
k
2
1
+x
x
k
2
1
+x
2
1
+x
k
2
1
+x
k
x
k5
k+2≠0, k≠-2,
解:由 得
k2-5=-1, k=±2
∴k＝2.∴当 k=2 时，y=(k+2)x k2-5 是反比例函数.
常见错误：(1)不会把反比例函数的一般式 y= 写成 y＝kx-1 的形式；
(2)忽略了 k+2≠0 这个条件.
x
k
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