1
第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题
教学内容
本节课主要学习根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类几何图形问题。
教学目标
知识技能
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学
模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
数学思考
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行
描述。
解决问题
通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策
略的多样性，发展实践应用意识．
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数
学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重难点、关键
重点：列一元二次方程解有关问题的应用题
难点：发现问题中的等量关系
关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、复习引入
【问题】
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生口答，老师点评。
【设计意图】
复习一些简单几何图形的面积公式，为继续学习建立一元二次方程的数学模型并解决几何图形问题
作好铺垫．
二、探索新知
【问题情境】
要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边
衬的宽度（精确到0.1 cm）.2
【分析】
（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？
【解答】
依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右
边衬宽之比为 9：7，设上、下边衬的宽均为 9xcm，则左、右边衬的宽均为 7xcm，依题意，得：中央矩形
的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．
因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ，则中央矩形的面积是封面面积的．
所以（27-18x）（21-14x）= ×27×21
整理，得：16x2-48x+9=0
解方程，得：x= ， x1≈2.8cm，x2≈0.2
所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm
因此，上下边衬的宽均为 1.8cm，左、右边衬的宽均为 1.4cm．
【活动方略】
教师提出问题
学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意
问题．
在活动中，教师应注意：
（1）学生对几何图形的分析能力；
（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；
（3）在讨论中能否互相合作；
（4）解答一元二次方程的能力；
（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．
【设计意图】
使学生通过多种方法解几何图形问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数
量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
三、反馈练习
1．某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深多 2m，渠
底比渠深多 0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
2．有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，
各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到 0．1 尺）
1
4
3
4
6 3 3
4
±3
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对所学知识的掌握情况.
四、应用拓展
例1：如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵
路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？
【分析】
（1） 本题中有哪些数量关系？
（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？
（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？
【活动方略】
学生分组讨论，画图，上台演示．
教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则．
例 2：如图（a）、（b）所示，在△ABC 中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A开始沿 AB 边向点 B
以 1cm/s 的速度运动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度运动．
（1）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，使 S△PBQ=8cm2．
（2）如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，并且 P 到 B 后又继续在 BC 边上前进，Q 到 C后又继续在 CA
边上前进，经过几秒钟，使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．（友情提示：过点 Q作 DQ⊥CB，垂足为 D，则：
）
分析：（1）设经过 x 秒钟，使 S△PBQ=8cm2，那么 AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面积公式便可得到一元二
次方程的数学模型．
（2）设经过 y 秒钟，这里的 y>6 使△PCQ 的面积等于 12.6cm2．因为 AB=6，BC=8，由勾股定理得：
DQ CQ
AB AC
=
_(a)
_B_A
_C
_Q
_P _(b) _B_A
_C
_Q _D
_P4
AC=10，又由于 PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到 DQ，那么根据三角形的面积公
式即可建模．
解：（1）设 x 秒，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，且使△PBQ 的面积为 8cm2．
则： （6-x）·2x=8
整理，得：x2-6x+8=0
解得：x1=2，x2=4
∴经过 2 秒，点 P 到离 A 点 1×2=2cm 处，点 Q 离 B 点 2×2=4cm 处，经过 4 秒，点 P 到离 A 点 1×4=4cm
处，点 Q 离 B 点 2×4=8cm 处，所以它们都符合要求．
（2）设 y 秒后点 P 移到 BC 上，且有 CP=（14-y）cm，点 Q 在 CA 上移动，且使 CQ=（2y-8）cm，过点
Q 作 DQ⊥CB，垂足为 D，则有
∵AB=6，BC=8
∴由勾股定理，得：AC= =10
∴DQ=
则： （14-y）· =12.6
整理，得：y2-18y+77=0
解得：y1=7，y2=11
即经过 7 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 7cm 处（CP=14-y=7），点 Q 在 CA 上距 C 点 6cm 处（CQ=2y-8=6），
使△PCD 的面积为 12.6cm2．
经过 11 秒，点 P 在 BC 上距 C 点 3cm 处，点 Q 在 CA 上距 C 点 14cm>10，
∴点 Q 已超过 CA 的范围，即此解不存在．
∴本小题只有一解 y1=7．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
进一步提升学生在活动 1 中的学习效果，使学生充分体会图形变换的灵活性，培养学生对图形的观察、
联想能力。
五、小结作业
1．问题：
通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？
本节课应掌握：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．
2．作业：教材 P45，习题 2.6
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知
识。
1
2
DQ CQ
AB AC
=
2 26 8+
6(2 8) 6( 4)
10 5
y y− −=
1
2
6( 4)
5
y −
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