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第一章 特殊平行四边形
教学目标、重点、难点
【学习目标】
1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
2、能运用综合法证明矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理．
3、体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法．
【重点难点】
掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定以及证明方法．
知识概览图
教材精华
知识点 1 菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质．
菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有自己特有的性质，菱形的性质定理如
下．
（1）菱形的四条边都相等．
用数学符号语言表示：如图 3-45 所示，若四边形 ABCD 是菱形，则 AB＝BC＝CD＝DA．
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．
用数学符号语言表示：如图 3-46 所示，若四边形 ABCD 是菱形，AC，BD 是对角线，则 AC⊥BD，且 AC
平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠ABC 和∠ADC.
拓展（1）菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．用数学符号语言表示：如图 3-47 所示，在菱形 ABCD2
中，AC，BD 是对角线，则 S 菱形＝ AC·BD．
（2）如果菱形有一个内角为 60°或 120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用
的基本图形．另外，两条对角线把菱形分成了四个全等的含 30°角的直角三角形．
探索交流 我们知道，若菱形的两条对角线长分别为 a，b，则菱形的面积 S＝ ab.那么在对角线互
相垂直的四边形中，面积也为它的对角线长的乘积的一半吗? 为什么?
点拔 菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中．如图 3-48
所示，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD，则 S 四边形 ABCD＝ AC·BD．理由如下：
设 AC，BD 交于点 O，
∵AC⊥BD，
∴S△ABD＝ AO·BD，S△BCD＝ OC·BD，
∴S 四边形 ABCD＝S△ABD+S△BCD＝ AO·BD+ OC·BD＝ BD（AO+OC）＝
BD·AC
即菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一公式可以推广到对角线互相垂直的四边形中．
知识点 2 菱形的判定
用定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
判定定理 l：四条边都相等的四边形是菱形．
判定定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
拓展（1）菱形的判定定理 1，2 的起点不同，一个是四边形，一个是平行四边形．判定的条件也不同，
一个是四条边都相等，一个是对角线互相垂直．
（2）注意这里的起点和条件不能张冠李戴，否则会得出错误的结论。
知识点 3 矩形的性质
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形的性质．
矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质．除此之外，它还有自己特有的性质，矩
形的相关性质定理如下．
（1）矩形的四个角都是直角．
用数学符号语言表示：如图 3—40 所示，如果四边形 ABCD 是矩形，那么∠A＝∠B＝ ∠C＝∠D＝
90°．
（2）矩形的对角线相等．
用数学符号语言表示：如图 3—4l 所示，如果四边形 ABCD 是矩形，那么 AC＝BD.
性质定理的推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
用数学符号语言表示：如图 3-42 所示，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 的中线，则 AD＝ BC．这是证
明线段相等、线段倍分关系、角相等的重要依据．
拓展 矩形的两条对角线把矩形分成四个腰长相等的等腰三角形，当两条对角线夹角为 60°时，必有
1
2
1
2
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2
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2
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1
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一边长等于对角线长的一半，即这四个三角形中有两个是等边三角形．
知识点 4 矩形的判定
矩形的判定．
（1）用定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的判定定理 l：有三个角是直角的四边形是矩形．
（3）矩形的判定定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形．
拓展 （1）矩形的每种判定方法都有两个条件．
定义：①是平行四边形；②有一个角是直角．
判定定理 1：①是四边形；②有三个角是直角．
判定定理 2：①是平行四边形；②对角线相等．
（2）注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理．
知识点 5 正方形的性质
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
拓展（1）正方形既是有一组邻边相等的矩形．又是有一个角是直角的菱形．
（2）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形的性质．
正方形是平行四边形中性质最丰富的图形，它既是矩形又是菱形．正方形的具体性质如下．
正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对
角．
用数学符号语言表示：如图 3-49 所示，若四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 交于点 O，则∠DAB＝∠
ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，AC 平分∠BAD 和∠BCD，BD 平分∠
ABC 和∠ADC．
拓展
（1）正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，根据它的轴对称性可知，在正方形一条对角线上任
取一点，它到另外两个顶点的距离相等．
（2）正方形的两条对角线分正方形成四个大等腰直角三角形和四个小等腰直角三角形，每条对角线
长是边长的 倍，且对角线分正方形的内角成 45°角，这是在证明或计算中常用到的．
知识点 6 正方形的判定
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种．
（1）先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等．
（2）先证明它是菱形，再证明有一个角为直角．
还可以根据正方形的特殊性进行判定：
（1）对角线相等的菱形是正方形．
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
判定正方形的一般顺序．
（1）先证明是平行四边形．
（2）再证明有一组邻边相等（或有一个角是直角）．
（3）最后证明有一个角是直角（或有一组邻边相等）．
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拓展 （1）证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．
（2）四边形之间的关系如图 3-50 所示，对各种四边形的性质和判定可以从边、角、对角线三个方面
分类识别．
（3）正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的包含关系如图 3-5l 所示．
知识点 7 中点四边形
定义：顺次连接四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边形，如图 3-52 所示，四边形 ABCD 中，
E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，四边形 EFGH 就是中点四边形．那么，任意四边形的中点四边
形是什么形状呢?
连接 AC，易证 HG AC，EF AC，所以 HG EF，可得四边形 EFGH 为平行四边形．
任意四边形的中点四边形都是平行四边形．
特殊四边形的中点四边形的形状．
从探索中我们发现中点四边形与原四边形的对角线有密切关系．
先将原四边形分为：（1）一般四边形；（2）一般平行四边形；（3）矩形；（4）菱形；（5）正方
形；（6）一般梯形；（7）等腰梯形；（8）直角梯形．为了便于观察、探索，我们列表如下：
序
号
名称 图形 两条对角线的关
系
中点四
边形
1 一般四边形 不垂直、不相等 平行四
边形
2 一般平行四边形 不垂直、不相等 平行四
边形
1
2
1
2 5
3 矩形 不垂直但相等 菱形
4 菱形 垂直但不相等 矩形
5 正方形 垂直且相等 正方形
6 一般梯形 不垂直、不相等 平行四
边形
7 等腰梯形 不垂直但相等 菱形
8 直角梯形 不垂直、不相等 平行四
边形
原四边形的对角线与中点四边形形状的关系．
由上表我们可以发现如下规律：
原四边形对角线间的
关系
中点四边
形
举例
相等 菱形 矩形、等腰梯形，对角线相等的四边形
互相垂直 矩形 菱形，对角线垂直的四边形
互相垂直且相等 正方形 正方形，对角线相等且垂直的四边形
不垂直也不相等 平行四边
形
一般四边形、平行四边形、直角梯形
规律·方法小结 1．类比思想：可以类比平行四边形的性质与判定来学习矩形、菱形、正方形的性质和
判定．
2．数形结合思想：是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是运用几何定理、法则，通过列方程、
方程组或不等式，利用解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化为代数问题来解决的方
法．
3．转化思想：在本节学习的过程中还要用到转化思想，即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方
法来构造图形解决几何问题．
课堂检测
基础知识应用题
1、如图 3-53 所示，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，求证 AE＝AF．6
2、如图 3-54 所示，在四边形 ABCD 中，BE＝DF，AC 和 EF 互相平分于 O，∠B＝
90°，求证四边形 ABCD 是矩形．
3、如图 3-55 所示，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，BE 平分∠ABC，交 AD 于 F，交 AC 于
E，EG⊥BC 于 G，连接 FG，求证四边形 AFGE 是菱形．
4、如图 3-56 所示，在正方形 ABCD 中．E 为 BC 上一点，EF⊥AC，垂足是 F，EG⊥BD，垂足是 G，AC＝
5㎝，求 EF＋EG．
5、如图 3-57 所示，P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E，F 分别是垂足，求证 AP
＝EF．7
6、如图 3-58 所示，△ABC 中，AB＝AC，AD，AE 分别是∠BAC 和∠BAC 的外角的平分线，BE⊥AE
（1）求证 DA⊥AE；
（2）试判断 AB 与 DE 是否相等．并证明你的结论．
综合应用题
7、如图 3-59 所示，菱形 ABCD 的一个内角∠ABC 为 120°，平分这个内角的对角线 BD 长为 12 ㎝，求
菱形的周长．
8、如图 3-60 所示，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6，对角线 AC 上有一动点 P（不与点 A 和点 C 重
合）．设 AP＝x，四边形 PBCD 的面积为 y．
（1）写出 y 与 x 的函数关系式，并确定 x 的取值范围；
（2）关于动点 P，△PBC 的面积与△PAD 的面积之和为常数．
这种说法是否正确?说明理由．
9、如图 3-61 所示，矩形 ABCD 中，四个内角平分线交于 E，F，G，H．求证
四边形 EFGH 为正方形．
10、如图 3-62 所示．四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为各边的中点，顺次连接 E，F，G，H，把四
边形 EFGH 称为中点四边形，连接 AC，BD，容易证明中点四边形 EFGH 一定是平行四边形．
（1）如果改变原四边形 ABCD 的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：
当四边形 ABCD 的对角线满足 AC＝BD 时，四边形 EFGH 为菱形；
当四边形 ABCD 的对角线满足______时，四边形 EFGH 为矩形；8
当四边形 ABCD 的对角线满足______时，四边形 EFGH 为正方形．
（2）探索△AEH，△CFG 和四边形 ABCD 的面积之间的等量关系，并加以证明．
（3）如果四边形 ABCD 的面积为 2，那么中点四边形 EFGH 的面积是多少?
探索与创新题
11、在一片正方形土地上修筑两条笔直的道路，把这片土地分成形状相同且面
积相等的 4 部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修路方案．
体验中考
1、如图 3- 65 所示，在梯形 ABCD 中∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线 EF 上的一点 P，若 EF
＝3，则梯形 ABCD 的周长为 （ ）
A．9 B．10．5 C．1 2 D ．15
2、如图 3-66 所示，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交点 O．AB＝5，AC＝6．过 D 点作 DE∥AC，
交 BC 的延长线于点 E．
（1）求△BDE 的周长；
（2）点 P 为线段 BC 上的点，连接 PO 并延长交 AD 于点 Q．
求证 BP＝DQ
3、数学课上，张老师出示了这样一个问题：如图 3-67(1)所示，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC
的中点，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分线 CF 于点 F，求证 AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路，取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证△AME≌△ECF，
所以 AE=EF．在此基础上，同学们做了进一步的探究．
(1)小颖提：如图 3-67(2)所示，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上(除 B，C 外)的
任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立．你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证
明过程；如果不正确，请说明理由．
(2)小华提出：如图 3-67(3)所示，点 E 是 BC 的延长线上(除点 C 外)的任意一点，其他条件不变，结
论“AE=EF”仍然成立，你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理9
由．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析 要证明 AE＝AF，我们可以根据条件，先证△ACE≌△ACF．
证明：连接 AC，∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC 平分∠BAD．∴∠l＝∠2．
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°．
在△ACE 和△ACF 中，
∴△ACE≌△ACF．∴AE＝AF．
2、分析 因为 EF 和 AC 互相平分于 O，易证△AOE≌△COF，所以 FC＝EA，∠3＝∠4，所以 CD∥AB．又
因为 DF＝BE，所以 AB＝CD，所以四边形 ABCD 为平行四边形．因为∠B＝90°，所以四边形 ABCD 为矩
形．
证明：∵EF 和 AC 互相平分，∴OC＝OA，OF＝OE
又∵∠1＝∠2，∴△FOC≌△EOA．
∴∠3＝∠4，FC＝EA．∴AB∥CD．
又∵DF＝BE，∴AB＝CD．∴四边形 ABCD 是平行四边形．
∵∠B＝90°，∴四边形 ABCD 是矩形．
3、分析要证四边形 AFGE 是菱形，要先证明它是平行四边形，然后寻找邻边相等的条件，而要证明它
是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件．
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.
又∵AD⊥BC，
∴∠1＋∠C＝90°．∴∠2＝∠C
90°,
1= 2
,
AEC AFC
AC AC
∠ = ∠ =
∠ ∠
=
，10
又∵∠AFE＝∠2＋∠3，∠AEB＝∠C＋∠4，∠3＝∠4，
∴∠AFE＝∠AEF．∴AF＝AE．
∵BE 平分∠ABC，∠BAC＝90°，EG⊥BC，
∴EA＝EG．∴AF＝EG．
∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴AD∥EG．
又∵AF＝EG，∴四边形 AFGF 是平行四边形．
又∵AF＝AE，∴四边形 AFGE 是菱形．
【解题策略】 判定一个四边形是特殊的平行四边形，要逐步证明，先证明它是平行四边形，然后证
明它是特殊的平行四边形．
4、分析 设 AC，BD 交于点 O，易证△BGE 为等腰直角三角形，四边形 EFOG 为矩形，∴GE＝BG，EF＝
OG，∴EF＋EG＝OB= AC = ㎝．
解：设 O 为 AC，BD 的交点，
∵四边形 ABCD 为正方形，
∴OB＝OD＝ AC＝ ㎝，∠BOC＝90°，∠OBC＝45°．
又∵EG⊥OB，EF⊥OC，
∴△BGE 为等腰直角三角形，四边形 GEFO 为矩形．
∴EG＝BG，EF＝OG．
∴EF＋EG＝OG＋BG＝OB＝ ㎝．
5、分析由题意可得四边形 FECF 是矩形，连接 PC，则 EF＝PC，而 P 为正方形对角线 BD 上一点，可证
PC＝PA．
证明：连接 PC，∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形 PFCE 是矩形，∴PC＝EF．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠1＝∠2，AD＝DC
在△ADP 和△CDP 中，∵
∴△ADP≌CDP．∴PC＝PA．∴PA＝EF．
【解题策略】 正方形一条对角线上任意一点到另一条对角线两端点的距离相等．
6、分析 本题综合考查角平分线的定义，三线合一定理以及矩形的有关性质．根据题目已知条件判
定四边形 DAEB 是矩形是解决本题的关键．
证明：（1）∵AD 平分∠BAC，AE 平分∠BAF，
∴∠BAD＝ ∠BAC，∠BAE＝ ∠BAF．
又∵∠BAC＋∠BAF＝180°，
∴∠BAD＋∠BAE＝ （∠BAC＋∠BAF）＝ ×180°＝90°，
即∠DAE＝90°，
∴DA⊥AE．
1
2
5
2
1
2
5
2
5
2
,
1 2,
,
AD CD
DP DP
=
∠ = ∠
=
1
2
1
2
1
2
1
211
解：（2）AB＝DE．现由如下：
在△ABC 中，AB＝AC，AD 平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在四边形 AEBD 中，∠ADB＝90°，∠DAE＝90°．
∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，
∴四边形 AEBD 是矩形，
∴AB＝DE．
7、分析 若菱形有一个内角为 60°或 120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有
用的基本图形．
解：因为 AB＝AD＝BC＝CD，∠ABD＝ ∠ABC＝ ×120°＝60°，
所以△ABD 为等边三角形，
所以 AB＝BD＝12㎝，
所以菱形的周长为 48 ㎝．
8、解：（1）过动点 P 作 PE⊥BC 于点 E，在 Rt△ABC 中，由 AB＝8，BC＝6，得 AC＝10，PC＝AC－AP＝
10－x．
因为 PE⊥BC，AB⊥BC，所以△PEC∽△ABC．
所以： 所以 PE＝8－ x
所以 S△PBC＝ PE·BC＝24－ x．
又 S△PCD＝S△PBC＝24－ x，所以 y＝48－ x（0＜x＜10）．
（2）这种说法是正确的．
由（1）可得 S△PAD＝ x ，所以 S△PBC＋S△PAD＝24．
【解题策略】 本题是几何与函数的综合题．求三角形的面积与自变量 x 的函数关系式，关键是确定
三角形的底边长后，用含 x 的代数式表示出三角形的高．
9、分析 先证明是矩形，再证一组邻边相等．
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°．
又∵AE，BE，CG，DG 分别为四个内角的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6＝∠7＝∠8＝45°．
∴∠9＝∠10＝∠11＝90°．
∴四边形 EFGH 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
∵∠7＝∠8＝45°，
∴FA＝FD（等角对等边）．
在△ABE 和△DCG 中，
∵∠l＝∠6＝45°，AB＝CD，∠2＝∠5＝45°，
∴△ABE≌△DCG（ASA）．∴AE＝DG．
∴FA－AE＝FD－DG，即 FE＝FG．
∴四边形 EFGH 是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．
【解题策略】（1）本题图中所有的直角三角形均可证得是等腰直角三角形，并且
1
2
1
2
10, ,8 10
PE PC PE x
AB AC
−= =即 4
5
1
2
12
5
12
5
24
5
12
512
还是对应全等的．这一点从图形中可以看出来，所以我们要认真观察图形，从图形中
寻找证题线索．
（2）不管是平行四边形、矩形、菱形、正方形中的哪一类问题，都要熟记它们的性质和判定，再看
题中的条件或结论能符合哪一条．另外，还要能从图形中找出符合它们的基本图形．
10、解：（1）AC⊥BD AC＝BD 且 AC⊥BD
（2）S△AEH + S△CFG＝ S 四边形 ABCD．证明过程如下：
因为 E，H 分别为 AB，AD 的中点，
所以 EH∥BD 且 EH＝ BD．
所以△AEH∽△ABD，且相似比为 ．
所以 S△AEH＝ S△ABD．同理 S△CFG＝ S△CBD．
所以 S△AEH+S△CFG＝ （S△ABD+S△CBD），
即 S△AEH+S△CFG＝ S 四边形 ABCD
（3）由（2）可得 S△BEF+S△DGH＝ （S△ABC+S△ADC）＝ S 四边形 ABCD，
∴S△AEH +S△CFG +S△BEF 十 S△DGH ＝ S 四边形 ABCD+ S 四边形 ABCD＝ S 四边形 ABCD
∴S 四边形 EFGH ＝ S 四边形 ABCD．
11、解：三种方案如下：
（1）如图 3—63（1）所示，连接 AC，BD，交于点 O．
（2）如图 3--63（2）所示，连接正方形两组对边中点 EF，GH，交于点 O．
（3）如图 3—63（3）所示，取 AE：BG＝CF＝DH，连接．EF，GH，交于点 O．
规律·方法 目前，中考中关于开放和探索性试题的设计主要有三种形式：
（1） 条件的开放与探索；（2）结论的开放与探索；（3）解题方法的开放与探索．本题是结论开
放式问题．实际上，两条对角线绕着它们的交点旋转任何一个角度，都是符合要求的．
体验中考
1、分析 本题综合考查角平分线的性质、等腰三角形的判定定理和梯形中位线的性质．∵BP 平分∠
ABC．∴∠EBP＝∠PBC．∵EF 是梯形 ABCD 的中位线，∴EF∥BC，∴∠EPB＝∠PBC，∴∠EBP＝∠EPB，∴EB
＝EP＝AE，同理可知 FP＝FC＝FD．梯形的周长＝（AD+BC）+（AB+CD）＝2EF+2EP+2PF＝2EF+2（EP+PF）＝
4EF＝4×3＝12．故选 C．
2、分析 (1)本题主要考查菱形的性质定理．由菱形的对角线互相垂直，得 AC⊥BD．在 Rt△AOB 中，
1
4
1
2
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2
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1
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AB=5．又 AC，BD 互相垂直平分，而 AC=6，∴OA=3，∴OB=4,∴BD=8．又∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形 ACED
为平行四边形，故 DE，BE 可求长．(2)本题的关键是由四边形 ABCD 是菱形得到 BO=OD，即可证△BOP≌△
DOQ，∴BP=DQ．
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形，∴BE∥AD．
又∵AC∥DE，
∴四边形 ACED 为平行四边形．
则有 BE=BC＋CE=BC＋AD=10．
又∵AC⊥BD，AC∥DE，∴BD⊥DE，且 DE=AC=6．
在 Rt△BDE 中，由勾股定理，得 BD2+DE2=BE2，解得 BD=8．
∴△BDE 的周长为 BD+DE+BE=8+6+10=24．
证明：(2)∵四边形 ABCD 是菱形，
∴OB=OD BC∥AD，∴∠DBC=∠BDA，∠BPO=∠DQO，
∴△BOP≌△DOQ，∴BP=DQ．
3、分析 (1)作辅助线是解题的关键，在 AB 上取点 M，使 AM=EC，连接 ME，则由题意可证△AME≌△
ECF．AE=EF．(2)在 BA 的延长线上取一点 N，使 AN=CE，连接 NE，则由题意可证△ANE≌△ECF，∴
AE=EF．
解：(1)正确．证明如下如图 3-68 所示，在AB 上取一点 M，使 AM=EC，连接 ME， ∴BM=BE，∴∠BME=45
°，∴∠AME=135°．
∵CF 是外角平分线，∴∠DCF=45°，
∴∠ECF＝135°，∴∠AME=∠ECF．
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，∴△AME≌△ECF(ASA)，
∴AE=EF．
(2)正确．证明如下：
如图 3 -69 所示，在 BA 的延长线上取一点 N，使 AN=CE，
连接 NE，∴BN=BE，
∴∠N=∠FCE=45°．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF．
【解题策略】 熟练掌握有关证明三角形全等的系统知识是解决此类问题的关键．把特殊四边形和三
角形综合在一起考查空间想象力和逻辑判断能力是中考的常见题型．
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