1
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教 学 时 间 课
题 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课 型 新
授
教 学 媒 体 多 媒 体
知 识
技 能
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过 程
方 法 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
教
学
目
标 情 感
态 度
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学
生勇于探索的精神.
教 学 重 点 一元二次方程的根与系数关系
教 学 难 点 对根与系数关系的理解和推导
教 学 过 程 设 计
教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 设 计 意 图
一、复习引入
导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪
法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0
与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数
是 1 的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和
的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系
吗？
分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求
出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否
成立，若不成立，新的结论是什么？
4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，
它的两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、
积，得到方程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达
定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两
根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积
等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导
得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元
二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
教师出示问题，引
出课题学生初步了
解本课所要研究的
问题
学生通过去括号、
合并得到一般形
式的一元二次方
程，教师适时点拨，
分析总结得到结
论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问题，
学生通过特殊例子
入手，再通过一般
形式推导证明，教
师引导学生根据求
根公式进行探究、
交流，尝试发现结
论
创设问题情境，
激发学生好奇
心，求知欲
通过思考问题，
让学生知道二
次项系数为 1
的一元二次方
程的根与系数
关系，为后面
继续研究做铺
垫
让学生通过
探究问题，体
会从特殊到
一般的认知
过程，体会数
学结论的确
定性2
求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积.
○1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则
b= ,c= .
○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根
是 ,k 的值是 .
○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数，
则 p= ; 若两个根互为倒数，则 q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另
一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的
两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的
两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程
的一次项系数和常数项.
○4 两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0
D.2x2+15x-8=0
○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ x-
=0
○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个
正根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正根
一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方
程各项系数的符号，○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的
限制.
三、课堂训练
1.完成教材随堂练习
2.补充练习：
x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列
各式的值：○1 ； ○2 ○3 ； ○4
；○5
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
○1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
○2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
○3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
○4 判断两个根的符号；○5 不解方程求含有方程的两根的式子的
值.
五、作业设 计
教材习题 2.8
补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个根是 ，求
学生独立解决，并
交流
先观察，尝试选用
合适方法解题，之
后交流，比较解法
学生尝试归纳，师
生总结
学生独立完成，教
师巡回检查，师生
集体订正
学生归纳，总结阐
述，体会，反思.
并做出笔记.
加深对韦达定
理的理解，培
养学生的应用
意识和能力
通过学生亲自
解题的感受与
经验，感受数
学的严谨性和
数学结论的确
定性.
进一步加强
对所学知识
的理解和掌
握
通过归纳，进
一步理解韦
达定理及其
应用
加强教学反
思，帮助学生
养成系统整
理知识的学
习习惯，加深
认识，深化提
高，形成学生
自己的知识
体系.
53
6
21
11
xx
+ 2
21
2
12 xxxx + 2
2
2
1 xx +
( )2
21 xx −
2
1
1
2
x
x
x
x +
βα、3
的值.
教 学 反 思
α
β
β
α +
微信/支付宝扫码支付