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2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
知识技能目标
1.能说出根与系数的关 系；
2.会利 用根与系数的关系解有关的问题.
过程性目标
在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，
体会应用自己探索成果的喜悦.
情感态度目标
1.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的
习惯；
2.通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神.
重点和难点：
重点：一元二次方程两根之和，及 两根之积与原方程系数之间的关系；
难点：对根与系数这一性质进行应用.
教学过程：
一、创设情境
1．请说出解一元二次方程的四种解法.
2．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来
的方程有什么联系？
(1)x2－2x＝0；
(2)x2＋3x－4＝0；
(3)x2－5x＋6＝0.
方程
让学生先解出方程的正确答案，再观察两解的和、积与原方程中的系数的关系，并加以
证明.
二、探究归纳
方程
x2－2x＝0 0 2 2 0
x2＋3x－4＝0 1 -4 -3 -4
x2－5x＋6＝0 2 3 5 6
可以得到；两个解的和等于一次项系数的相反数，两个解的积等于 常数项.
一般地，对于关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0（p，q 为已知常数，p2－4q一般地，对于关
于 x 的方程 x2＋px＋q＝0（p，q 为已知常数，p2－4q≥0），试用求根公式求出它的两个解
x1、x2，算一算 x1＋x2、x1•x2 的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致.
（此探索过程让学生分组进行交流、协作完成）
探索过程
1x 2x 21 xx + 21 xx •
1x 2x 21 xx + 21 xx •结论：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，这与上面的发现是一
致的.
三、实践应用
例 1 已知关于 x 的方程 x2－px＋q＝0 的两个根是 0 和－3，求 p 和 q 的值.
解法一：因为关于 x 的方程 x2－px＋q＝0 的两个根是 0 和－3，所以有
解法二：由 ，
方程 x2－px＋q＝0 的两个根是 0 和－3， 可得
例 2 写出下列方程的两根和与两根积：
课堂练习
1.写出下列方程的两根和与两根积：
qqppqppxx
pqppqppxx
qppxqppx
qpp
a
acbbx
qpacb
qcpba
qpxx
=−−−•−+−=•
−=−−−+−+−=+
−−−=−+−=
−±−=−±−=
≥−=−
===
=++
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
044
1
0
22
21
22
21
2
2
2
1
22
22
2
，
，，
．qp
q
p
qp
qp
03
0
3
0)3()3(
000
2
2
=−=
=
−=
=+−×−−
=+×−
，所以
解这个方程组得
qxxpxx =•−=+ 2121 ，
．qp
q
p
03
)3(0
)3(0
=−=
=−×
，即得
＝－－＋
05)4(032)3(
02114)2(017)1(
22
22
=−+−=−+
=−+=+−
nnxxxx
xxxx
5)4(
2
3
2
1)3(
2114)2(
17)1(
2121
2121
2121
2121
−=•=+
=•−=+
=•−=+
=•=+
nxxnxx
xxxx
xxxx
xxxx
，
－，
－，
，解
03)4(0532)3(
04411)2(025)1(
22
22
=−+−=−+
=−+=+−
mmxxxx
xxxx2.已知关于 x 的方程 x2－6x＋p2－2p＋5＝0 的一个根是 2，求方程的另一个根和 p 的值.
四、交流反思
1.通过这节课的学习，掌 握探索的步骤：观察——归纳——猜想——证明；
2.通过本节课探索出一元二次方程的根与系数的关系.
五、检测反馈
1.已知关于 x 的方程 x2－2x＋m2+m－2＝0 的一个根是 2，求方程的另一个根和 m 的值.
2.写出下列 方程的两根和与两根积：
3.已知关于 x 的方程 2x2－mx－m2＝0 有一个根是 1，求 m 的值.
六、布置作业
习题 2.8
03)4(0152)3(
0)2(047)1(
22
22
=+−=+−
=−+=+−
mxxxx
nmxxxx
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