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1.2 矩形的性质与判定
第 1 课时 矩形的性质
一、教学目标：
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
3．渗透运动联系、从量变到质变的观点．
二、重点、难点
1．重点：矩形的性质．
2．难点：矩形的性质的灵活应用．
三、例题的意图分析
例 1 是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作
用．例 2 与例 3 都是补充的题目，其中通过例 2 的讲解是想让学生了解：（1）因为矩形四个角都是直角，
因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几
何计算题中常用的方法；（2）“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直
角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式．并能通过例 2、例 3 的讲解使学生掌握解决有关矩形方面的
一些计算题目与证明题的方法．
四、课堂引入
1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应
用了平行四边形的什么性质？
2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？
为什么？（动画演示拉动过程如图）
3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学
学过的长方形）引出本课题及矩形定义．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象．
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动
一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什
么关系？2
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．
矩形性质 1 矩形的四个角都是直角．
矩形性质 2 矩形的对角线相等．
如图，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，由性质 2 有 AO=BO=CO=DO= AC= BD．因此可以得到直角
三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
五、例习题分析
例 1 已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这
个特性和已知，可得△OAB 是等边三角形，因此对角线的长度可求．
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC 与 BD 相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB 是等边三角形．
∴ 矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）．
例 2（补充）已知：如图 ，矩形 ABCD，AB 长 8 cm ，对角线比 AD 边长 4 cm．求 AD 的长及点 A 到 BD
的距离 AE 的长．
分析：（1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到
直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方
法．
略解：设 AD=xcm，则对角线长（x+4）cm，在 Rt△ABD 中，由勾股定理： ，解得
x=6． 则 AD=6cm．
“直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的
一个基本关系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8cm．
例 3（补充） 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，DF⊥AE 于 F，若 AE=BC． 求证：CE＝EF．
分析：CE、EF 分别是 BC，AE 等线段上的一部分，若 AF＝BE，则问题解决，而证明 AF＝BE，只要证明△
ABE≌△DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠B=90°，且 AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
2
1
2
1
222 )4(8 +=+ xx3
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此题还可以连接 DE，证明△DEF≌△DEC，得到 EF＝EC．
六、随堂练习
1．（填空）
（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别
为 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一条对角线长为 10cm，两条对角线的一个交角为 120°，则矩形的边长分别为
cm， cm， cm， cm．
2．（选择）
（1）下列说法错误的是（ ）．
（A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2 对 （B）4 对 （C）6 对 （D）8 对
3．已知：如图，O 是矩形 ABCD 对角线的交点，AE 平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO 的度数．
七、课后练习
1．（选择）矩形的两条对角线的夹角为 60°，对角线长为 15cm，较短边的长为（ ）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2．在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B 的度数．
3．已知：矩形 ABCD 中，BC=2AB，E 是 BC 的中点，求证：EA⊥ED．
4．如图，矩形 ABCD 中，AB=2BC，且 AB=AE，求证：∠CBE 的度数．
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