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第 2 课时 互余、互补及其性质
知识点 1 互余、互补的概念
1．若∠α 与∠β 互为余角，则∠α＋∠β＝________；若∠α 与∠β 互为补角，则∠α
＋
∠β＝________．
2．[2017·常德]若一个角为 75°，则它的余角的度数为( )
A．285° B．105° C．75° D．15°
3．若∠A＝34°，则∠A 的补角的度数为( )
A．56° B．146° C．156° D．166°
4．一个角的余角是 54°38′，则这个角的补角是________．
5．已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补．若∠1＝63°，则∠3＝________．
6．如图 2－7－17， O 是直线 AE 上的一点，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分
线．
(1)图中互余的角有哪几对？
(2)图中互补的角有哪几对？
图 2－7－17
2
知识点 2 互余、互补的性质
7．(1)若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，则
∠2________∠3(填“>”“”“”“”“∠β，试判断∠β 与
1
2(∠α－∠β)的数量关系．
14.如图 2－7－20，将两块直角三角尺的直角顶点 C 叠放在一起．
(1)若∠DCE＝35°，求∠ACB 的度数；
(2)若∠ACB＝140°，求∠DCE 的度数；
(3)写出∠ACB 与∠DCE 的数量关系，并说明理由．
图 2－7－204
15．如图 2－7－21， O 为直线 AB 上的一点，∠AOE 为直角，∠DOF＝90°，OB 平分
∠COD，则图中与∠DOE 互余的角有哪些，与∠DOE 互补的角有哪些？
图 2－7－21
16．如图 2－7－22，∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶3∶4，射线 OM，ON 分别平分∠AOB 与∠COD，
已知∠MON＝90°，则∠AOB 等于( )
图 2－7－22
A．20° B．30° C．40° D．45°
17．如图 2－7－23①，∠AOB，∠COD 都是直角．
(1)试猜想，∠AOD 和∠BOC 在数量上是否存在相等、互余或互补的关系？你能说明你的
猜想的正确性吗？
(2)当∠COD 绕点 O 旋转到图 2－7－23②所示的位置时，(1)中的猜想还成立吗？5
图 2－7－23
【详解详析】
1．90° 180°
2．D [解析] 它的余角的度数为 90°－75°＝15°.故选 D.
3．B [解析] ∠A 的补角的度数为 180°－34°＝146°.故选 B.
4．144°38′ [解析] 根据题意得这个角为 90°－54°38′＝35°22′， 则这个角的
补角为 180°－35°22′＝144°38′.6
5．153° [解析] 因为∠1 是∠2 的余角，∠3 是∠2 的补角，所以∠3－∠1＝90°，所
以∠3＝90°＋63°＝153°.
6．解：(1)∠AOB 与∠DOE，∠AOB 与∠COD，∠COD 与∠BOC，∠BOC 与∠DOE 都是互余的
角．
(2)∠AOB 与∠BOE，∠BOC 与∠BOE，∠AOC 与∠COE，∠COD 与∠AOD，∠EOD 与∠AOD 都
是互补的角．
7．(1)＝ 同角的余角相等 (2)＝ 等角的余角相等 (3)＝ 同角的补角相等 (4)＝
等角的补角相等
8．解：(1)∠AOB＝∠BOC＋∠AOC＝70°＋50°＝120°，
其补角为 180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.
(2)∠DOC＝
1
2∠BOC＝
1
2×70°＝35°，
∠AOE＝
1
2∠AOC＝
1
2×50°＝25°.
∠DOE 与∠AOB 互补．
理由：因为∠DOE＝∠DOC＋∠COE＝∠DOC＋∠AOE＝35°＋25°＝60°，
所以∠DOE＋∠AOB＝60°＋120°＝180°，
故∠DOE 与∠AOB 互补．
9．C
10．C.
11．C
12．[22.5°
[解析] 根据题意，知这个角的度数是 90°×
1
4＝22.5°.
13．解：因为∠α 与∠β 互补，
所以∠α＋∠β＝180°，
所以∠β＝180°－∠α，7
所以∠β 的余角为 90°－(180°－∠α)＝∠α－90°＝∠α－
1
2(∠α＋∠β)＝
1
2∠α
－
1
2∠β＝
1
2(∠α－∠β)，
所以∠β＋
1
2(∠α－∠β)＝90°.
14．解：(1)因为∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
所以∠DCB＝90°－35°＝55°.
因为∠ACD＝90°，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝145°.8
(2)因为∠ACB＝140°，∠ACD＝90°，
所以∠DCB＝140°－90°＝50°.
因为∠ECB＝90°，
所以∠DCE＝90°－50°＝40°.
(3)∠ACB＋∠DCE＝180°(或∠ACB 与∠DCE 互补)．
理由：因为∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
所以∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝90°＋∠DCB，
∠DCE＝∠ECB－∠DCB＝90°－∠DCB，
所以∠ACB＋∠DCE＝180°.
15．[解析] 本题要根据余角、补角的定义，结合图形认真观察．
解：因为∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝180°－90°＝90°，
所以∠BOD＋∠DOE＝90°，
即∠DOE 与∠BOD 互余．
因为 OB 平分∠COD，
所以∠BOC＝∠BOD，
所以∠DOE 与∠BOC 互余．
因为∠DOF＝90°，
所以∠DOE＋∠EOF＝90°，
所以∠DOE 与∠EOF 互余．
即与∠DOE 互余的角有∠BOD，∠BOC，∠EOF.
因为∠DOE＋∠BOF＝∠DOE＋∠EOF＋∠BOE＝∠DOF＋∠BOE＝180°，
所以∠DOE 与∠BOF 互补．
因为∠DOE＋∠COE＝∠DOE＋∠COB＋∠BOE＝∠DOE＋∠BOD＋∠BOE＝
∠BOE＋∠BOE＝180°，9
所以∠DOE 与∠COE 互补，
即与∠DOE 互补的角有∠BOF，∠COE.
16．B
17．解：(1)猜想：∠AOD 与∠BOC 互补．
因为∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝90°＋∠BOD，
∠BOD＝90°－∠BOC，
所以∠AOD＝90°＋90°－∠BOC，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
即∠AOD 与∠BOC 互补．
(2)(1)中的猜想仍然成立．
因为∠AOB，∠COD 都是直角，
所以∠AOB＋∠COD＝180°.
又因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝ 360°，
所以∠AOD＋∠BOC＝180°，
所以∠AOD 与∠BOC 互补．
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