1
2.5 三元一次方程组及其解法(选学)
知识点 解三元一次方程组
基本思路：用代入法或加减法消去一个未知数，化成二元一次方程组，再解这个二元一
次方程组．
[点拨] 一般步骤：三元(方程组) ― ― →消元
二元(方程组) ― ― →消元
一元(方程)．
解方程组：{x－2y＝9，
x＋y－z＝7，
2x－3y＋z＝12.
探究 一 方程组中每个方程都是三元一次方程的三元一次方程组的解法
教材例 1 变式题解方程组：
{2x＋4y－3z＝9，
3x－2y－4z＝8，
5x－6y－5z＝7.
[归纳总结] 当三元一次方程组中的每一个方程都是三元一次方程(即每个方程含三个未
知数)时，有两种解法．解法一(代入法)：首先选择未知数的系数的绝对值较小的方程，在这
个方程中，用其他两个未知数表示这个系数绝对值较小的未知数，然后分别代入另外两个方
程，得到一个二元一次方程组，并解之；解法二(加减法)：当方程组中相同未知数的系数的
绝对值之间存在相等或成整数倍数关系或最小公倍数较小时，就可消去这个未知数，转化为
二元一次方程组．
探究 二 用特殊的方法解三元一次方程组
教材补充题解方程组：(1){x＋y＝7，
y＋z＝8，
z＋x＝9；2
(2){x ∶ y＝3 ∶ 2，
y ∶ z＝5 ∶ 4，
x＋y＋z＝66.
[反思] 本节学习的数学知识是三元一次方程组的概念及其解法，数学思想是消元思想和
转化思想．若
x
3＝
y
4＝
z
5≠0，则
x＋2y＋3z
2x ＝________．
一、选择题
1．下列方程组中，是三元一次方程组的是( )3
A.{a＝1，
b＝2，
b－c＝3
B.{x＋y＝2，
y＋z＝1，
z＋c＝3
C.{4x－3y＝7，
5x－2y＝14，
2x－y＝4
D.{xy＋z＝3，
x＋yz＝5，
xz＋y＝7
2．解为{x＝1，
y＝1，
z＝2
的方程组是( )
A.{x＋y＋z＝4，
2x＋y－z＝1，
3x＋2y－4z＝－3
B.{x－y－z＝0，
z＋y－x＝1，
2x＋y－2z＝5
C.{x＋y＝4，
y＋z＝5，
x＋z＝6
D.{2x＋3y－z＝5，
x＋y＋z＝4，
x－y＋2z＝2
3．三元一次方程组{x＋y＝1，
y＋z＝5，
z＋x＝6
的解是( )
A.{x＝1，
y＝0，
z＝5
B.{x＝1，
y＝2，
z＝4
C.{x＝1，
y＝0，
z＝4
D.{x＝4，
y＝1，
z＝0
4．解三元一次方程组：{a＋b－c＝1，①
a＋2b－c＝3，②
2a－3b＋2c＝5.③
具体过程如下：
(1)②－①，得 b＝2，
(2)①×2＋③，得 4a－2b＝7.
(3)所以{b＝2，
4a－2b＝7.
(4)把 b＝2 代入 4a－2b＝7，得 4a－2×2＝7(以下求解过程略)．其中错误的一步是
( )
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
5．若 x，y 同时满足下列三个等式：①5x＋2y＝a，②3x－2y＝7a，③4x＋y＝a＋1，则
a 的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
二、填空题
6．已知三元一次方程 2x－3y＋4z＝8，用含 x，y 的代数式表示 z 是______________．
7．若{x＝－1，
y＝2，
z＝1
是关于 x，y，z 的方程 3x＋2y＋mz＝0 的解，则 m＝________．4
8．已知{x＋y＝5，
y＋z＝－2，
z＋x＝3，
则 x＋y＋z＝________．
9．解三元一次方程组{x＋2y－z＝3，
2x＋y＋z＝5，
3x＋4y＋z＝10
时，先消去 z，得二元一次方程组__________，再
消去 y，得一元一次方程________，解得 ________，从而得 y＝________，z＝________．
三、解答题
10．解下列方程组：
(1){2x＋y－3z＝3，
3x－y＋2z＝－1，
x－y－z＝5；
(2)x＋3y＝y－2z＝x＋z＝5；
(3){2x＋3y＋z＝6，
x－y＋2z＝－1，
x＋2y－z＝5.
11．若|x－2|＋|3x－6y|＋(3y＋z)2＝0，求 x＋y＋z 的值．
12．某单位职工在植树节当天去植树，甲、乙、丙三个小组共植树 50 棵，乙组植树的棵
数是甲、丙两组和的
1
4，甲组植树的棵数恰好是乙组和丙组的和，问每组各植树多少棵？
13．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文―→密文(加密)，接收方由密文―→
明文(解密)．已知加密规则为明文 x，y，z 对应密文 2x＋3y，3x＋4y，3z.例如：明文 1，2，5
3 对应密文 8，11，9.当接收方收到密文 12，17，27 时，请你求解密得到的明文．
14．若规定|a c
b d |＝ad－bc，如|2 - 1
3 0 |＝2×0－3×(－1)＝3.解方程组：|3 y
2 x |＝
1，
|x z
-3 5|＝8，
|3 z
6 y |＝－3.
[技巧性题目] 已知方程组{x＋y＝3a，
y＋z＝5a，
z＋x＝4a
的解使代数式 x－2y＋3z 的值等于－10，求 a 的
值．
详解详析
教材的地位
和作用
三元一次方程组是代数方程的一种，本节在二元一次方程组解法的基础上，
借助类比的方法学习三元一次方程组的解法．通过对它的学习，可以了解多
元一次方程组的概念和解法，也是后续学习函数、平面解析几何以及物理、
化学等运算的工具．本考点在中考时单独命题，形式多以解答题为主
知识
与技
能
1.了解三元一次方程组及其相关概念；
2.掌握解简单的三元一次方程组的方法
过程
与方
法
1.通过对方程组中未知数的特点的观察分析，明确解三元一次方程组的主
要思想是“消元”，从而促成未知向已知转化，培养观察能力和体会化归的思
想；
2.通过代入法、加减法解三元一次方程组及选用合理、简捷的方法解方程
组的训练，培养运算能力
教
学
目
标
情感、
态度
与价
值观
通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流的意识与探究精神
重点 利用消元思想解某些简单的三元一次方程组
难点 正确、灵活地选择代入法和加减法解三元一次方程组
教学
重点
难点 易错 对用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的变形不熟练，从而导致6
点 解答错误
【预习效果检测】
[解析] {x－2y＝9，①
x＋y－z＝7，②
2x－3y＋z＝12，③
①中缺少未知数 z，解法一：由①得 x＝2y＋9，把 x＝2y＋
9 分别代入②③，得到一个关于 y，z 的二元一次方程组；解法二：既然①中不含 z，那么在②
和③中消去 z 后，得到一个关于 x，y 的方程 3x－2y＝19 与①联立，得到一个关于 x，y 的二
元一次方程组．
解：{x－2y＝9，①
x＋y－z＝7，②
2x－3y＋z＝12，③
解法一：由①，得 x＝2y＋9.④
把④分别代入②③，得{3y－z＝－2，
y＋z＝－6.
解这个方程组，得{y＝－2，
z＝－4.
把 y＝－2 代入④，得 x＝5.
所以原方程组的解为{x＝5，
y＝－2，
z＝－4.
解法二：②＋③，得 3x－2y＝19.④
联立①与④，得{x－2y＝9，
3x－2y＝19.
解这个方程组，得{x＝5，
y＝－2.
把 x＝5，y＝－2 代入②，
得 5－2－z＝7，
所以 z＝－4.
所以原方程组的解为{x＝5，
y＝－2，
z＝－4.
【重难互动探究】
例 1 [解析] {2x＋4y－3z＝9，①
3x－2y－4z＝8，②
5x－6y－5z＝7，③
解法一(用代入法)：方程组中，未知数的系数绝对值
较小的方程有①和②.若选用①，则用含 y，z 的式子表示 x，并分别代入②③消去 x，得关于
y，z 的二元一次方程组；若选用②，则用含 x，z 的式子表示 y，并分别代入①③，消去 y，
得到关于 x，z 的二元一次方程组，其中选用先消去 y 的解法较简单；解法二(用加减法)：方
程组中，相同未知数的系数绝对值之间存在相等或成整数倍的关系时，可用加减法．如本题
可消去 y.7
解：{2x＋4y－3z＝9，①
3x－2y－4z＝8，②
5x－6y－5z＝7，③
解法一(用代入法)：由②，
得－2y＝8－3x＋4z，
y＝－4＋
3
2x－2z.④
把④代入①，得 2x＋4(－4＋
3
2x－2z)－3z＝9，
即 8x－11z＝25.⑤
把④代入③，得 5x－6(－4＋
3
2x－2z)－5z＝7，
即－4x＋7z＝－17.⑥
⑤与⑥组成方程组为{8x－11z＝25，
－4x＋7z＝－17，
解这个方程组，得{x＝－1，
z＝－3.
把 x＝－1，z＝－3 代入④，得 y＝
1
2，
所以原方程组的解是{x＝－1，
y＝
1
2，
z＝－3.
解法二(用加减法)：②×2，
得 6x－4y－8z＝16.④
①＋④，得 8x－11z＝25.⑤
②×(－3)，得
－9x＋6y＋12z＝－24.⑥
③＋⑥，得－4x＋7z＝－17.⑦
以下解法同解法一，略．
例 2 [解析] (1){x＋y＝7，①
y＋z＝8，②
z＋x＝9，③
因为三个方程相同未知数的系数之和相等，所以三个方
程相加，除以 2 后，再分别与①②③相减，依次得到 z，x，y 的值；
(2){x ∶ y＝3 ∶ 2，①
y ∶ z＝5 ∶ 4，②
x＋y＋z＝66，③
解法一：由比例的性质，将①②分别变形为 2x＝3y 和 4y＝5z；
解法二：因为①②中的 y 的份数分别为 2 份、5 份，其最小公倍数为 10 份，所以将①化为x∶y
＝15∶10，将②化为 y∶z＝10∶8，则 x∶y∶z＝15∶10∶8，故可设 x＝15k，y＝10k，z＝
8k(k≠0)，然后代入③中，求出 k 的值，即可求出 x，y，z 的值．
解： (1){x＋y＝7，①
y＋z＝8，②
z＋x＝9，③
①＋②＋③，得8
2x＋2y＋2z＝24，x＋y＋z＝12.④
④－①，得 z＝5.④－②，得 x＝4.
④－③，得 y＝3.所以原方程组的解是{x＝4，
y＝3，
z＝5.
(2){x ∶ y＝3 ∶ 2，①
y ∶ z＝5 ∶ 4，②
x＋y＋z＝66，③
由①，得 x∶y＝15∶10，
由②，得 y∶z＝10∶8，
所以 x∶y∶z＝15∶10∶8.
设 x＝15k，y＝10k，z＝8k，并代入③，得
15k＋10k＋8k＝66，所以 k＝2，
所以 x＝30，y＝20，z＝16.
所以原方程组的解是{x＝30，
y＝20，
z＝16.
【课堂总结反思】
[反思]
13
3
[解析] 解法一：设 x＝3k，y＝4k，z＝5k(k≠0)，代入
x＋2y＋3z
2x ，得
3k＋8k＋15k
6k ＝
13
3 .
解法二：特值法(仅针对填空、选择题)：假设 x＝3，y＝4，z＝5，代入求得
x＋2y＋3x
2x ＝
13
3 .
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．A
2．[解析] A 把{x＝1，
y＝1，
z＝2
代入四个选项逐一检验．
3．[解析]A 把三个方程的两边分别相加，再除以 2，得 x＋y＋z＝6 或将选项逐一代入
方程组验证．前一种解法称之为直接法；后一种解法称之为逆推验证法．
4．[解析] B ①×2＋③，得 4a－b＝7.⑤
故(2)错，选择 B.
5．C
6．[答案] z＝2－
1
2x＋
3
4y
[解析] 4z＝8－2x＋3y，z＝2－
1
2x＋
3
4y.
7．[答案] －19
[解析] 把{x＝－1，
y＝2，
z＝1
代入方程，得 3×(－1)＋2×2＋m·1＝0，得 m＝－1.
8．[答案] 3
[解析] 三个方程相加得 2x＋2y＋2z＝6，所以 x＋y＋z＝3.
9．[答案] (答案不唯一){3x＋3y＝8，
x＋3y＝5 2x＝3
x＝
3
2
7
6
5
6
10．[解析] 利用加减法消掉一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再
进行解答．
解：(1){2x＋y－3z＝3，①
3x－y＋2z＝－1，②
x－y－z＝5，③
由①＋③，得 3x－4x＝8.④
由②－③，得 2x＋3z＝－6.⑤
联立④⑤，得{3x－4z＝8，④
2x＋3z＝－6，⑤
解得{x＝0，
z＝－2.
把 x＝0，z＝－2 代入③，得 y＝－3.
所以原方程组的解是{x＝0，
y＝－3，
z＝－2.
(2)依题意，得{x＋3y＝5，
y－2z＝5，
x＋z＝5，
Error!
②＋③×2，得 2x＋y＝15.④
由①④组成方程组，得{x＋3y＝5，
2x＋y＝15，
解得{x＝8，
y＝－1.
把 x＝8 代入③，得 z＝－3.
所以原方程组的解是{x＝8，
y＝－1，
z＝－3.
(3){2x＋3y＋z＝6，①
x－y＋2z＝－1，②
x＋2y－z＝5，③
③＋①，得 3x＋5y＝11.④
③×2＋②，得 3x＋3y＝9.⑤
④－⑤，得 2y＝2，y＝1.
将 y＝1 代入⑤，得 3x＝6，x＝2.
将 x＝2，y＝1 代入①，得 z＝－1.10
所以原方程组的解为{x＝2，
y＝1，
z＝－1.
11．解：由题意，得{x－2＝0，
3x－6y＝0，
3y＋z＝0，
解得{x＝2，
y＝1，
z＝－3，
所以 x＋y＋z＝2＋1＋(－3)＝0.
12．解：设甲、乙、丙三个小组分别植树 x 棵、y 棵和 z 棵．根据题意，得{x＋y＋z＝50，
1
4(x＋z )＝y，
x＝y＋z，
解得{x＝25，
y＝10，
z＝15.
答：甲、乙、丙三个小组各植树 25 棵、10 棵和 15 棵．
13．解：依题意，得{2x＋3y＝12，
3x＋4y＝17，
3z＝27，
解得{x＝3，
y＝2，
z＝9.
答：解密得到的明文是 3，2，9.
14．解：根据规定得|3 y
2 x |＝3x－2y＝1，|x z
-3 5|＝5x＋3z＝8，|3 z
6 y |＝3y－6z＝－3.
所以{3x－2y＝1，①
5x＋3z＝8，②
3y－6z＝－3，③
②×2＋③，得 10x＋3y＝13.④
①与④组成二元一次方程组为{3x－2y＝1，
10x＋3y＝13，
解得{x＝1，
y＝1. 把 y＝1 代入③，得 z＝1，
所以原方程组的解为{x＝1，
y＝1，
z＝1.
[数学活动]
解：{x＋y＝3a，①
y＋z＝5a，②
z＋x＝4a，③
解法 1：②－①，得 z－x＝2a.④
③＋④，得 2z＝6a，z＝3a.
把 z＝3a 分别代入②和③，得 y＝2a，x＝a.
∴{x＝a，
y＝2a，
z＝3a.
将其代入 x－2y＋3z＝－10，得 a－2×2a＋3×3a＝－10，解得 a＝－
5
3.11
解法 2(技巧解法)：
①＋②＋③，得 2(x＋y＋z)＝12a，
即 x＋y＋z＝6a.⑤
⑤－①，得 z＝3a；⑤－②，得 x＝a；⑤－③，得 y＝2a.
∴{x＝a，
y＝2a，
z＝3a.
以下同解法 1.
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