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2.4 二元一次方程组的应用
第 1 课时 应用二元一次方程组解决简单的实际问题
知识点 应用二元一次方程组解决实际问题
当问题中所求的未知数有两个时，用两个字母来表示未知数往往比较容易列出方程．要
注意的是必须寻找两个等量关系，列出两个不同的方程，组成二元一次方程组．
[归纳] 应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
(1)理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系．
(2)制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组．
(3)执行计划：列出方程组并求解，得到答案．
(4)回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．
[注意] (1)题目中给出的量的单位不统一时，解题时应将单位统一．
(2)解二元一次方程组的过程可以省略．
某单位组织 34 人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是到瑞金的人
数的 2 倍多 1 人，求到两地的人数各是多少．设到井冈山的人数为 x，到瑞金的人数为 y，下
面所列的方程组正确的是( )
A.{x＋y＝34，
x＋1＝2y B.{x＋y＝34，
x＝2y＋1
C.{x＋y＝34，
2x＝y＋1 D.{x＋2y＝34，
x＝2y＋1
探究 用二元一次方程组解决较简单的实际问题
教材补充题甲、乙二人在一环形场地上从点 A 同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的
2.5 倍，4 分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑 300 米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度
及环形场地的周长．
[归纳总结] 对环形跑道中相遇问题的理解是解决本题的关键．在环形跑道中同时、同向
而行首次相遇时两者的路程差正好是环形跑道的周长．2
[反思] 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，已知 1 立方米木料可做 50 个桌面或 300
条桌腿，现在有 5 立方米木料，恰好能做几张桌子？
解：设在这 5 立方米木料中，用 x 立方米做桌面，用 y 立方米做桌腿．
根据题意得{x＋y＝5，
50x＝300y，
解得{x＝
30
7 ，
y＝
5
7.
因为
30
7 ×50≈214，所以能做 214 张桌子．
上述解法是否正确？如果不正确，请改正．
一、选择题3
1．小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了 20 支中性笔和 2 盒笔芯，
用了 56 元；小丽买了 2 支中性笔和 3 盒笔芯，仅用了 28 元．设每支中性笔 x 元，每盒笔芯 y
元，根据题意，下面所列方程组正确的是( )
A.{2x＋20y＝56，
2x＋3y＝28 B.{20x＋2y＝56，
2x＋3y＝28
C.{20x＋2y＝28，
2x＋3y＝56 D.{2x＋2y＝28，
20x＋3y＝56
2．2015·内江植树节这天有 20 名同学共种了 52 棵树，其中男生每人种树 3 棵，女生每
人种树 2 棵，设男生有 x 人，女生有 y 人，则下列方程组正确的是( )
A.{x＋y＝52，
3x＋2y＝20 B.{x＋y＝52，
2x＋3y＝20
C.{x＋y＝20，
2x＋3y＝52 D.{x＋y＝20，
3x＋2y＝52
3．已知长江比黄河长 836 米，黄河长度的 6 倍比长江长度的 5 倍多 1284 米，设长江的
长度为 x 米，黄河的长度为 y 米，则下列方程组正确的是( )
A.{x－y＝836，
5x－6y＝1284 B.{x－y＝836，
6y－5x＝1284
C.{y－x＝836，
6y－5x＝1284 D.{y－x＝836，
5x－6y＝1284
4．甲、乙两个仓库共存粮 450 吨，现从甲仓库运出存粮的 60%，从乙仓库运出存粮的
40%，结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多 30 吨．若设甲仓库原来存粮 x 吨，乙仓
库原来存粮 y 吨，则有( )
A.{x＋y＝450，
（1－60%）x－（1－40%）y＝30
B.{x＋y＝450，
60%x－40%y＝30
C.{x＋y＝450，
（1－40%）y－（1－60%）x＝30
D.{x＋y＝450，
40%y－60%x＝30
5．某学校举行运动会，七年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：
“(1)班与(5)班的得分之比为 6∶5.”乙同学说：“(1)班得分比(5)班得分的 2 倍少 40
分．”若设(1)班得 x 分，(5)班得 y 分，根据题意所列的方程组应为( )
A.{6x＝5y，
x＝2y－40 B.{6x＝5y，
x＝2y＋40
C.{5x＝6y，
x＝2y＋40 D.{5x＝6y，
x＝2y－40
6．成渝路内江至成都全长 170 千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向
开出，经过 1 小时 10 分钟相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶 20 千米．设小汽车和客车的
平均速度分别为 x 千米/时和 y 千米/时，则下列方程组正确的是( )
A.{x＋y＝20，
7
6x＋
7
6y＝170 B.{x－y＝20，
7
6x＋
7
6y＝1704
C.{x＋y＝20，
7
6x－
7
6y＝170 D.{7
6x＋
7
6y＝170，
7
6x－
7
6y＝20
二、填空题
7．某年级学生共有 246 人，男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人，问男、女生各多少人？
若设女生人数为 x，男生人数为 y，则可列方程组为______________．
8．某次足球比赛的记分规则如下：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．某队
踢了 14 场，其中负 5 场，共得 19 分，若设胜了 x 场，平了 y 场，则可列方程组为
______________．
9．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题：今有鸡兔同笼，上有 35 头，下有 94
足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有 23 只，兔有 12 只．小敏将此题改编如下：今有鸡兔
同笼，上有 33 头，下有 88 足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有________只，兔有________
只．
10．如图 2－4－1，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水
面的长度是它的
1
3，另一根露出水面的长度是它的
1
5.两根铁棒长度之和为 55 cm，此时木桶中
水的深度是________cm.
图 2－4－1
三、解答题
11．2015·福州有 48 支队 520 名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队 10 人，
每支排球队 12 人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
12．2015·常德某物流公司承接A，B 两种货物的运输业务，已知 5 月份 A 货物运费单价
为 50 元/吨，B 货物运费单价为 30 元/吨，共收运费 9500 元；6 月份由于油价上涨，运费单
价上涨为：A 货物 70 元/吨，B 货物 40 元/吨．该物流公司 6 月份承接的 A 种货物和 B 种货物
数量与 5 月份相同，6 月份共收取运费 13000 元．该物流公司 5 月份运输两种货物各多少吨？
为鼓励居民节约用电，某省实行阶梯电价收费制，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量(度) 执行电价(元/度)
第一档 小于等于 200 0.55
第二档 大于 200 小于 400 0.65
第三档 大于等于 400 0.85
例如：一户居民七月份用电 420 度，则需缴电费 420×0.85＝357(元)．
某户居民五、六月份共用电 500 度，缴电费 290.5 元．已知该用户六月份用电量大于五
月份，且五、六月份的用电量均小于 400 度．问该户居民五、六月份各用电多少度？
详解详析
教材的地位
和作用
本节课一方面在列方程(组)的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学
生列方程(组)解决实际问题的意识和能力；另一方面，将解方程组的技能训
练与解实际问题融为一体，在解决实际问题时，进一步提高学生解方程组的
能力．本节课也是一元一次方程应用的延续和发展，进一步培养学生抽象、
逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力
知识
与技
能
1.学会用二元一次方程组解决实际问题；
2.会用列表、画线段图等手段帮助分析、理解简单的实际问题
过程
与方
法
1.能比较出列二元一次方程组与列一元一次方程的异同；
2.体验运用方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决简
单实际问题的一般步骤
教
学
目
标
情感、 通过体验运用方程组解决实际问题的过程，感受数学建模在解决简单的实6
态度
与价
值观
际问题中的作用
重点 列二元一次方程组解应用题
难点 在较复杂的问题情境中找等量关系、列方程组教学
重点
难点 易错
点 对题意理解不清，导致所找的等量关系错误
【预习效果检测】
[解析] B 这里有两个等量关系：到井冈山的人数＋到瑞金的人数＝34，到井冈山的人
数＝到瑞金的人数×2＋1，所以所列方程组为{x＋y＝34，
x＝2y＋1.
【重难互动探究】
例 [解析] 设乙的速度为 x 米/分，则甲的速度为 2.5x 米/分，环形场地的周长为 y 米，
根据题中的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形
场地的周长，建立方程组求出其解即可．
解：设乙的速度为 x 米/分，环形场地的周长为 y 米，则甲的速度为 2.5x 米/分．由题意，
得
{2.5x × 4－4x＝y，
4x＋300＝y， 即{6x－y＝0，
4x－y＝－300，
解得{x＝150，
y＝900.
∴甲的速度为 2.5×150＝375(米/分)．
答：甲的速度为 375 米/分，乙的速度为 150 米/分，环形场地的周长为 900 米．
【课堂总结反思】
[反思] 上述解法不正确．改正如下：
设在这 5 立方米木料中，用 x 立方米做桌面，用 y 立方米做桌腿．
根据题意，得{x＋y＝5，
4 × 50x＝300y，解得{x＝3，
y＝2.
因为 3×50＝150，所以恰好能做 150 张桌子．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 这里有两个等量关系：20 支中性笔的价格＋2 盒笔芯的价格＝56 元；2 支
中性笔的价格＋3 盒笔芯的价格＝28 元，所以所列方程组为{20x＋2y＝56，
2x＋3y＝28.
2．D 3.B
4．[解析] C 要求甲、乙仓库原来分别存粮多少，就要先设出未知数，找出题中的等量
关系列方程组求解．题中的等量关系：从甲仓库运出存粮的 60%，从乙仓库运出存粮的 40%，
结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多 30 吨；甲、乙仓库共存粮 450 吨．设甲仓库原
来存粮 x 吨，乙仓库原来存粮 y 吨．根据题意，得{x＋y＝450，
（1－40%）y－（1－60%）x＝30.故选 C.
5．[解析] D 根据(1)班与(5)班的得分之比为 6∶5，有 x∶y＝6∶5，得 5x＝6y；7
根据(1)班得分比(5)班得分的 2 倍少 40 分，得 x＝2y－40.可列方程组为{5x＝6y，
x＝2y－40.故
选 D.
6．D
7．[答案] {x＋y＝246，
y＝2x－3
8．[答案] {x＋y＝14－5，
3x＋y＝19
[解析] 本题的等量关系：①共踢了 14 场；②共得 19 分．
9．[答案] 22 11
[解析] 设鸡有 x 只，兔有 y 只，由题意，得
{x＋y＝33，
2x＋4y＝88，
解得{x＝22，
y＝11.
∴鸡有 22 只，兔有 11 只．
10．[答案] 20
[解析] 解法一：设一根铁棒长为 x cm，另一根长为 y cm.根据题意，得{x＋y＝55，
2
3x＝
4
5y，
解得 {x＝30，
y＝25，30×
2
3＝20(cm)．
解法二：设一根铁棒长为 x cm，另一根长为(55－x)cm.
根据题意，得
2
3x＝
4
5(55－x)，
解得 x＝30，30×
2
3＝20(cm)．
11．解：设有 x 支篮球队和 y 支排球队参赛．
由题意得
{x＋y＝48，
10x＋12y＝520，
解得{x＝28，
y＝20.
答：篮球、排球队各有 28 支与 20 支参赛．
12．解：设该物流公司 5 月份运输 A，B 两种货物各 x 吨，y 吨．依题意得
{50x＋30y＝9500，
70x＋40y＝13000，
解得{x＝100，
y＝150.
答：该物流公司 5 月份运输 A 种货物 100 吨，运输 B 种货物 150 吨．
[数学活动]
解：因为两个月的用电量为 500 度，所以每个月用电量不可能都在第一档，假设该用户
五 、 六 月 份 每 月 用 电 量 均 超 过 200 度 ， 此 时 的 电 费 共 计 ： 500×0.6 ＝ 300( 元 ) ， 而
300>290.5，不符合题意．又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六8
月份用电量在第二档．
设五月份用电 x 度，六月份用电 y 度．根据题意，得
{0.55x＋0.6y＝290.5，
x＋y＝500，
解得{x＝190，
y＝310.
答：该户居民五、六月份各用电 190 度、310 度．
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