1
5.3 分式的乘除
知识点 1 分式的乘除法运算
分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即
a
b·
c
d＝
ac
bd.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
a
b÷
c
d＝
a
b·
d
c＝
ad
bc.
1．(1)
x
2y·
3a
b ＝
（ ）·（ ）
（ ）·（ ）＝________；
(2)
x2
3y·
6y
x ＝
（ ）·（ ）
（ ）·（ ）＝________；
(3)计算
ab
c2÷
a2
c3时，先把除法运算转化为乘法运算，得________，计算该乘法算式得
________．
知识点 2 分式的乘方运算
分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母各自乘方，即(a
b ) n
＝
an
bn.
2. 计算：(1)(2a2b
－c3 ) 3
；
(2)(－
a
b ) 2
·(－
b
a ) 3
÷(－ab4)．
探究 一 分式的乘法运算
计算：
(1)3xy·
1
2x2y2； (2)
a3b
2cd2·
－c2d
a2b3 ；
(3)(x2－x)·
x－1
x2－2x＋1； (4)
4x－2x2
x＋2 ·
x2＋2x
x2－4x＋4.
[归纳总结] 1.在分式的乘法运算中：①当分式的分子、分母是单项式时，可直接约分，2
再进行乘法运算；②当分式的分子、分母是多项式时，要先对分子、分母进行因式分解，再
利用分式的乘法法则运算；③当分式与整式相乘时，可以将整式的分母看成 1，再根据乘法
法则计算．
2．在分式的乘法运算中，既可以用法则来计算，也可以根据情况先约去公因式再相乘，
后者有时更简便．
3．分式乘法运算的结果要化成最简分式或整式．
探究 二 分式的乘除混合运算
教材补充题计算：
2x
5x－3÷
3
25x2－9·
x
5x＋3.
[归纳总结] 1.乘除是同级运算，应按从左到右的顺序进行，如果有括号，那么应先算括
号内的．
2．分式的乘除混合运算应先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则进行计算．
3．运算结果必须化成最简分式或整式．
探究 三 分式乘除法在生活中的实际应用
教材例 2 变式题购买西瓜时，希望可以食用的部分占整个西瓜的比例越大越好．如
果一批西瓜的皮厚都是 d，试问买大西瓜合算还是买小西瓜合算？(把西瓜都看成球形，并设
西瓜内物质的密度分布是均匀的，V 球＝
4
3πR3)
[反思] 计算：a÷
a
b·
b
a.
解：a÷
a
b·
b
a＝a÷(a
b·
b
a )＝a.
以上的计算是否正确？如果不正确，错在哪里？怎样改正？3
一、选择题
1．计算
3x
x＋y·
x＋y
xy 等于( )
A.
3
x B.
3x
xy C.
3
xy D.
3
y
2．化简
2
x2－1÷
1
x－1的结果是( )
A.
2
x－1 B.
2
x3－1
C.
2
x＋1 D．2(x＋1)
3．计算 a÷a·
1
a÷a 的结果为( )
A．1 B．a C.
1
a D.
1
a2
4．下列各式计算正确的是( )
A.
1
a＋b÷(a＋b)＝1 B.
a2－1
a2－a＝a＋1
C.
a2－1
a ÷
a2＋a
a2 ＝a－1 D．2ab÷
3b2
2a ＝3b2
5．计算 1÷
1＋m
1－m·(m2－1)的结果是( )
A．－m2－2m－1 B．－m2＋2m－1
C．m2－2m－1 D．m2－1
6．神龙汽车公司某车间 a 人 b 天可生产 c 个零件，那么 a2 个人 c2 天可生产的零件数为
( )
A.
a2b2
c B.
a2c3
b C.
ac3
b D．a2c2
二、填空题
7．计算 xy÷
y
x的结果是________．
8．2015·吉林计算：
x
x－y·
x2－y2
x ＝________．
9．计算：
a2－1
a2＋2a÷
a－1
a ＝________．
10．化简： (－
1
x )－2
＝________．
11．某服装厂新进一种布料，已知 nm 布料可以做 y 件上衣，2nm 布料可以做 3y 条裤子，
则一件上衣的用料是一条裤子的________倍．
三、解答题
12．计算：4
(1)
yz
x2·
4x
y2z；
(2)(a2＋3a)÷
a2－9
a－3 .
13.[2016·黄石]先化简，再求值：
a2－3a
a2＋a ÷
a－3
a2－1·
a＋1
a－1，其中 a＝2016.
把 m 棵树分别栽在如图 5－3－1 所示的甲、乙两块地上(阴影部分)．求甲、乙两块地中
平均每棵树所占地的面积的比．
图 5－3－1
详解详析5
教材的地位
和作用
分式的乘除法是分式运算的重要内容，一方面，本节是在学习了分式的基
本性质、分式的约分和因式分解的基础上进一步学习分式的乘除法；另一方
面，本节内容的学习又为分式的加减法和分式方程等知识的学习奠定了基础
知识
与技
能
1.掌握分式的乘除法法则；
2.会进行分式的乘除运算，并会用其解决简单的实际问题
过程
与方
法
经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探
究能力，加深对从特殊到一般的数学思想的认识
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
教学中让学生在主动探究、合作交流中渗透类比、转化的思想，使学生在
学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验
重点 分式的乘除法法则
难点 分子、分母是多项式的分式的乘除法运算及其应用教学
重点
难点 易错
点 在分式的乘除混合运算中，没有按照从左到右的顺序依次进行，导致错误
【预习效果检测】
1．(1)x 3a 2y b
3ax
2by
(2)x2 6y 3y x 2x
(3)
ab
c2·
c3
a2
bc
a
2．[解析] 运用分式的乘方法则，把分子、分母各自乘方，再运算．
解：(1)原式＝
23·（a2）3·b3
（－c3）3 ＝
8a6b3
－c9 ＝－
8a6b3
c9 .
(2)原式＝
a2
b2·(－
b3
a3 )·
1
－ab4＝
a2
b2·
b3
a3·
1
ab4＝
1
a2b3.
【重难互动探究】
例 1 [解析] (2)分子与分母的公因式是 a2bcd，所以只要约去这个公因式即可；(4)把
分式中的多项式分解因式，可以看出分子、分母的公因式为(x＋2)(x－2)，约分即可．
解：(1)原式＝
3xy
2x2y2＝
3
2xy.
(2)
a3b
2cd2·
－c2d
a2b3 ＝－
a3b
2cd2·
c2d
a2b3＝－
ac
2b2d.
(3)原式＝
（x2－x）（x－1）
（x－1）2 ＝
x（x－1）2
（x－1）2 ＝x.
(4)
4x－2x2
x＋2 ·
x2＋2x
x2－4x＋4＝－
2x（x－2）·x·（x＋2）
（x＋2）（x－2）2 ＝－
2x2
x－2.6
例 2 解：
2x
5x－3÷
3
25x2－9·
x
5x＋3
＝
2x
5x－3·
25x2－9
3 ·
x
5x＋3＝
2x2
3 .
例 3 解：设西瓜的半径为 R，西瓜可食用部分的体积 V1＝
4
3π(R－d)3，整个西瓜的体积
为 V2＝
4
3πR3.
V1
V2＝
4
3π（R－d）3
4
3πR3
＝
（R－d）3
R3 ＝(1－
d
R ) 3
.
因为 R 越大，
d
R越小，(1－
d
R )越大，(1－
d
R ) 3
越大，
所以买大西瓜合算．
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．运算顺序错误，同级运算应按从左到右的顺序进行．
原式＝a·
b
a·
b
a＝
b2
a .
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.C
3．[解析] D 注意运算顺序，乘除混合运算按从左到右的顺序进行．a÷a·
1
a÷a＝1·
1
a
÷a＝
1
a·
1
a＝
1
a2.
4．C 5.B
6．[解析]C 由 a 人 b 天可生产 c 个零件可求一人一天生产零件的个数为
c
ab，那么 a2 个
人一天可生产
c
ab·a2 个零件，a2 个人 c2 天可生产
c
ab·a2·c2＝
ac3
b (个)零件．故选 C.
7．[答案] x2
8．[答案] x＋y
9．[答案]
a＋1
a＋2
[解析]
a2－1
a2＋2a÷
a－1
a ＝
（a＋1）（a－1）
a（a＋2） ·
a
a－1＝
a＋1
a＋2.
10．[答案] x2
11．[答案] 1.5
[解析]
n
y÷
2n
3y＝
3
2.
12．[解析] 按运算法则进行计算，注意运算顺序和符号的处理．
解：(1)原式＝
4xyz
x2y2z＝
4
xy.7
(2)原式＝a(a＋3)÷
（a＋3）（a－3）
a－3
＝a(a＋3)·
a－3
（a＋3）（a－3）＝a.
13．解：原式＝
a(a－3 )
a(a＋1 )·
(a－1 )(a＋1 )
a－3 ·
a＋1
a－1＝a＋1.
当 a＝2016 时，原式＝2017.
[数学活动]
解：
a2－b2
m ÷
πa2－πb2
m ＝
1
π.
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