1
3.5 整式的化简
知识点 整式的化简
整式的化简应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序．能运用乘法公式的则运用公
式．
计算：(1)(x－y)2－(x＋y)(x－y)；
(2)(2a＋1)2－2(2a＋1)＋3.
探究 一 整式的化简求值
教材课内练习第 2 题变式题先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－3a)，其中 a＝－
1
2，
b＝3.
[归纳总结] 化简求值的重点还是化简，所以熟练掌握公式及运算法则是解本题的关
键．
探究 二 利用整式化简解决实际问题
教材例 2 变式题某品牌的智能吸尘器在 A，B 两个商场的售价都是 m 元．因市场经
销变化，A 商场中该种智能吸尘器连续两次提价 n%；B 商场中该种智能吸尘器先降价 n%，后
又提价 n%.问经过两次变化后，A，B 两商场中该智能吸尘器的差价是多少元？当 m＝1000，n
＝10 时，求两商场该种智能吸尘器的差价．
[归纳总结] 利用整式化简解决实际问题的关键是依照题意列出式子.2
[反思] 本节中整式的化简应注意哪些方面？3
一、选择题
1．下列运算正确的是( )
A．4a－a＝3
B．2(2a－b)＝4a－b
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(a＋2)(a－2)＝a2－4
2．若(－mx－3y)(mx－3y)＝－49x2＋9y2，则 m 的值为( )
A．－7 B．7
C．±7 D．不能确定
3．若(2a－3b)2＋N＝4a2＋ab＋9b2，则 N 为( )
A．5ab B．11ab
C．－11ab D．13ab
4．2016·白银、张掖若 x2＋4x－4＝0，则 3(x－2)2－6(x－1)(x＋1)的值为( )
A．－6 B．6
C．18 D．30
5．计算(x－2)2(x＋2)2(x2＋4)2 等于( )
A．x4－16 B．x8－256
C．x8－32x4＋256 D．x8＋32x4＋256
6．如图 3－5－1，给出了正方形 ABCD 的面积的四
图 3－5－1
个表达式，其中错误的是( )
A．(x＋a)(x＋a)
B．x2＋a2＋2ax
C．(x－a)(x－a)
D．(x＋a)a＋(x＋a)x
7．为了应用平方差公式计算(a－b＋c)(a＋b－c)，必须先适当变形，下列变形正确的是
( )
A.[(a＋c )－b][(a－c )＋b]
B.[(a－b )＋c][(a＋b )－c]
C.[(b＋c )－a][(b－c )＋a]
D.[a－(b－c )][a＋(b－c )]
8．要使 4a2＋2a 变为一个完全平方式，则需加上的常数是( )
A．2 B．－2 C．－
1
4 D.
1
4
二、填空题4
9．已知 a＋b＝2，则 a2－b2＋4b 的值是________．
10．如果计算(a＋m)(a＋
1
2 )的结果中不含关于 a 的一次项，那么 m 的值为________．
11．定义|a b
c d |为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b
c d |＝ad－bc，那么当 x＝1 时，
二阶行列式|x＋1 1
1 x－1|的值为________．
12．一个长方形的长为(x＋3)m，宽为(x－2)m，从中剪去一个边长为(x－2)m 的正方形，
则剩余部分的面积为________m2.
三、解答题
13．计算：
(1)(3x－2y)2－(3x＋2y)2；
(2)2(x＋1)2－4(x＋1)(x－1)＋2(x－1)2.
14.2016·扬州先化简，再求值：(a＋b)(a－b)－(a－2b)2，其中 a＝2，b＝－1.
15．若 x2＋mx＋n 与 x3＋2x－1 乘积的结果中不含 x3 项和 x2 项，求 m，n 的值．
16．某商店经营一种产品，定价为 12 元/件，每天能售出 8 件，而每降价 x 元，则每天
可多售出(x＋2)件．
(1)试写出降价 x 元后，每天的销售总收入是多少元；
(2)当降价 2 元时，商家的总收入是多少？
17．设 a1＝32－12，a2＝52－32，…，an＝(2n＋1)2－(2n－1)2(n 为正整数)．
(1)探究 an 是不是 8 的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数为“完全平方数”．试找出 a1，
a2，…，an，…这一列数中，从小到大排列的 4 个完全平方数；5
(3)任取 n 的一个值，使 an 是一个完全平方数．
1．7 张如图 3－5－2①所示的长为 a，宽为 b(a＞b)的小长方形纸片，按图②的方式不重
叠地放在长方形 ABCD 内，未被覆盖的部分(两个长方形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴
影部分的面积的差为 S，当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则 a，
b 满足( )
图 3－5－2
A．a＝
5
2a B．a＝3b
C．a＝
7
2b D．a＝4b
2.已知 a2＋a－1＝0，求代数式 a4＋3a3－a2－4a＋2017 的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在学生学习了平方差公式和完全平方公式后而安排的一堂巩固
提高、综合应用课，旨在使学生明白整式化简时公式的选用和公式在实际问
题中的应用，提高综合应用知识的能力
教 知识 1.掌握整式的加、减、乘、乘方混合运算顺序；6
与技
能
2.会利用加、减、乘、乘方运算将整式化简；
3.会利用加、减、乘、乘方运算解决简单的实际问题
过程
与方
法
培养学生初步解决问题的能力和正确、迅速的运算能力，使学生逐步形成
独立思考、主动探索的习惯
学
目
标
情感、
态度
与价
值观
体会数学与生活之间的密切联系，在一定程度上了解数学的应用价值，从
而产生一定的数学兴趣
重点 整式的化简及其应用
难点 在化简中根据整式的特点确定合理的运算顺序教学
重点
难点 易错
点 对乘法公式掌握不熟练，导致错用公式进行化简
【预习效果检测】
解：(1)原式＝x2－2xy＋y2－(x2－y2)＝2y2－2xy.
(2)原式＝(4a2＋4a＋1)－4a－2＋3＝4a2＋2.
【重难互动探究】
例 1 [解析] 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算，
去括号、合并同类项得到最简结果，将 a 与 b 的值代入计算即可求值．
解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－3a2＝－2a2＋b2.
当 a＝－
1
2，b＝3 时，原式＝－2×(1
2 ) 2
＋32＝8
1
2.
例 2 解：m(1＋n%) 2－m(1－n%)(1＋n%)＝m (1＋
2
100n＋
n2
10000－1＋
n2
10000)＝(
1
50mn＋
1
5000mn2)(元)．
当 m＝1000，n＝10 时，原式＝
1
50×1000×10＋
1
5000×1000×102＝220(元)．
【课堂总结反思】
[反思] 略．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.C
3．[解析] D 原等式的左边＝4a2－12ab＋9b2＋N，故－12ab＋N＝ab，N＝13ab.故选 D.
4．B
5．[解析] C 逆用积的乘方公式．
(x－2)2(x＋2)2(x2＋4)2
＝[(x－2)(x＋2)(x2＋4)]2
＝[(x2－4)(x2＋4)]2＝(x4－16)2
＝x8－32x4＋256.故选 C.
6．C 7.D7
8．[解析] D 设常数为 m2，则 2×2m＝2，解得 m＝
1
2，即 m2＝
1
4.
9．[答案] 4
[解析] 由 a＋b＝2，可得 a2＝(2－b)2＝4－4b＋b2，则 a2－b2＋4b＝4.
10．[答案] －
1
2
11．[答案] －1
[解析] 由题意，得|x＋1 1
1 x－1|＝(x＋1)(x－1)－1＝x2－2.当 x＝1 时，原式＝－1.
12．[答案] (5x－10)
13．(1)－24xy (2)8
14．解：原式＝a 2 －b 2 －a 2 ＋4ab－4b 2 ＝4ab－5b 2. 当 a＝2，b＝－1 时，原式＝
4×2×(－1)－5×(－1)2＝－13.
15．解：根据题意，得(x2＋mx＋n)(x3＋2x－1)
＝x5＋2x3－x2＋mx4＋2mx2－mx＋nx3＋2nx－n
＝x5＋mx4＋(2＋n)x3＋(2m－1)x2＋(2n－m)·x－n.
因为结果中不含 x3 项和 x2 项，
所以 2＋n＝0，2m－1＝0，
所以 m＝
1
2，n＝－2.
16．解：(1)每天的销售总收入为
(12－x)(8＋x＋2)＝(12－x)(10＋x)
＝(120＋2x－x2)(元)．
(2)当 x＝2 时，
120＋2x－x2＝120＋4－4＝120(元)．
即当降价 2 元时，商家的总收入为 120 元．
17．解：(1)因为 an＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n，
所以 an 是 8 的倍数．
结论：任意两个连续奇数的平方差都是 8 的倍数．
(2)4 个完全平方数为 16，64，144，256.
(3)因为 an＝8n＝23n＝2×22n＝22×2n，
当 n＝2 时，an＝22×2×2＝16(答案不唯一)．
[数学活动]
1．B
2．[解析] 显然根据已学的知识不能直接求得 a 的值，故考虑整体思想，将 a2＝1－a
整体代入．
解：由 a2＋a－1＝0 得 a2＝1－a，
∴原式＝(a2)2＋3a·a2－a2－4a＋2017
＝(1－a)2＋3a(1－a)－(1－a)－4a＋2017
＝－2a2－2a＋2017
＝－2(1－a)－2a＋2017
＝2015.
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