1
3.4 乘法公式
第 2 课时 完全平方公式
知识点 完全平方公式
两数和与差的完全平方公式：
(1)数学表达式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)语言叙述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的 2
倍．
[注意] 完全平方公式的结构特征：左边是两个数或两个代数式和或差的平方，右边展开
式是一个二次三项式，且首、尾两项分别是这两个数或两个代数式的平方，中间是这两个数
或两个代数式的积的 2 倍(或其相反数)．右边简记为“首平方，尾平方，积的 2 倍放中
央”．式中 a，b 可以表示一个数、一个字母、一个单项式、多项式或其他代数式．
1．计算(x＋3)2 的结果为 x2＋□x＋9，则“□”中的数为( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
2．用完全平方公式计算：
(1)(5＋3p)2； (2)(2x－7y)2；
探究 一 应用完全平方公式求代数式的值
教材补充题利用完全平方公式计算：
(1)已知 x＋y＝a，xy＝b，求 x2＋y2 的值；
(2)若 x＋y＝3，x－y＝1，求 xy 的值．
[归纳总结] 完全平方公式的常见变形：
(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
ab＝
1
2[(a＋b)2－(a2＋b2)]；
ab＝
1
2[(a2＋b2)－(a－b)2]；
a2＋b2＝
1
2[(a＋b)2＋(a－b)2]；2
ab＝
1
4[(a＋b)2－(a－b)2]．
探究 二 利用完全平方公式解决实际问题
教材例 4 变式题一块正方形桌布铺在正方形的茶几上，四周刚好都垂下 8 cm.如果
设桌布的边长为 x cm，那么桌布下垂部分的面积为多少？
[反思]数学课上，老师要求大家利用乘法公式简便计算 2962 的值，喜欢数学的小刚的解
题过程如下：
2962＝(300－4)2＝3002－2×300×(－4)＋42＝90000＋2400＋16＝92416.
你认为小刚的解题过程正确吗？若不正确，请写出正确的解题过程．3
一、选择题
1．下列各式中，与(a－1)2 相等的是( )
A．a2－1 B．a2－2a＋1
C．a2－2a－1 D．a2＋1
2．下列计算正确的是( )
A．(x＋y)2＝x2＋y2
B．(x－y)2＝x2－2xy－y2
C．(x＋2y)(x－2y)＝x2－2y2
D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y2
3．计算(m＋1)(－m－1)的结果是( )
A．－m2－2m－1 B．－m2－1
C．－m2＋2m－1 D．m2－1
4．若 x2＋mx＋9 是一个完全平方式，则 m 的值是( )
A．3 B．－6
C．±3 D．±6
5．计算(a＋2b)2－(a－2b)2 的结果是( )
A．8ab B．4b2
C．0 D．2a2＋8b2
6．设(5a＋3b)2＝(5a－3b)2＋M，则 M＝( )
A．60ab B．30ab C．15ab D．12ab
7．如果 36x2－mxy＋49y2 可以写成(ax－by)2(其中 a，b 为正整数)的形式，那么( )
A．a＝36，m＝84，b＝49
B．a＝6，m＝－84，b＝7
C．a＝6，m＝84，b＝7
D．a＝6，m＝±84，b＝7
8．如图 3－4－2①是一个长为 2a，宽为 2b(a＞b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)
剪开，把它分成四个形状和大小都一样的小长方形，然后按图②所示的方式拼成一个正方形，
则中间空白部分的面积是( )
图 3－4－2
A．2ab B．(a＋b)2
C．(a－b)2 D．a2－b2
二、填空题
9．教材上，公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2 是由公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 推导得出的，该
推导过程的第一步是(a－b)2＝__________．
10．化简：(1－x)2＋2x＝________．4
11．2016·巴中若 a＋b＝3，ab＝2，则(a－b)2＝________．
12．一个正方形的边长为 a cm，若边长增加 4 cm，则它的面积增大________ cm.
13．将多项式 x2＋4 加上一个整式，使它成为一个完全平方式，试写出满足上述条件的
三个整式：________、________、________．
14．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图 3－4－3 甲，我
们可以得到两数和的平方公式：(a＋b) 2＝a2＋2ab＋b 2.根据图乙能得到的数学公式是
________________________________________________________________________．
图 3－4－3
三、解答题
15．利用完全平方公式计算：
(1)(4x－3y)2； (2)(－1.5a－
2
3b) 2
；
(3)632; (4)19992.
16．2016·无锡计算：(a－b)2－a(a－2b)．
17．2015·江西先化简，再求值：2a(a＋2b)－(a＋2b)2，其中 a＝－1，b＝ 3.
18．计算：(1)(x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2；
(2)(2a＋1)2－(1－2a)2；
(3)(3x－
1
2)(－
1
2－3x)(9x2－
1
4).5
19．现有两个边长为 a 米的正方形，如果把其中一个正方形的边长增加 b 米，把另一个
正方形的边长减少 b 米，问变化后的这两个正方形的面积之差是多少？
1．利用我们学过的知识，可以导出下面这种形式的优美等式：
a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝
1
2[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]，该等式从左到右的变形，不
仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
(1)请你检验这个等式的正确性；
(2)若 a＝2016，b＝2017，c＝2018，你能很快求出 a2＋b2＋c2－ab－ac－bc 的值吗？
2.已知 x＋y＝2，xy＝－1，求 x8＋y8 的值．6
详解详析
教材的地位
和作用
本节课通过利用多项式乘法法则和图形解释而得到完全平方公式，进
而理解和运用完全平方公式，对以后学习因式分解，解一元二次方程都
具有举足轻重的作用
知识与技
能
1.掌握完全平方公式；
2.会用完全平方公式进行多项式的乘法运算
过程与方
法
通过完全平方公式的运用，培养学生的语言表达能力和运用公式计算
的能力
教
学
目
标 情感、态
度
与价值观
通过多项式的乘法到完全平方公式的计算，培养学生从特殊到一般、
从一般到特殊的思维能力，培养学生合作交流的能力和创新意识
重点 掌握完全平方公式的特点及正确运用公式进行计算
难点 灵活运用完全平方公式
教
学
重
点
难
点
易错点 平方差公式与完全平方公式相混淆，导致出错
【预习效果检测】
1．[解析] D 由(x＋3)2＝x2＋6x＋9 与计算(x＋3)2 的结果为 x2＋□x＋9 相比较，根据
多项式相等的知识，即可求得答案．
∵(x＋3)2＝x2＋6x＋9，
∴“□”中的数为 6.故选 D.
2．[解析] 应用完全平方公式计算，关键要分清公式中的 a，b 分别代表什么．
解：(1)这是两个数的和的平方，应选用“和”的完全平方公式，其中 5 和 3p 分别是公
式中的 a 和 b.
(5＋3p)2＝52＋2×5×3p＋(3p)2＝25＋30p＋9p2.
(2)这是两个数的差的平方，应选用“差”的完全平方公式，其中 2x 和 7y 分别是公式中
的 a 和 b.
(2x－7y)2＝(2x)2－2×2x×7y＋(7y)2＝4x2－28xy＋49y2.
也可以直接选用“和”的完全平方公式．
(2x－7y)2＝[2x＋(－7y)]2＝(2x)2＋2×2x×(－7y)＋(－7y)2＝4x2－28xy＋49y2.
【重难互动探究】
例 1 [解析] 完全平方公式揭示了 a±b，a2＋b2，ab 之间的关系，利用三者之间的关系，
即可解决本题中的问题．
解：(1)因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，
所以 x2＋y2＝(x＋y)2－2xy.
又因为 x＋y＝a，xy＝b，
所以 x2＋y2＝a2－2b.
(2)因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，(x－y)2＝x2－2xy＋y2，
所以(x＋y)2－(x－y)2＝4xy，7
所以 xy＝
1
4[(x＋y)2－(x－y)2]．
又因为 x＋y＝3，x－y＝1，
所以 xy＝
1
4×(32－12)＝2.
例 2 [解析] 桌布的面积为 x2 cm2，桌子的面积为(x－8×2)2cm2，以上两者的差就是所
求的结果．
解：x2－(x－8×2)2＝x2－(x2－32x＋256)＝(32x－256)(cm2)．
答：桌布下垂部分的面积为(32x－256)cm2.
【课堂总结反思】
[知识框架]
a2＋2ab＋b2 a2－2ab＋b2
[反思] 不正确．正确的解题过程如下：2962＝(300－4)2＝3002－2×300×4＋42＝90000
－2400＋16＝87616.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.D
3．[解析] A (m＋1)(－m－1)＝－(m＋1)(m＋1)＝－(m＋1)2＝－m2－2m－1.故选 A.
4．[解析] D ∵x2＋mx＋9＝(x±3)2＝x2±6x＋9，∴m＝±6.
5．A
6．[解析] A M＝(5a＋3b) 2－(5a－3b) 2＝(25a2＋30ab＋9b 2)－(25a2－30ab＋9b 2)＝
60ab.故选 A.
7．C 8.C
9．[答案] [a＋(－b)]2
10．[答案] 1＋x2
11．[答案] 1
12．[答案] (8a＋16)
13．[答案] 4x －4x
x4
16
14．[答案] (a－b)2＝a2－2ab＋b2
[点评] 利用数形结合，联系甲图中的两数和的完全平方公式便可推导出两数差的完全平
方公式．
15．[解析] 先确定使用哪个完全平方公式，其中(2)题可以把各项符号改变后再应用完
全平方公式计算；(3)(4)题把底数写成两个数的和与差即可．
解：(1)(4x－3y)2
＝(4x)2－2×4x×3y＋(3y)2
＝16x2－24xy＋9y2.
(2)(－1.5a－
2
3b) 2
＝(3
2a＋
2
3b) 2
＝(3
2a ) 2
＋2×
3
2a×
2
3b＋(2
3b ) 2
8
＝
9
4a2＋2ab＋
4
9b2.
(3)632＝(60＋3)2＝602＋2×60×3＋32＝3969.
(4)19992＝(2000－1)2＝20002－2×2000×1＋12＝3996001.
16．解：原式＝a2－2ab＋b2－a2＋2ab＝b2.
17．解：原式＝(a＋2b)[2a－(a＋2b)]
＝(a＋2b)(a－2b)
＝a2－4b2.
把 a＝－1，b＝ 3代入，原式＝－11.
18．解：(1)(x－2y)(x＋2y)－(x＋2y)2
＝x2－4y2－(x2＋4xy＋4y2)
＝－8y2－4xy.
(2)(2a＋1)2－(1－2a)2
＝(4a2＋4a＋1)－(1－4a＋4a2)
＝8a.
(3)(3x－
1
2)(－
1
2－3x)(9x2－
1
4)
＝－(3x－
1
2)(3x＋
1
2)(9x2－
1
4)
＝－(9x2－
1
4) 2
＝－(81x4－
9
2x2＋
1
16)
＝－81x4＋
9
2x2－
1
16.
19．[解析] 分别求出变化后的两个正方形的面积，再计算它们的差．
解：边长增加 b 米的正方形的面积为(a＋b)2 平方米，
边长减少 b 米的正方形的面积为(a－b)2 平方米，
则两正方形的面积之差为(a＋b)2－(a－b)2＝4ab(米 2)．
答：变化后的这两个正方形的面积之差是 4ab 平方米．
[数学活动]
1．[解析] 检验这个等式的正确性，我们可以运用逆运算，从右边向左边检验；已知 a，
b，c 的值，将各字母的值代入即可．
解：(1)左边＝
1
2[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
＝
1
2(a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2)＝a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝右边．
(2)a2＋b2＋c2－ab－ac－bc
＝
1
2[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]
＝
1
2[(2016－2017)2＋(2017－2018)2＋(2018－2016)2]＝3.
2．解：∵x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22＋2＝6，
x4＋y4＝(x2＋y2)2－2x2y2＝62－2×(－1)2＝34，
∴x8＋y8＝(x4＋y4)2－2x4y4＝342－2＝1154.
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