1
4.3 用乘法公式分解因式
第 2 课时 用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方公式分解因式
由完全平方公式可得：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
即两数的平方和，加上(或者减去)这两数的积的 2 倍，等于这两数和(或者差)的平方．
1．把下列各式分解因式：
(1)a2－8a＋16；
(2)4x2＋4x＋1.
探究 一 综合运用乘法公式分解因式
教材例 3 变式题把下列各式分解因式：
(1)x3－2x2＋x；
(2)9m2＋24mn＋16n2；
(3)16a4－8a2＋1；
(4)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4.
[总结归纳] 运用完全平方公式分解因式前，应注意：(1)观察是否有公因式可提取；(2)
首项系数为负时，需先提取“－”号；(3)用完全平方公式前需将该多项式化为“a2±2ab＋
b2”的形式；(4)分解因式时，要观察所得的结果能否继续分解；(5)注意与提取公因式法和
平方差公式的综合使用．
探究 二 完全平方公式的简单应用
教材补充题已知 x(x－1)－(x2－y)＝－3，求 x2＋y2－2xy 的值．2
[归纳总结] 有些计算题可利用因式分解的方法来进行计算，以简化运算过程.
[反思] 判断下面分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)．3
一、选择题
1．下列各式中能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
2．若 25n2－np＋36 是一个完全平方式，则 p 的值为( )
A．±30 B．±60 C．30 D．60
3．分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1 的结果是( )
A．(x－1)(x－2) B．x2
C．(x＋1)2 D．(x－2)2
4．2016·聊城把 8a3－8a2＋2a 分解因式，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
5．多项式(x2＋y2)(x2＋y2－8)＋16 分解因式正确的是( )
A．(x2＋y2－4)2 B．(x－y)4
C．(x2－y2－4)2 D．(x2＋y2＋4)2
二、填空题
6．分解因式：a2－6a＋9＝________．
7．分解因式：ab4－4ab3＋4ab2＝______________．
8．[2015·威海] 分解因式：－2x2y＋12xy－18y＝______________．
9．已知 a2＋2ab＋b2＝0，则代数式 a(a＋4b)－(a＋2b)(a－2b)的值为________．
10．利用 1 个 a×a 的正方形，1 个 b×b 的正方形和 2 个 a×b 的长方形可拼成一个大正
方形(如图 4－3－3 所示)，从而可得到因式分解的公式：____________．
图 4－3－3
11．当 s＝t＋
1
2时，代数式 s2－2st＋t2 的值为________．
三、解答题
12．给出三个多项式：
1
2x2＋x－1，
1
2x2＋3x＋1，
1
2x2－x，请你选择其中两个进行加法运
算，并把结果分解因式．
13．把下列各式分解因式：
(1)x2－6x＋9；
(2)－36m2－60mn－25n2；4
(3)(x－y)2－10(x－y)＋25；
(4)(x2＋4)2－16x2；
(5)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
14．利用因式分解计算下列各题：
(1)962＋96×8＋16；
(2)9.92＋1.98＋0.01.
15．已知 x＝156，y＝144，求代数式
1
2x2＋xy＋
1
2y2 的值．
16．已知 a－2b＝
1
2，ab＝2，求－a4b2＋4a3b3－4a2b4 的值．
17．若|x－2|＋x2－xy＋
1
4y2＝0，求 x，y 的值．
1．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且 a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，请你分析△ABC 三边
之间的关系．
2．[阅读理解题] 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：x4＋4.
解：x4＋4
＝x4＋4x2＋4－4x2
＝(x2＋2)2－4x2
＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)．5
以上解法中，在 x4＋4 的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使原式的值保
持不变，必须减去同样的一项．按照这个思路，试把多项式 x4＋x2y2＋y4 分解因式．
详解详析6
教材的地位
和作用
完全平方公式与整式乘法和因式分解有着密切的联系，是因式分解的重要
方法之一，在以后学习二次函数和一元二次方程中有着重要的作用
知识
与技
能
1.会用完全平方公式分解因式；
2.会综合运用提取公因式法、公式法分解因式
过程
与方
法
通过利用完全平方公式分解因式，掌握这种方法的特征并能熟练应用，总
结因式分解的一般步骤
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
通过完全平方公式因式分解，体会变形的重要性，认识到整体思想的重要
性，培养学生转化的数学思想
重点 用完全平方公式分解因式
难点 用完全平方公式因式分解时的变形和转化教学
重点
难点 易错
点
在综合运用提取公因式法、公式法分解因式时，容易出现分解不彻底的错
误
【预习效果检测】
1．[解析] (1)中的多项式可写成 a2－2·a·4＋42，(2)中的多项式可以写成(2x)2＋
2×2x·1＋12，再利用公式分解因式．
解：(1)a2－8a＋16
＝a2－2·a·4＋42
＝(a－4)2.
(2)4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2.
【重难互动探究】
例 1 解：(1)x3－2x2＋x
＝x(x2－2x＋1)
＝x(x－1)2.
(2)9m2＋24mn＋16n2
＝(3m＋4n)2.
(3)16a4－8a2＋1
＝(4a2)2－2×4a2×1＋12
＝(4a2－1)2
＝(2a＋1)2(2a－1)2.
(4)(x2－4x＋4)－4(x－2)＋4
＝(x－2)2－4(x－2)＋4
＝(x－2－2)2
＝(x－4)2.
例 2 解：∵x(x－1)－(x2－y)＝－3，
∴x2－x－x2＋y＝－3，即 x－y＝3，
∴x2＋y2－2xy＝(x－y)2＝9.
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．改正：a3b－2a2b＋ab＝ab(a2－2a＋1)＝ab(a－1)2.7
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D
2．[解析] B 因为 25n2－np＋36 是一个完全平方式，25n 2－np＋36＝(5n) 2－np＋
(±6)2，所以－np＝2×5n·(±6)，即 p＝60 或 p＝－60.
3．D 4.C
5．[解析] A 原式＝(x2＋y2)2－8(x2＋y2)＋16＝(x2＋y2－4)2.
6．[答案] (a－3)2
7．[答案] ab2(b－2)2
8．[答案] －2y(x－3)2
[解析] 本题考查了因式分解的有关知识，可以先提取公因式－2y，再运用完全平方公式
进行因式分解，－2x2y＋12xy－18y＝－2y(x－3)2.
9．[答案] 0
10．[答案] a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2
[解析] 根据拼得的正方形面积，可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，即 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
11．[答案]
1
4
[解析] s2－2st＋t2＝(s－t)2＝(1
2 ) 2
＝
1
4.
12．解：
1
2x2＋x－1＋
1
2x2＋3x＋1＝x2＋4x＝x(x＋4 )；
1
2x2＋x－1＋
1
2x2－x＝x2－1＝(x＋1 )(x－1 )；
1
2x2＋3x＋1＋
1
2x2－x＝x2＋2x＋1＝(x＋1 )
2
.
13．[解析] 运用公式法分解因式，不能直接使用公式的要适当加以变形，并且分解因式
要分解到每个因式都不能再分解为止．
解：(1)x2－6x＋9＝(x－3)2.
(2)－36m2－60mn－25n2
＝－(36m2＋60mn＋25n2)
＝－(6m＋5n)2.
(3)(x－y)2－10(x－y)＋25
＝(x－y－5)2.
(4)(x2＋4)2－16x2
＝(x2＋4＋4x)(x2＋4－4x)
＝(x＋2)2(x－2)2.
(5)原式＝(x2－2x＋1)2
＝[(x－1)2]2
＝(x－1)4.
14．解：(1)962＋96×8＋16
＝962＋2×96×4＋42
＝(96＋4)2
＝1002＝10000.
(2)9.92＋1.98＋0.018
＝9.92＋2×9.9×0.1＋0.12
＝(9.9＋0.1)2＝102＝100.
15．解：
1
2x2＋xy＋
1
2y2
＝
1
2(x2＋2xy＋y2)
＝
1
2(x＋y)2.
当 x＝156，y＝144 时，
原式＝
1
2×(156＋144)2＝45000.
[点评] 本题应先把 x2 的系数
1
2提出来，使其他各项的系数均为整数．
16．解：－a4b2＋4a3b3－4a2b4＝－a2b2(a2－4ab＋4b2)＝－a2b2(a－2b)2.
而 a－2b＝
1
2，ab＝2，
所以－a4b2＋4a3b3－4a2b4
＝－a2b2(a－2b)2
＝－4×
1
4＝－1.
17．解：因为|x－2|＋(x－
1
2y) 2
＝0，
所以 x－2＝0 且 x－
1
2y＝0，
所以 x＝2，y＝4.
[数学活动]
1．解：因为 a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，
所以 2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，
则 2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.
因为(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，
所以(a－b)2＝0，(b－c)2＝0，(a－c)2＝0.
因为 a，b，c 都是正数，
所以 a＝b＝c，
所以△ABC 的三条边相等．
2．[解析] 把原式中的第二项的系数 1 变为(2－1)，化简后三项结合构成完全平方式，
剩下的一项写成平方的形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．
解：x4＋x2y2＋y4
＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2
＝(x2＋y2)2－x2y2
＝(x2＋y2＋xy)(x2＋y2－xy)．
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