第3课时 积的乘方
知识点 积的乘方法则
积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
下列对(2x)3的计算正确的是( )
A．6x B．2x3
C．8x3 D．6x3
探究 一 多因式的积的乘方运算
教材例4变式题计算下列各式：
(1)(3xy2)2；(2)(－2ab3c2)4；(3)[2(x＋y)3]2.
[归纳总结] 进行积的乘方运算时，首先要确定积的因数的个数，然后根据积的乘方法则对每个因式进行乘方．当某个因式为多项式时，我们可以将其看作一个整体进行处理．
探究 二 逆用积的乘方法则进行简便运算
教材补充题计算：(－8)2016×.
[归纳总结] (1)一般来说，当幂的底数的乘积为1且指数较大时，常逆用积的乘方法则．
(2)逆用积的乘方法则时，一定要注意两个幂的指数是否相同．如果不相同，可以拆分为两个数的和，如本题中的2017可以化为2016＋1.
探究 三 积的乘方性质的简单应用
教材例5变式题球的体积公式为V＝πR3(其中V，R分别表示球的体积和半径)，木星可以近似地看成球体，木星的半径约是7.15×104 km，则木星的体积大约是多少？(单位：km3，π≈3.14)
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[反思] 计算：(－2a4)3＋(－3a6)2－(a3·a)3.
解：(－2a4)3＋(－3a6)2－(a3·a)3＝－2a12＋3a12－a12① ＝0②.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
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一、选择题
1．计算(ab)2的结果是( )
A．2ab B．a2b
C．a2b2 D．ab2
2．计算：(－4x)2＝( )
A．－8x2 B．8x2 C．－16x2 D．16x2
3．－27x6y9等于( )
A．(－27x2y3)2 B．(－3x3y2)3
C．－(3x2y3)3 D．(－3x3y6)3
4．2016·成都计算(－x3y)2的结果是( )
A．－x5y B．x6y C．－x3y2 D．x6y2
5．如果(ambn)3＝a9b12，那么m，n的值分别为( )
A．m＝9，n＝4 B．m＝3，n＝4
C．m＝4，n＝3 D．m＝9，n＝6
6．下列算式中，结果不等于66的是( )
A．(22×32)3 B．(2×62)×(3×63)
C．63＋63 D．(22)3×(33)2
7．2016·青岛计算a•a5－(2a3)2的结果为( )
A．a6－2a5 B．－a6
C．a6－4a5 D．－3a6
8．计算(－0.75)n·的正确结果是( )
A．1 B．－1
C. D．－
二、填空题
9．计算：(1)(3a3)2＝________；
(2)(－3x2y3)2＝________．
10．计算：(3a2)3＋(a2)2·a2＝__________．
11．若(9m＋1)2＝316，则正整数m的值为________．
12．计算：(1)(－7)2016×＝__________；
(2)18n··＝________．
13．若m＝69，n＝96，则5454＝________．(用含m，n的代数式表示)
14．2015·大庆若a2n＝5，b2n＝16，则(ab)n＝________．
三、解答题
15．计算：[－2a3(m＋n)2]3.
16.计算：
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(1)(anb3n)2＋(a2b6)n；
(2)(－2a)6－(－3a3)2－[－(2a)2]3.
17．用简便方法计算下列各题：
(1)×(－10)1001＋×；
(2)××.
18．请说明：不论a，b取何值，(－a2b)3－(a3)2·b3－(－a)4·(ab)2·(－2b)的值都与a，b无关．
19.正方体的棱长是3×102毫米，则它的表面积为多少毫米2？它的体积为多少毫米3?
1．[技巧性题目] 已知2x＋3·3x＋3＝36x－2，求x的值．
2．[技巧性题目] 已知x3n＝2，y2n＝3，求(x2n)3＋(yn)6－(x2y)3n·yn的值．
详解详析
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教材的地位
和作用
本节课是继幂的乘方后的又一种幂的运算，该节课的学习应以前面几节所学内容为基础．通过对本节内容的学习，完成了从数到式的幂的乘法运算的全过程，完善了同底数幂的乘法体系．这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义
教
学
目
标
知识与技能
1.理解积的乘方法则；
2.会计算积的乘方；
3.会进行简单的幂的混合运算
过程与方法
在推导积的乘方法则的过程中，培养学生初步应用“转化”思想方法的能力，培养学生观察、概括的能力
情感、态度
与价值观
在推导积的乘方法则的过程中，学会从经验中归纳、猜想、概括，并从中享受到成功的乐趣
教学重点难点
重点
积的乘方法则
难点
积的乘方法则的推导过程
易错点
由于对积的乘方法则掌握不熟练，导致在运算过程中容易漏乘或错把系数与指数相乘
【预习效果检测】
[解析] C 根据积的乘方法则，可得(2x)3＝23·x3＝8x3.
【重难互动探究】
例1 [解析] 本题是多因式的积的乘方的运算题，依据积的乘方的运算性质，按步骤进行计算．
解：(1)(3xy2)2＝32·x2·(y2)2＝9x2y4.
(2)(－2ab3c2)4＝(－2)4·a4·(b3)4·(c2)4＝16a4b12c8.
(3)[2(x＋y)3]2＝22·[(x＋y)3]2＝4(x＋y)6.
例2 [解析] 逆用积的乘方法则．
解：(－8)2016×
＝(－8)2016××
＝×
＝12016×＝－.
例3 解：V＝πR3≈π×(7.15×104)3
＝π×7.153×1012≈1.53×1015(km3)．
答：木星的体积大约是1.53×1015 km3.
【课堂总结反思】
[反思] (1)①
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(2)原式＝－8a12＋9a12－a12＝0.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C 2.D 3.C 4.D
5．[解析] B (ambn)3＝a3mb3n＝a9b12，所以3m＝9，3n＝12，则m＝3，n＝4.
6．C 7.D
8．[解析] D 原式＝×＝－.
9．[答案] (1)9a6 (2)9x4y6
10．[答案] 28a6
[解析] (3a2)3＋(a2)2·a2＝33(a2)3＋a4·a2＝27a6＋a6＝28a6.
11．[答案] 3
[解析] ∵316＝92(m＋1)＝(32)2(m＋1)＝34(m＋1)，
∴16＝4(m＋1)，解得m＝3.
12．[答案] (1)－ (2)1
[解析] 逆用幂的运算法则解题是训练思维的一种好途径．(1)(－7)2016×＝×＝12016×＝－.
(2)18n··＝18n··＝＝1n＝1.
13．[答案] m6n9
[解析] 灵活逆向运用积的乘方法则及幂的乘方运算法则即可求解.5454＝(6×9)54＝654×954＝(69)6×(96)9＝m6n9.
14．[答案] ±4
15．[解析] 本题的因式不是单个的字母或数的积的乘方的问题．分别把－2，a3，(m＋n)2看作积的因式，依据积的乘方的运算性质进行计算．
解：[－2a3(m＋n)2]3
＝(－2)3·(a3)3·[(m＋n)2]3
＝－8a9(m＋n)6.
16．解：(1)原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.
(2)原式＝(－2)6·a6－(－3)2·(a3)2＋(4a2)3＝64a6－9a6＋64a6＝119a6.
17．[解析] 分析底数的特点是解本题的关键．然后逆用积的乘方法则和乘法运算即可简化两题，解此类题时要注意符号变化．注意－和－10，和3，8和都分别互为倒数．
解：(1)原式＝×(－10)＋×
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＝－10－3
＝－13.
(2)原式＝×××
＝××＝－.
18．解：原式＝－a6b3－a6b3＋a4·a2b2·2b
＝－2a6b3＋2a6b3
＝0.
故不论a，b取何值，原式的值都与a，b无关．
19．解：正方体的表面积为6×(3×102)2＝6×9×104＝54×104＝5.4×105(毫米2)．
正方体的体积为(3×102)3＝27×106＝2.7×107(毫米3)．
[数学活动]
1．解：∵2x＋3·3x＋3＝36x－2，
∴6x＋3＝(62)x－2，
∴6x＋3＝62x－4，
∴x＋3＝2x－4，
∴x＝7.
2．[解析] 逆用积的乘方和幂的乘方是解决此类题的常规方法，灵活地转化可使计算简便．
解：(x2n)3＋(yn)6－(x2y)3n·yn
＝(x3n)2＋(y2n)3－x6ny3n·yn
＝(x3n)2＋(y2n)3－(x3n)2(y2n)2.
因为x3n＝2，y2n＝3，
所以原式＝22＋33－22×32＝4＋27－36＝－5.
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