1
2.3 解二元一次方程组
第 2 课时 加减消元法
知识点 加减消元法解二元一次方程组
对于二元一次方程组，当两个方程的同一个未知数的系数是互为相反数或相同时，可以
通过把两个方程的两边相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解．这种解二元一次方程
组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)将其中一个未知数的系数化成相同(或互为相反数)；
(2)通过相减(或相加)消去这个未知数，得到一个一元一次方程(注意：一般在消去一个
字母时，考虑用另一个字母系数大的式子减系数小的式子)；
(3)解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
(4)将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值．
(5)写出方程组的解．
解方程组：{3x＋2y＝21，
3x－4y＝3.
探究 一 加减消元法解二元一次方程组
教材例 2 变式题用加减法解方程组：{2x＋3y＝12，
3x＋4y＝17.
[归纳总结] 运用加减消元法解方程组时，首先要观察两个方程中同一个未知数的系数，
若系数相等，则将这两个方程相减；若系数互为相反数，则将这两个方程相加，就可以消去
该未知数．若系数既不相等也不互为相反数，我们应该设法使用等式的性质，将同一个未知
数的系数化为相等或互为相反数．
注意：(1)把某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘；(2)把两个方
程相加减时，一定要把两个方程两边分别相加减．
探究 二 灵活选择适当的方法解二元一次方程组
教材补充题用适当的方法解下列方程组：
(1){6s＋3t＝13，
3s－t＝5； (2){5x－6y＝17，
4x＋3y＝28.2
[归纳总结] 二元一次方程组解法的选取主要取决于未知数的系数，当方程组中某未知数
的系数较简单，如系数为 1 或－1 时，常选用代入消元法；当方程组中某未知数的系数相等
或互为相反数或成倍数关系时，常选用加减消元法．
[反思] 请观察下面解方程组{4x＋3y＝6，
2x－y＝4 的过程，并判断该过程是否正确，若不正确，
请写出正确的解法．
解：{4x＋3y＝6，①
2x－y＝4，②
②×2，得 4x－2y＝8.③
①－③，得 y＝－2.
把 y＝－2 代入②，得 2x－(－2)＝4，x＝1.
∴原方程组的解是{x＝1，
y＝－2.
一、选择题
1．将方程－
1
2x＋y＝1 中含 x 的项的系数化为 3，则以下结果中，正确的是( )3
A．3x＋y＝1 B．3x＋6y＝1
C．3x－6y＝1 D．3x－6y＝－6
2．方程组{x＋y＝5，①
2x＋y＝10，②由②－①得到的正确的方程是( )
A．3x＝10 B．x＝5
C．3x＝－5 D．x＝－5
3．用加减法解方程组{2x＋3y＝3，
3x－2y＝11 时，有下列四种变形，其中正确的是( )
A.{4x＋6y＝3，
9x－6y＝11 B.{6x＋3y＝9，
6x－2y＝22
C.{4x＋6y＝6，
9x－6y＝33 D.{6x＋9y＝3，
6x－4y＝11
4．方程组{8x－3y＝9，
8x＋4y＝－5消去 x 后，得到的方程是( )
A．y＝4 B．－7y＝14
C．7y＝14 D．y＝14
5．2015·河北利用消元法解方程组{2x＋5y＝－10，①
5x－3y＝6，② 下列做法正确的是( )
A．要消去 y，可以将①×5＋②×2
B．要消去 x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去 y，可以将①×5＋②×3
D．要消去 x，可以将①×(－5)＋②×2
6．方程组{x＋y＝1，
2x－y＝5 的解为( )
A.{x＝－1，
y＝2 B.{x＝－2，
y＝3
C.{x＝2，
y＝1 D.{x＝2，
y＝－1
7.已知方程组{2x＋y＝4，
x＋2y＝5，则 x＋y 的值为( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
8．若关于 x，y 的二元一次方程组{x＋y＝5k，
x－y＝9k 的解也是二元一次方程 2x＋3y＝6 的解，
则 k 的值为( )
A．－
3
4 B.
3
4
C.
4
3 D．－
4
3
二、填空题
9．用加减法解二元一次方程组{11x－3y＝4，①
13x－6y＝－5，②将方程①两边乘________，再把得到
的方程与方程②相__________，可以消去未知数________．
10．2016·温州方程组{x＋2y＝5，
3x－2y＝7 的解是________．4
11．已知二元一次方程组{3x＋4y＝28，①
4x＋3y＝7，② 不解方程组，直接求 x＋y 与 x－y 的值，则 x＋
y＝________，x－y＝________.
12．2015·咸宁如果实数 x，y 满足方程组{x－y＝－
1
2，
2x＋2y＝5，
那么 x2－y2 的值为________．
13．已知方程 3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m＝________，
n＝________.
三、解答题
14．用加减法解方程组：(1){3x－y＝2，
3x＋2y＝11；
(2){x
2－
y＋1
3 ＝1，
3x＋2y＝10.
15．用适当的方法解下列方程组：
(1){x＋2y＝1，
3x－2y＝11； (2){5x＋3y＝6，
5x－2y＝－4；
(3){4x－3y＝39，
7x＋4y＝－15； (4){2（2x＋5y）＝3.6，
5（3x＋2y）＝8.
16．如果二元一次方程组{x＋y＝a，
x－y＝5a 的解是二元一次方程 3x－5y－38＝0 的一个解，请
你求出 a 的值．
17．已知关于 x，y 的方程组{2x＋5y＝－6，
3x－5y＝16 和方程组{ax－by＝－4，
bx＋ay＝－8 的解相同，求代数
式 3a＋7b 的值．
1．[技巧性题目] 在解关于 x，y 的方程组{ax＋by＝2，
cx－7y＝8 时，一位同学把 c 看错而得到5
{x＝－2，
y＝2， 正确的解应是{x＝3，
y＝－2，求 a，b，c 的值．
2．[技巧性题目] 如果关于 x，y 的二元一次方程组{3x－ay＝16，
2x＋by＝15 的解是{x＝7，
y＝1，那么关
于 x，y 的二元一次方程组{3（x＋y）－a（x－y）＝16，
2（x＋y）＋b（x－y）＝15 的解是什么？
详解详析
教材的地位
和作用
通过上节课的学习，学生已体验到解二元一次方程组的基本思想是消元，
可以通过代入法来达到消元的目的，但也发现当方程组的两个方程中字母的
系数不为 1(或－1)时，用代入消元法计算比较麻烦，本节课的加减消元法可
使消元的手段变得简单，本节课要使学生掌握用加减法解二元一次方程组，
为后续学习打下基础
知识
与技
能
1.了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤；
2.初步形成用便捷的消元法(即加减法和代入法)来解题的思路
过程
与方
法
会用加减法求二元一次方程组的解，初步体现数学研究中“化未知为已知”
的化归思想
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
在用加减法解二元一次方程组中体验殊途同归，收获学习的快乐
重点 了解加减法的一般步骤，会用加减法解二元一次方程组
难点 用加减法解未知数的系数相同(或互为相反数)的二元一次方程组教学
重点
难点 易错
点 在方程两边乘一个不为零的数时容易漏乘，从而导致解答错误
【预习效果检测】
[解析] 解方程组{3x＋2y＝21，①
3x－4y＝3，② 两个方程中 x 的系数相等，因此，可直接由①－②消
去未知数 x.
解：{3x＋2y＝21，①
3x－4y＝3，②6
①－②，得 6y＝18，解得 y＝3.
把 y＝3 代入方程②，得
3x－4×3＝3，解得 x＝5.
所以原方程组的解是{x＝5，
y＝3.
【重难互动探究】
例 1 [解析] 方程组中两个方程的同一未知数的系数均不成倍数关系，则需选定一个系
数相对简单的未知数，将两个方程通过变形使其绝对值相等，再进行消元．
解：{2x＋3y＝12，①
3x＋4y＝17，②
①×3，得 6x＋9y＝36，③
②×2，得 6x＋8y＝34，④
③－④，得 y＝2，把 y＝2 代入①，得 x＝3.
所以原方程组的解是{x＝3，
y＝2.
例 2 [解析] 用适当的方法解方程组要求同学们能认真观察方程组中各项系数的特征，
根据代入消元法和加减消元法的解题思路选择简捷的方法求解．故(1)可选择代入法求解，(2)
可选择加减法求解．
解：(1){6s＋3t＝13，①
3s－t＝5，②
由②，得 t＝3s－5，③
把③代入①，得 6s＋3(3s－5)＝13，
解得 s＝
28
15.
把 s＝
28
15代入③，得 t＝
3
5.
所以原方程组的解为{s＝
28
15，
t＝
3
5.
(2){5x－6y＝17，①
4x＋3y＝28，②
②×2，得 8x＋6y＝56，③
①＋③，得 13x＝73，所以 x＝
73
13.
把 x＝
73
13代入②，得
4×
73
13＋3y＝28，所以 y＝
24
13.
所以原方程组的解为{x＝
73
13，
y＝
24
13.
【课堂总结反思】7
[反思] 该过程不正确．正确的解法如下：
{4x＋3y＝6，①
2x－y＝4，②
②×2，得 4x－2y＝8.③
①－③，得 5y＝－2，y＝－
2
5.
把 y＝－
2
5代入②，得 2x－(－
2
5 )＝4，x＝
9
5.
∴原方程组的解是{x＝
9
5，
y＝－
2
5.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.B
3．[解析] C 根据等式的基本性质进行检验，发现正确答案为 C.
4．B 5.D 6.D
7．[解析] D 两式相加，可得 3x＋3y＝9，故 x＋y＝3.
8．[解析] B 解方程组{x＋y＝5k，
x－y＝9k，得{x＝7k，
y＝－2k.
把 x，y 的值代入二元一次方程 2x＋3y＝6，得 2×7k＋3×(－2k)＝6，解得 k＝
3
4.
9．[答案] 2 减 y
[解析] ①×2，得 22x－6y＝8，③
③－②可消去 y.
10．[答案] {x＝3，
y＝1
11．[答案] 5 －21
[解析] ①＋②，得 7x＋7y＝35，即 x＋y＝5.②－①，得 x－y＝－21.
12．[答案] －
5
4
13．[答案] 1 －2
[解析] 根据二元一次方程的定义可知，x，y 的次数都是 1，所以得方程组：
{2m＋5n＋9＝1，
4m－2n－7＝1，
解方程组，得{m＝1，
n＝－2.
14．[解析] 方程组(2)较复杂，可先通过化简，将其变形为二元一次方程组的一般形式
后再消元．
解：(1){3x－y＝2，①
3x＋2y＝11，②
②－①，得 3y＝9，解得 y＝3.
把 y＝3 代入①，得 3x－3＝2，解得 x＝
5
3.8
所以原方程组的解是{x＝
5
3，
y＝3.
(2)原方程组可化简为{3x－2y＝8，①
3x＋2y＝10，②
①＋②，得 6x＝18，解得 x＝3.
将 x＝3 代入①，得
9－2y＝8，解得 y＝
1
2.
所以原方程组的解是{x＝3，
y＝
1
2.
15．[解析] 认真观察每个方程组，发现方程组(1)用加减法求解比较简便；(2)未知数 x
的系数相同，可通过相减消去“x”，用加减法比较简便；(3)是一个较复杂的方程组，用加减
法求解较合适；(4)需先将此方程组化简，再确定求解方法．
解：(1){x＋2y＝1，①
3x－2y＝11，②
①＋②，得 4x＝12，
解得 x＝3.
把 x＝3 代入①，得 3＋2y＝1，
解得 y＝－1.
所以原方程组的解是{x＝3，
y＝－1.
(2){5x＋3y＝6，①
5x－2y＝－4，②
①－②，得 5y＝10，解得 y＝2.
把 y＝2 代入①，得 5x＋3×2＝6，
解得 x＝0.
所以原方程组的解是{x＝0，
y＝2.
(3){4x－3y＝39，①
7x＋4y＝－15，②
①×4，得 16x－12y＝156，③
②×3，得 21x＋12y＝－45，④
③＋④，得 37x＝111，
解得 x＝3.
把 x＝3 代入①，得 4×3－3y＝39，
解得 y＝－9.
所以原方程组的解是{x＝3，
y＝－9.
(4)将原方程组化简为{4x＋10y＝3.6，①
15x＋10y＝8，②
②－①，得 11x＝4.4，
解得 x＝0.4.9
把 x＝0.4 代入①，得 1.6＋10y＝3.6，
解得 y＝0.2.
所以原方程组的解为{x＝0.4，
y＝0.2.
16．[解析] 用方程组中的 a 分别表示 x，y，再把 x，y 的值代入 3x－5y－38＝0，即可
求得 a 的值．
解：解方程组{x＋y＝a，
x－y＝5a，
得{x＝3a，
y＝－2a.
把{x＝3a，
y＝－2a代入方程 3x－5y－38＝0，
得 3×3a－5×(－2a)－38＝0，
解得 a＝2.
17．解：{2x＋5y＝－6，①
3x－5y＝16，②
①＋②，得 5x＝10，x＝2.
把 x＝2 代入①，得 2×2＋5y＝－6，y＝－2.
将{x＝2，
y＝－2代入方程组{ax－by＝－4，
bx＋ay＝－8，得
{2a＋2b＝－4，
2b－2a＝－8，
解这个方程组，得{a＝1，
b＝－3，
所以 3a＋7b＝3×1＋7×(－3)＝－18.
[数学活动]
1．[解析]根据题意，把{x＝－2，
y＝2 代入方程 ax＋by＝2，得关于 a，b 的一个方程，再把
{x＝3，
y＝－2代入方程 ax＋by＝2，得关于 a，b 的另一个方程，组成方程组，求得 a，b 的值．把
{x＝3，
y＝－2代入方程 cx－7y＝8，即可求得 c 的值．
解：把{x＝－2，
y＝2， {x＝3，
y＝－2分别代入方程 ax＋by＝2，
得{－2a＋2b＝2，
3a－2b＝2，
解得{a＝4，
b＝5.
把{x＝3，
y＝－2代入方程 cx－7y＝8，
得 3c＋14＝8，
解得 c＝－2.
即 a＝4，b＝5，c＝－2.10
2．解：设 x＋y＝m，x－y＝n，所求方程组可变形为{3m－an＝16，
2m＋bn＝15. 由题意，可得该方程
组的解为{m＝7，
n＝1，由此可得到关于 x，y 的方程组{x＋y＝7，
x－y＝1，解得{x＝4，
y＝3. 故所求方程组的解是
{x＝4，
y＝3.
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