1
3.4 乘法公式
第 1 课时 平方差公式
知识点 平方差公式
平方差公式的表述：
(1)数学表达式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)语言叙述：
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
计算下列各式：
(1)(3x＋2y)(3x－2y)；
(2)(－x＋2y2)(－x－2y2)；
(3)(－
1
3x＋
3
4y2)(－
3
4y2－
1
3x).
探究 一 用平方差公式进行简便运算
教材例 2 变式题利用平方差公式进行简便运算：
(1)59.8×60.2；
(2)103×97.
[归纳总结] 用平方差公式进行简便运算的关键是将原式化成(a＋b)(a－b)的形式，a 为
两因式的和的一半，b 为两因式的差的一半，如 98×102 中 a＝
98＋102
2 ＝100，b＝
102－98
2 ＝
2，故 98×102＝(100－2)(100＋2)．
探究 二 在整式的化简中，尝试多次运用平方差公式
教材补充题计算：(x2－2)(x4＋4)·(x2＋2)．2
[归纳总结] 第一步使用中括号达到“一变”(变成平方差公式)，紧接着是“二套”“三
计算”，并与“x4＋4”相乘，第二次使用平方差公式从而得出结果. 探究 三
利用平方差公式解决实际问题
教材作业题第 4 题变式题学校有一块正方形草坪，草坪的边长为 m 米，根据学校的
统一规划，草坪的南北方向将增加 3 米，草坪的东西方向将减少 3 米，问规划后的草坪和原
来相比，面积是增加了还是减少了？变化了多少？
[反思] 下面两题运用平方差公式计算是否正确？若不正确．请改正．
(1)(a＋b)(－a－b)＝a2－b2；
(2)(1
2m＋
1
3n)(1
3n－
1
2m)＝
1
3n2－
1
2m2.3
一、选择题
1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( )
A．(x＋3)(3＋x)
B.(a＋
1
2b)(1
2b－a)
C．(－x＋y)(x－y)
D．(a2－b)(a＋b2)
2．下列运用平方差公式计算，错误的是( )
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．(2x＋1)(2x－1)＝2x2－1
D．(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2
3．若 x＋y＝3，x2－y2＝12，则 x－y 的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
4．计算 a2(a＋b)(a－b)＋a2b2 的结果是( )
A．a4 B．a6 C．a2b2 D．a2－b2
5．与 7x－y2 的乘积等于 y4－49x2 的代数式是( )
A．7x＋y2 B．7x－y2
C．－7x＋y2 D．－7x－y2
6．计算(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是( )
A．x4＋1 B. x4－1
C．(x＋1)4 D．(x－1)4
7．下面计算(－7＋a＋b)(－7－a－b)正确的是( )
A．原式＝[－(7－a－b)][－(7＋a＋b)]＝72－a2－b2
B．原式＝[－(7＋a)＋b][－(7＋a)－b]＝(7＋a)2－b2
C．原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝－72－(a＋b)2
D．原式＝(－7＋a＋b)[－7－(a＋b)]＝72－(a＋b)2
二、填空题
8．填空：(1)(________)·(－3x＋2y)＝9x2－4y2；
(2)(y－
1
2x)·(________)＝－y2＋
1
4x2.
9．当 x＝3，y＝1 时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2 的值是________．
10．如图 3－4－1①，可以求出阴影部分的面积是________(写成两数平方差的形式)，
如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是________，长是________，
面积是____________(写成多项式乘法的形式)．比较两个图的阴影部分的面积，可以得到乘
法公式____________________(用式子表示)．
图 3－4－14
11．某公园原来有一块长方形草坪，经规划后，南北方向上要缩短 12 米，东西方向上要
加长 12 米，结果改造后的草坪刚好是一个边长为 x 米的正方形．则改造后草坪面积
________(填“增加”或“减少”)了________平方米．
三、解答题
12．计算：
(1)(5＋2x)(5－2x)；
(2)(－y2＋x)(x＋y2)．
13.化简：(1)2016·温州 (2＋m)(2－m)＋m·(m－1)；
(2)(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)．
14．[2015·泉州] 先化简，再求值：(x－2)(x＋2)＋x2(x－1)，其中 x＝－1.
15．运用平方差公式计算：
(1)51×49；
(2)20162－2015×2017.
16．已知 a－b＝30，b－c＝25，且 a2－c2＝1650，求 a＋c 的值．
[阅读理解创新题] 我们在计算(2＋1)(22＋1)·(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)时，发
现直接运算很麻烦，如果在算式前乘(2－1)，即 1，原式的值不变，而且还使整个式子能用
平方差公式计算．解答过程如下：
原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)·(216＋1)(232＋1)5
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)(232＋1)
＝
…
＝264－1.
你能用上述方法算出(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)的值吗？请试试看！
详解详析6
教材的地位
和作用
本节课通过用所学过的多项式和多项式相乘的法则，计算两数和与两数差
的积，从而得出平方差公式，并通过图形面积给出它的几何解释，既增加可
信度和印象，又增强学生的学习兴趣．本节内容是后面学习因式分解、分式
及解一元二次方程等知识的基础
知识
与技
能
1.经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景；
2.会运用平方差公式进行多项式的乘法运算及简便运算
过程
与方
法
通过平方差公式的探索和运用，培养学生的探索能力和归纳能力，培养学
生的竞争意识和计算能力
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
通过对平方差公式的探索和运用，初步认识到事物发展过程中“特殊——
一般——特殊”的规律，激发学生学习数学的兴趣
重点 平方差公式及其应用
难点 能灵活运用平方差公式教学
重点
难点 易错
点 对公式理解不透彻，导致判断错误
【预习效果检测】
[解析] 观察各式，都可运用平方差公式计算．
解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)
＝9x2－4y2.
(2)(－x＋2y2)(－x－2y2)
＝(－x)2－(2y2)2
＝x2－4y4.
(3)(－
1
3x＋
3
4y2)(－
3
4y2－
1
3x)
＝(－
1
3x＋
3
4y2)(－
1
3x－
3
4y2)
＝(－
1
3x ) 2
－(3
4y2 ) 2
＝
1
9x2－
9
16y4.
【重难互动探究】
例 1 [解析] (1)题中可把 59.8 与 60.2 看成 60 与 0.2 的差与和；
(2)题中可把 103 与 97 看成 100 与 3 的和与差．
解：(1)59.8×60.2＝(60－0.2)(60＋0.2)＝602－0.22＝3600－0.04＝3599.96.
(2)103×97＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝10000－9＝9991.
例 2 [解析] 虽然本题按多项式法则直接展开括号可以得出，但是运算量较大．若两次
使用平方差公式，则较为容易．
解：(x2－2)(x4＋4)(x2＋2)
＝[(x2－2)(x2＋2)](x4＋4)7
＝(x4－4)(x4＋4)
＝(x4)2－42
＝x8－16.
例 3 [解析] 草坪原来的面积与规划后的面积的差值即草坪变化的面积．
解：规划后草坪由正方形变为长方形，且长方形的长为(m＋3)米，宽为(m－3)米．
根据题意，得 m2－(m＋3)(m－3)＝m2－m2＋9＝9(米 2)．
答：规划后的草坪和原来相比，面积减少了 9 米 2.
【课堂总结反思】
[知识框架]
平方差 a＋b a－b a2－b2
[反思] (1)错误．改正(a＋b)(－a－b)＝－a2－2ab－b2.
(2)错误．改正(1
2m＋
1
3n)(1
3n－
1
2m)＝(1
3n＋
Error!(1
3n－
1
2m)＝(1
3n ) 2
－(1
2m ) 2
＝
1
9n2－
1
4m2.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B
2．[解析] C 运用平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 计算时，关键要找相同项和相反项，
其结果是相同项的平方减去相反项的平方．由此(2x＋1)(2x－1)＝4x 2－1，所以 C 选项错
误．故选 C.
3．C 4.A 5.D 6.B 7.D
8．[答案] (1)－3x－2y (2)－y－
1
2x
9．[答案] 9
[解析] (x＋y)(x－y)＋y2＝x2－y2＋y2＝x2＝32＝9.
10．[答案] a2－b2 a－b a＋b (a＋b)(a－b)a2－b2＝(a＋b)(a－b)
11．[答案] 增加 144
[解析] 草坪变化的面积＝x2－(x＋12)(x－12)＝144(米 2)．
12．(1)25－4x2 (2)x2－y4
13．解：(1)原式＝4－m2＋m2－m＝4－m.
(2)原式＝4a2－1－4a2＋4a＝4a－1.
14．解：原式＝x2－4＋x3－x2＝x3－4.
当 x＝－1 时，原式＝－5.
15．解：(1)51×49＝(50＋1)(50－1)＝502－12＝2499.
(2)原式＝20162－(2016－1)×(2016＋1)＝20162－(20162－1)＝1.
16．[解析] 因为(a＋c)(a－c)＝a2－c2＝1650，要求 a＋c 的值，必知 a－c 的值．而观
察 a－b＝30，b－c＝25 的特点，两式相加可求出 a－c＝55，所以 a＋c 的值能求出．
解：由 a－b＝30，b－c＝25，可得 a－c＝55.
因为 a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝1650，
所以 a＋c＝1650÷(a－c)＝1650÷55＝30.
[数学活动]
解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)
＝(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)÷28
＝(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(34－1)(34＋1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(38－1)(38＋1)(316＋1)÷2
＝(316－1)(316＋1)÷2
＝
1
2(332－1)．
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