1
2.4 二元一次方程组的应用
第 2 课时 应用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
知识点 利用二元一次方程组求公式中的未知系数
求公式中的未知系数的方法也称待定系数法，主要分两步走：(1)把已知量代入含有未知
量的公式中，构造出关于未知量的二元一次方程组；(2)解方程组．
据研究，地面上空 h(m)处的气温 t(℃)与地面气温 T(℃)有如下关系：t＝T－kh.现用气
象气球测得某时离地面 150 m 处的气温为 8.8 ℃，离地面 400 m 处的气温为 6.8 ℃，求 T，
k 的值．
探究 综合运用二元一次方程组及其他方面知识解应用题
教材补充题体育文化用品商店购进篮球和排球共 20 个，球的进价和售价如下表，
全部销售完后共获利 260 元.
篮球 排球
进价(元/个) 80 50
售价(元/个) 95 60
(1)购进篮球和排球各多少个？
(2)销售 6 个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
[归纳总结] 解决本题的关键是读懂题意，在图表中获取有用信息，再根据题干找出合适
的等量关系．我们获取信息的渠道是多样化的，如图形、表格、情境对话等，所以我们要提
升从多方面获取信息的能力.2
[反思] 通过本节的学习，请你谈谈如何处理复杂的实际问题．3
一、选择题
1．某校七年级(2)班 40 位同学为“希望工程”捐款，共捐款 100 元，捐款情况如下表：
捐款(元) 1 2 3 4
人数 6 7
则捐 2 元和 3 元的人数各是多少？若设捐 2 元的有 x 人，捐 3 元的有 y 人，根据题意，
可得方程组( )
A.{x＋y＝27，
2x＋3y＝66 B.{x＋y＝27，
2x＋3y＝100
C.{x＋y＝27，
3x＋2y＝66 D.{x＋y＝27，
3x＋2y＝100
2．公式 s＝s0＋vt 表示的是路程 s 与时间 t 之间的关系(其中 s0，v 都是不等于零的常
数)，且当 t＝5 时，s＝260；当 t＝7 时，s＝340，则 s0，v 的值分别是( )
A．s0＝60，v＝40 B．s0＝－60，v＝40
C．s0＝60，v＝－40 D．s0＝－60，v＝－40
3．甲、乙两根绳共长 17 米，如果甲绳减去它的
1
5，乙绳增加 1 米，那么两根绳长相
等．若设甲绳长 x 米，乙绳长 y 米，则下列方程组正确的是( )
A.{x＋y＝17，
x－
1
5x＝y＋1 B.{x＋y＝17，
x＋
1
5＝y－1
C.{x＋y＝17，
x－
1
5＝y＋1 D.{x＋y＝17，
x－
1
5x＝y－1
二、填空题
4．用彩色和单色两种地砖铺地，彩色地砖的单价为 14 元/块，单色地砖的单价为 12 元/
块，购买单色地砖的数量比彩色地砖的数量的 2 倍少 15 块，买两种地砖共用了 1340 元．若
设购买彩色地砖 x 块，单色地砖 y 块，则根据题意可列方程组为______________．
5．甲、乙两种商品原来的单价之和为 100 元，因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提
价 40%，调价后两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了 20%.若设甲、乙两种商品原来
的 单 价 分 别 为 x 元 、 y 元 ， 根 据 题 意 可 列 方 程 组 为
________________________________________________________________________．
三、解答题
6．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电阶梯价格
制度，下表是某小区的电价标准．例如：方女士家 5 月份用电 500 度，电费＝180×0.6＋220×
二档电价＋100×三档电价＝352 元；李先生家 5 月份用电 460 度，交电费 316 元，请问表中
二档电价、三档电价各是多少？
阶梯,电量,电价
一档,0～180 度,0.6 元/度4
二档,181～400 度,二档电价
三档,401 度及以上,三档电价
7．2015·广东某电器商场销售 A，B 两种型号计算器，两种计算器每台的进货价格分别
为 30 元、40 元. 商场销售 5 台 A 型号和 1 台 B 型号计算器，可获利润 76 元；销售 6 台 A 型
号和 3 台 B 型号计算器，可获利润 120 元．求商场 A，B 两种型号计算器每台的销售价格分别
是多少元．(利润＝销售价格－进货价格)
8.2015·佛山某景点的门票价格如下表：
购票人数 1～50 51～100 100 以上
门票价格/(元/人) 12 10 8
某校七年级(1)(2)两班计划去该景点游玩，其中(1)班人数小于 50，(2)班人数大于 50
且小于 100.如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付 1118 元；如果两班联合起来作为
一个团体购票，则只需花费 816 元．
(1)两个班各有多少名学生？
(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少元？
9.2016·株洲某市对七年级学生的综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如下：
考核综合评价得分由测试成绩(满分 100 分)和平时成绩(满分 100 分)两部分组成，其中测试
成绩占 80%，平时成绩占 20%，并且当综合评价得分大于或等于 80 分时，该学生综合评价为 A
等．
(1)孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分，而综合评价得分为 91 分，
则孔明同学的测试成绩和平时成绩各是多少分？
(2)某同学的测试成绩为 70 分，他的综合评价得分有可能达到 A 等吗？为什么？
(3)如果一个同学综合评价要达到 A 等，他的测试成绩至少为多少分？
10．某工厂用如图 2－4－2 甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的 A，B 两种长
方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板 140 张，长方形纸板 360 张，刚好全部用完，问能做
成多少个 A 型盒子？多少个 B 型盒子？5
(1)根据题意，甲和乙两位同学分别列出的方程组如下：
甲：{x＋2y＝140，
4x＋3y＝360；乙：{x＋y＝140，
4x＋
3
2y＝360.
根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义：
甲：x 表示________，y 表示________；
乙：x 表示________，y 表示________．
(2)求出做成的 A 型盒子和 B 型盒子分别有多少个(写出完整的解答过程)．
图 2－4－2
根据图 2－4－3 中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高________cm，放入一个大球水面升高________cm；
(2)如果要使水面上升到 50 cm，那么应放入大球、小球各多少个？
图 2－4－3
详解详析6
教材的地位
和作用
本节课是在上节课掌握利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤与方
法后，进一步让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．教学内容涉
及待定系数法，利用二元一次方程求字母系数，与后面的函数联系密切，应
让学生切实掌握，教学内容中要求的量较多(多于两个)时，如何列二元一次
方程组求解．对学生的能力要求较高，有利于学生分析问题、解决问题能力
的提高
知识
与技
能
1.学会利用二元一次方程组求字母系数(待定系数法)；
2.进一步掌握利用二元一次方程解决实际问题
过程
与方
法
学会利用二元一次方程组对信息量较大、所求未知量较多的实际问题的分
析与解决
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
通过经历和体验方程组解决实际问题的过程，感受到数学建模在解决较复
杂的实际问题中的作用
重点 列二元一次方程组解应用题
难点 在较复杂的问题情境中找等量关系、列方程组教学
重点
难点 易错
点 对题意理解不清，导致所找等量关系错误
【预习效果检测】
[解析] 分别将 h 与 t 的值代入关系式：t＝T－kh，即可得到关于 T，k 的二元一次方程
组，解所得方程组即可得 T，k 的值．
解：根据题意，得当 h＝150 时，t＝8.8，
即 8.8＝T－150k；
当 h＝400 时，t＝6.8，即 6.8＝T－400k；
联立方程可得方程组{8.8＝T－150k，
6.8＝T－400k，
解得{T＝10，
k＝
1
125.
∴T＝10，k＝
1
125.
【重难互动探究】
例 [解析] (1)设购进篮球 x 个，购进排球 y 个，根据等量关系：①篮球和排球共 20 个；
②全部销售完后共获利润 260 元可得方程组，解方程组即可．
(2)设销售 6 个排球的利润与销售 a 个篮球的利润相等，根据题意可得等量关系：每个排
球的利润×6＝每个篮球的利润×a，列出方程，即可得答案．
解：(1)设购进篮球 x 个，购进排球 y 个．由题意，得
{x＋y＝20，
（95－80）x＋（60－50）y＝260，7
解得{x＝12，
y＝8.
答：购进篮球 12 个，购进排球 8 个．
(2)设销售 6 个排球的利润与销售 a 个篮球的利润相等．由题意，得
6×(60－50)＝(95－80)·a，解得 a＝4.
答：销售 6 个排球的利润与销售 4 个篮球的利润相等．
【课堂总结反思】
[反思] 略
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．A 2.A 3.A
4．[答案] {y＝2x－15，
14x＋12y＝1340
5．[答案]{x＋y＝100，
（1－10%）x＋（1＋40%）y＝100 × （1＋20%）
6．解：设二档电价是 x 元/度，三档电价是 y 元/度．
根据题意，得
{180 × 0.6＋220x＋100y＝352，
180 × 0.6＋220x＋60y＝316， 解得{x＝0.7，
y＝0.9.
答：二档电价是 0.7 元/度，三档电价是 0.9 元/度．
7．解：设 A，B 型号计算器每台的销售价格分别是 x 元、y 元．根据题意，得
{5（x－30）＋（y－40）＝76，
6（x－30）＋3（y－40）＝120，解得{x＝42，
y＝56.
答：A，B 两种型号计算器每台的销售价格分别是 42 元、56 元．
8．解：(1)设(1)班有 x 名学生，(2)班有 y 名学生．根据题意，得{12x＋10y＝1118，
8x＋8y＝816， 解
得{x＝49，
y＝53.
答：(1)班有 49 名学生，(2)班有 53 名学生．
(2)49×(12－8)＝196(元)，
53×(10－8)＝106(元)．
答：(1)班节约了 196 元，(2)班节约了 106 元．
9．解：(1)设孔明同学的测试成绩为 x 分，平时成绩为 y 分．依题意，得
{x＋y＝185，
80%x＋20%y＝91，解得{x＝90，
y＝95.
答：孔明同学的测试成绩和平时成绩分别是 90 分、95 分．
(2)80－70×80%＝24(分)，24÷20%＝120(分)>100 分．
答：他的综合评价得分不可能达到 A 等．
(3)设平时成绩为满分，即 100 分，100×20%＝20(分)，所以综合成绩还差 80－20＝
60(分)，
故测试成绩至少为 60÷80%＝75(分)．
10．解：(1)仔细观察发现A 型盒子有 4 个长方形，1 个正方形；B 型盒子有 3 个长方形，
2 个正方形．
故甲：x 表示 A 型盒子的个数，y 表示 B 型盒子的个数；乙：x 表示 A 型盒子中正方形纸8
板的个数，y 表示 B 型盒子中正方形纸板的个数．
(2)设做成的 A 型盒子有 x 个，B 型盒子有 y 个．
根据题意，得{x＋2y＝140，
4x＋3y＝360，解得{x＝60，
y＝40.
答：做成的 A 型盒子有 60 个，B 型盒子有 40 个．
[数学活动]
解：(1)放入 3 个体积相同的小球水面升高 32－26＝6(cm)，则放入 1 个小球水面升高 2
cm.放入 2 个体积相同的大球水面升高 32－26＝6(cm)，则放入 1 个大球水面升高 3 cm.
(2)设应放入 x 个大球，y 个小球．由题意，得{3x＋2y＝50－26，
x＋y＝10，
解这个方程组，得{x＝4，
y＝6.
答：应放入 4 个大球，6 个小球．
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