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4.3 用乘法公式分解因式
第 1 课时 用平方差公式分解因式
知识点 1 平方差公式分解因式
把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2 反过来，得 a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，
等于这两个数的和与这两个数的差的积．
我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．
1．把下列多项式分解因式：
(1)x2－36；
(2)36－25y2；
(3)(x＋p)2－(x＋q)2.
探究 一 提公因式与平方差公式综合运用
把下列各式分解因式：
(1)18a2－8b2；
(2)a5－81ab4.
[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)
对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式
分解，以免出现 16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又
乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．
探究 二 尝试用平方差公式进行简便运算
教材作业题第 3 题变式题用简便方法计算：
(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.2
探究 三 平方差公式分解因式的应用
教材补充题如图 4－3－1 所示，在半径为 R 的大圆内部挖去四个半径为 r 的小
圆．
(1)用含 R，r 的式子表示剩余部分的面积 S；
(2)当 R＝35 cm，r＝12.5 cm 时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留
π)．
图 4－3－1
[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．
①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.3
一、选择题
1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )
A．－m4－n4 B．－16x2＋y2
C．1.21－a2 D．9a2－64b2
2．将整式 9－x2 分解因式的结果是( )
A．(3－x)2 B．(3＋x)(3－x)
C．(9－x)2 D．(9＋x)(9－x)
3．将多项式 x3－xy2 分解因式，结果正确的是( )
A．x(x2－y2) B．x(x－y)2
C．x(x＋y)2 D．x(x＋y)(x－y)
4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )
A．4a2－b2 B．4a2＋b2
C．－4a2－b2 D．－4a2＋b2
5．观察下面 4 个分解因式的过程：
(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；
(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；
(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；
(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；
(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．
其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式 x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数
字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )
A．8，1 B．16，2
C．24，3 D．64，8
二、填空题
7．2016·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．
8．2016·长沙分解因式：x2y－4y＝________．
9．2016·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．
10．2015·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．
11．已知 58－1 能被 20～30 之间的两个整数整除，则这两个整数是________．
三、解答题
12．分解因式：
(1)a3－16a；
(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；4
(3)m4(m－2)＋16(2－m)．
13.用简便方法计算：
(1)6.42－3.62；
(2)1.42×16－2.22×4.
14．设 n 是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25 能被 4 整除．
如图 4－3－2 所示，在一块边长为 m 的正方形纸板的四角各剪去一个边长为 n(m>2n)的
小正方形．
(1)用含 m，n 的式子表示剩余部分的面积 S；
(2)当 m＝13.2 厘米，n＝3.4 厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．
图 4－3－25
详解详析
教材的地位
和作用
平方差公式与整式乘法和因式分解有着重要的联系，是因式分解的一种
常见方法，在因式分解中有着重要的作用，也是后边解一元二次方程的重要
方法之一
知识
与技
能
1.了解因式分解的步骤；
2.理解平方差公式，并会运用平方差公式分解因式
过程
与方
法
了解公式法的概念，掌握平方差公式的概念和特征，并进行因式分解
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
通过平方差公式来分解因式，让学生体会公式法的应用，感受数学的多样
性
重点 应用平方差公式分解因式
难点 公式中字母含义的多样性教学
重点
难点 易错
点
对平方差公式理解不透彻，导致分解因式错误．平方形式易错，如 4x2 误解
为(4x)2
【预习效果检测】
1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．
(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．
(3)(x＋p)2－(x＋q)2
＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]
＝(2x＋p＋q)(p－q)．
【重难互动探究】
例 1 [解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符
合公式．
解：(1)18a2－8b2
＝2(9a2－4b2)
＝2(3a＋2b)(3a－2b)．
(2)a5－81ab4
＝a(a4－81b4)
＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)
＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．
例 2 解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.
(2)原式＝3.14×(752－252)
＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.
例 3 [解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．6
解：(1)剩余部分的面积为
S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．
(2)当 R＝35 cm，r＝12.5 cm 时，
S＝π(R＋2r)(R－2r)
＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)
＝π·60×10＝600π(cm2)．
【课堂总结反思】
[反思] 两个均不正确．改正：
①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．
②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．A 2.B
3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．
4．D 5.B 6.B
7．[答案] (a＋3)(a－3)
8．[答案] y(x＋2)(x－2)
9．[答案] (m－3)(m＋3)
10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)
11．[答案] 26，24
[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为 52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是
26，24.
12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．
(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．
(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)
＝(m－2)(m4－16)
＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)
＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)
＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．
13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．
解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.
(2)1.42×16－2.22×4
＝(1.4×4)2－(2.2×2)2
＝5.62－4.42
＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)
＝10×1.2
＝12.
14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－
2)，
即(2n＋1)2－25 能被 4 整除．
[数学活动]
[解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．
解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．
(2)当 m＝13.2 厘米，n＝3.4 厘米时，7
S＝(m＋2n)(m－2n)
＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)
＝20×6.4＝128(厘米 2)．
所以剩余部分的面积为 128 平方厘米．
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