1
第 2 章 二元一次方程组
2．1 二元一次方程
知识点 1 二元一次方程
含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程．
[注意] 二元一次方程的概念的三个要素：(1)方程中含有两个未知数；(2)含有未知数的
项的次数都是一次；(3)是整式方程．
1．下列各式中，哪些是二元一次方程，哪些不是？
(1)6x－2＝5z＋
1
3＋3x；(2)
1
x＋
1
y＝7；
(3)x－y；(4)xy＋3x＋y＝1.
知识点 2 二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．
[注意] 二元一次方程的解的记法：用大括号将使二元一次方程两边的值相等的一对未知
数的值上下排列，如{x＝1，
y＝2.
2．下列四组值中，不是二元一次方程 x－2y＝1 的解的是( )
A.{x＝0，
y＝－
1
2
B.{x＝1，
y＝1
C.{x＝1，
y＝0 D.{x＝－1，
y＝－1
探究 一 二元一次方程的解的简单应用
教材补充题已知{x＝2，
y＝－1是关于 x，y 的二元一次方程 ax－2＝－by 的一个解，则 2a
－b＝________.
[归纳总结] 二元一次方程的解的特征：二元一次方程的解不是唯一的，只要使二元一
次方程两边的值相等的一对未知数的值，都是这个二元一次方程的解，二元一次方程一般有
无数个解．
探究 二 学会求二元一次方程的解
教材例题变式题已知方程 4a＋3b＝16.
(1)用关于 a 的代数式表示 b；
(2)求当 a 的值分别为－2，0，1 时，对应的 b 的值，并写出方程 4a＋3b＝16 的三个
解．2
[归纳总结] 将一个未知数用另一个未知数表示是求二元一次方程的解的关键.
[反思] 判断：方程(a－1)x＋y＝3(a 为常数)是二元一次方程．( )3
一、选择题
1．下列方程中，是二元一次方程的是( )
A．3x－2y＝4z B．6xy＋13＝0
C.
1
x＋4y＝25 D．4x＝
y－2
3
2．下列各对数值可作为二元一次方程－x－2y＝5 的解的是( )
A.{x＝1，
y＝2 B.{x＝1，
y＝－3
C.{x＝－1，
y＝2 D.{x＝－1，
y＝－3
3．方程 3x－y＝1 的解( )
A．有且只有一个 B．只有两个
C．有无数个 D．不会超过 100 个
4．若{x＝1，
y＝2 是关于 x，y 的二元一次方程 ax－3y＝1 的解，则 a 的值为( )
A．－5 B．－1
C．2 D．7
5．若{x＝2k，
y＝3k 是二元一次方程 3x－y＝6 的解，则 k 的值为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
6．若方程 2x2a＋3＋3y5b－9＝4 是关于 x，y 的二元一次方程，则 a2＋b2 的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．5
7．某鞋店有甲、乙两款鞋各 30 双，甲鞋一双 200 元，乙鞋一双 50 元．该店促销的方式
如下：买一双甲鞋，送一双乙鞋；只买乙鞋没有任何优惠．若打烊后得知，此两款鞋共卖得 1800
元，还剩甲鞋 x 双，乙鞋 y 双，则依题意可列方程( )
A．200(30－x)＋50(30－y)＝1800
B．200(30－x)＋50(30－x－y)＝1800
C．200(30－x)＋50(60－x－y)＝1800
D．200(30－x)＋50[30－(30－x)－y]＝1800
二、填空题
8．把方程 2x＋y＝3 改写成用含 x 的式子表示 y 的形式，得 y＝________．
9．已知 y＝2x＋2，当 x＝－2 时，y＝________；当 y＝－1 时，x＝________．
10．在自然数范围内，方程 3x＋y＝10 的解是____________________．
11．若 mx＋(n－5)y＝7 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m，n 的取值范围分别是
____________．
三、解答题
12．根据题意列出方程：
(1)x 比 y 的
1
5小 4；
(2)一个长方形的周长是 20 cm，设这个长方形的长为 x cm，宽为 y cm.4
13.已知方程 5x－2y＝6.
(1)请用含 x 的代数式表示 y；
(2)根据方程把下表补充完整；
x －2 0 2 …
y7 …
(3)写出方程的两组解．
14．每个甲种物品的质量为 4 千克，每个乙种物品的质量为 7 千克，现有甲种物品 x 个，
乙种物品 y 个，共重 76 千克．
(1)列出关于 x，y 的二元一次方程；
(2)若 x＝12，求 y 的值；
(3)若乙种物品有 8 个，求甲种物品的个数；
(4)请你用含 x 的式子表示 y，再写出符合题意的 x，y 的全部值．
15．已知{x＝1，
y＝2 既是方程 ax＋y＝12 的解，又是方程 x－(b＋1)y＝－5 的解，求 a－b
的值．
1．若 x|a|－2＋(a－3)y4－3|b|＝1 是关于 x，y 的二元一次方程，求 a－b 的值．5
2.某电视台在黄金时段的 2 min 广告时间内，计划插播长度分别为 15 s 和 30 s 的两种广
告，15 s 广告每播 1 次收费 0.6 万元，30 s 广告每播 1 次收费 1 万元，若要求每种广告播放
不少于 2 次，问：
(1)两种广告的播放次数有哪几种安排方式？
(2)电视台选择哪种方式播放收益较大？
详解详析
教材的地位
和作用
本节课是在学生学习了一元一次方程及其应用后而学习的内容，其中包含方
程的变形与求值，本节内容是学习二元一次方程组和其他方程组的基础，并
且是同学们进一步学习其他内容和学科的必备知识．同时，本节内容蕴含的
转化变形思想对初中阶段数学的学习有很大的影响
教
学
知识
与技
1.通过与一元一次方程进行比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别
一个方程是不是二元一次方程；6
能 2.通过探索交流，会辨别一组数是不是二元一次方程的解，能写出给定的
二元一次方程的解，了解二元一次方程解的不唯一性；
3.会将一个二元一次方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知
数的形式
过程
与方
法
经历观察、比较、猜想、验证等数学学习活动，培养学生分析问题的能力
和数学说理的能力
目
标
情感、
态度
与价
值观
体验方程变形后求值的快捷方便，培养学生积极分析问题、解决问题的学
习态度，增强学生的学习动力，并体验成功后的喜悦感
重点 二元一次方程及其解的概念
难点 把一个二元一次方程变形成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的
形式
教学
重点
难点 易错
点 对二元一次方程的概念理解不透彻，导致识别二元一次方程时出现误判
【预习效果检测】
1．[解析] 根据二元一次方程的定义判别．
解：(1)是二元一次方程．
(2)不是二元一次方程．
(3)x－y 不是等式，所以不是方程，更不是二元一次方程．
(4)xy＋3x＋y＝1 中“xy”项的次数是 2，不是 1，所以不是二元一次方程．
2．[解析] B 将 x，y 的值分别代入 x－2y 中，看结果是否等于 1，即可判断 x，y 的值
是不是方程 x－2y＝1 的解．
【重难互动探究】
例 1 [答案] 2
[解析] 将 x＝2，y＝－1 代入方程，得 2a－2＝b，即 2a－b＝2.
例 2 解：(1)∵3b＝16－4a，∴b＝
16－4a
3 .
(2)当 a 的值分别为－2，0，1 时，对应的 b 的值分别为 8，
16
3 ，4.
该方程的解有无数个，以下列举三个仅供参考：{a＝－2，
b＝8， {a＝0，
b＝
16
3 ，{a＝1，
b＝4.
【课堂总结反思】
[反思] ×
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] D 解本题的关键是要理解二元一次方程的概念：(1)含有两个未知数；(2)含
有未知数的项的次数是 1；(3)等式两边都是整式．A 项，3x－2y＝4z 含有三个未知数．B 项，
6xy＋13＝0 中“xy”项的次数是 2.C 项，
1
x＋4y＝25 中，左边
1
x不是整式．故选 D.7
2．[解析] B 将几组数据分别代入二元一次方程进行检验．
3．[解析] C 二元一次方程有无数个解．故选 C.
4．[解析] D 将方程的解代入方程可得 a－3×2＝1，解得 a＝7.故选 D.
5．[解析] C 将{x＝2k，
y＝3k 代入 3x－y＝6，得 6k－3k＝6，解得 k＝2.
6．[解析] D 由二元一次方程的概念可知 2a＋3＝1，5b－9＝1，所以 a＝－1，b＝2，
所以 a2＋b2＝(－1)2＋22＝5.
7．D
8．[答案] －2x＋3
9．[答案] －2 －
3
2
[解析] 把 x 和 y 的值分别代入 y＝2x＋2 即可求解．
10．[答案] {x＝0，
y＝10，{x＝1，
y＝7，{x＝2，
y＝4，{x＝3，
y＝1
[解析] 0，1，2，3，…是自然数．
当 x＝0 时，y＝10；当 x＝1 时，y＝7；当 x＝2 时，y＝4；当 x＝3 时，y＝1.
所以在自然数范围内，方程 3x＋y＝10 的解是{x＝0，
y＝10，{x＝1，
y＝7，{x＝2，
y＝4，{x＝3，
y＝1.
11．[答案] m≠0，n≠5
12．[解析] 根据题中的相等关系列方程．
解：(1)x－
1
5y＝－4.(2)2(x＋y)＝20.
13．解：(1)因为 5x－2y＝6，所以 y＝
5x－6
2 .
(2)见下表：
x －2 0 2 4 …
y －8 －3 2 7 …
(3)答案不唯一，例如：
{x＝－2，
y＝－8，{x＝2，
y＝2.
14．解：(1)关于 x，y 的二元一次方程为 4x＋7y＝76.
(2)把 x＝12 代入方程，得 y＝4.
(3)把 y＝8 代入方程，得 x＝5.
(4)y＝
76－4x
7 .因为 x，y 都是非负整数，所以符合题意的 x，y 的全部值是 {x＝5，
y＝8，
{x＝12，
y＝4， {x＝19，
y＝0.
15．解：因为{x＝1，
y＝2 是方程 ax＋y＝12 的解，
所以把{x＝1，
y＝2 代入方程 ax＋y＝12 中，
得 a＋2＝12，解得 a＝10.8
同理，因为{x＝1，
y＝2 是方程 x－(b＋1)y＝－5 的解，
所以把{x＝1，
y＝2 代入方程 x－(b＋1)y＝－5，得
1－2(b＋1)＝－5，解得 b＝2.
所以 a－b＝10－2＝8.
[数学活动]
1．解：由二元一次方程的定义，得|a|－2＝1，4－3|b|＝1，且 a－3≠0，解得 a＝－3，
b＝±1，
∴a－b＝－2 或－4.
2．解：(1)设 15 s 广告播放 x 次，30 s 广告播放 y 次．由题意，得 15x＋30y＝120，则
x＋2y＝8.
∵x，y 为不小于 2 的正整数，
∴{x＝4，
y＝2 或{x＝2，
y＝3.
∴广告的播放次数有两种安排方式，即 15 s 广告播放 4 次，30 s 广告播放 2 次或 15 s
广告播放 2 次，30 s 广告播放 3 次．
(2)若 x＝4，y＝2，则 0.6×4＋1×2＝4.4(万元)；
若 x＝2，y＝3，则 0.6×2＋1×3＝4.2(万元)．
∵4.4>4.2，
∴电视台选择 15 s 广告播放 4 次，30 s 广告播放 2 次的方式收益较大．
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