1
5.4 分式的加减
第 2 课时 异分母分式的加减
知识点 1 分式的通分
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分．
通分的关键是确定最简公分母．
求几个分式的最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)相同字母(或因式)的幂，取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)，即
为最简公分母．
1．分式
1
6ab2c，
1
9a3bc2，
1
12a2b4c3的最简公分母是( )
A．36a3b4c3 B．3a3b4c3
C．36a6b8c6 D．3a6b8c6
知识点 2 异分母分式的加减运算
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减，即
b
a±
d
c＝
bc
ac±
ad
ac＝
bc ± ad
ac .
2．计算：
(1)
2
x－
5
x2； (2)
a＋1
a－1－
a－1
a＋1； (3)
a
a－b＋
b2
a（b－a）.
探究 一 异分母分式的加减运算
[教材例 2 补充题] 计算：
(1)
c2
ab＋
a2
bc； (2)
a
a－2－
a
a＋2； (3)
1
x＋1＋x－1;
(4)
m
m－n－
n
m＋n＋
2mn
m2－n2.
[归纳总结] (1)异分母分式的加减法中，通分是关键．通过通分达到“化异(分母)为同
(分母)”的目的；(2)若一个分式和一个整式相加减，可以把整式看成是分母为 1 的式子，先
通分，再进行加减运算；(3)分式加减的运算结果要化为最简分式或整式．
探究 二 分式的化简求值2
教材 P128 例 4 变式化简：
x
x－2＋
x
x2＋2x－
x＋6
x2－4，并求当 x＝－1 时，代数式的值．
探究 三 分式的加减在实际生活中的应用
教材补充题五一期间，王叔叔一家人去安徽黄山旅游．已知王叔叔家到黄山的距离
是 s km，王叔叔从家驾车按 v km/h 的速度行驶，可按预定时间到达黄山．为了让家人到山顶
看日出，王叔叔驾车每小时需多行驶 a km，则他们可提前多长时间到达？
[反思] 1.计算：
3m
2m＋n－
m－n
n＋2m.
解：原式＝
3m－m－n
2m＋n ＝
2m－n
2m＋n.
上面的解法是否正确？如果不正确，请指出错误的原因，并改正．
2．下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
2
x＋2－
x－6
x2－43
＝
2（x－2）
（x＋2）（x－2）－
x－6
（x＋2）（x－2）第一步
＝2(x－2)－(x－6)第二步
＝2x－4－x＋6 第三步
＝x＋2.第四步
请写出小明的解法从第几步开始出现错误，并写出正确的化简过程．4
一、选择题
1．分式
1
2a，
1
6ab，
b
3a2的最简公分母是( )
A．36ab B．12ab C．6a2b D．6ab2
2．下列运算正确的是( )
A.
a
a－b－
b
b－a＝1
B.
m
a－
n
b＝
m－n
a－b
C.
b
a－
b＋1
a ＝
1
a
D.
2
a－b－
a＋b
a2－b2＝
1
a－b
3．·丽水
1
a＋
1
b的运算结果正确的是( )
A.
1
a＋b B.
2
a＋b
C.
a＋b
ab D．a＋b
4．化简
1
x－
1
x－1，可得( )
A.
1
x2－x B．－
1
x2－x
C.
2x＋1
x2－x D.
2x－1
x2－x
5．·德州化简
a2－b2
ab －
ab－b2
ab－a2等于( )
A.
b
a B.
a
b
C．－
b
a D．－
b
a
6．·荆门化简
x
x2＋2x＋1÷(1－
1
x＋1)的结果是( )
A.
1
x＋1 B.
x＋1
x
C．x＋1 D．x－1
7．若 x＋y＝xy，则
1
x＋
1
y的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．25
8．已知两个分式：A＝
4
x2－4，B＝
1
x＋2＋
1
2－x，其中 x≠±2，则 A 与 B 的关系是( )
A．相等 B．互为倒数
C．互为相反数 D．A 大于 B
二、填空题
9．计算：
2
x＋y－
1
x－y＝________．
10．[2015·包头] 化简：(a－
2a－1
a )÷
a2－1
a ＝________.
11．若
mx2
x2－y2＝
2xy－y2
x2－y2 ＋
x－y
x＋y，则 m＝________.
12．已知 ab＝1，则
a
a＋1＋
b
b＋1＝________．
13．阅读下列解题过程：
x－3
x2－1－
2
1＋x
Error!
(1)上述计算过程中，从第________开始出现错误；
(2) 错 误 的 原 因 是
________________________________________________________________________；
(3)正确的结果是________．
三、解答题
14．计算：(1)
b2
4a2－
c
a；
(2)
2ab
（a－b）（a－c）＋
2bc
（a－b）（c－a）；
(3)
p
p＋q－
q
p－q＋
2pq
p2－q2.
15．[·长沙]先化简，再求值：
a
a－b(1
b－
1
a )＋
a－1
b ，其中 a＝2，b＝
1
3.6
16．先化简：( x2－4
x2－4x＋4－
1
2－x)÷
1
x2－2x，再从 0，－1，2 中选取一个适当的数作为 x
的值代入求值．
17．已知 x＋y＝xy，求代数式
1
x＋
1
y－(1－x)(1－y)的值．
18．已知
x＋8
（x－1）（x＋2）＝
A
x－1＋
B
x＋2，求 A，B 的值．
[规律探索题] 我们把分子为 1 的分数叫做单位分数，如
1
2，
1
3，
1
4，….任何一个单位分数都
可以拆分成两个不同的单位分数的和，如
1
2＝
1
3＋
1
6，
1
3＝
1
4＋
1
12，
1
4＝
1
5＋
1
20，….
(1)通过对上述式子的观察，你会发现
1
5＝
1
□＋
1
○.请写出□，○所表示的数；
(2)进一步思考，单位分数
1
n(n 是不小于 2 的正整数)满足
1
n＝
1
△ ＋
1
☆，请写出△，☆所
表示的数，并加以验证．
详解详析
教材的地位
和作用
异分母分式的加减是分式的基本运算之一，是在学生学习了同分母分式
相加减的基础上学习的．通过类比异分母分数的加减，容易知道只要把异分
母分式转化为同分母分式就可以了，即通分．异分母的分式相加减是分式混7
合运算的基础，所以本节课的教学内容是前面知识的综合应用
知识与
技能
1.会进行异分母分式的通分；
2.会进行异分母分式的加减运算
过程与
方法
通过对计算过程的反思，获得解决问题的经验，体会在解决问题的过程中
新旧知识综合运用的重要性
教
学
目
标
情感、
态度
与价值
观
激发学生强烈的求知欲，培养学生学习数学的兴趣，并使学生享受运用数
学思想解决生活问题的成功体验，体会类比与转化的数学思想
重点 异分母分式的加减运算
难点 分母是多项式的异分母分式的通分
教学
重点
难点 易错点 在进行分式的通分时，符号易弄错
【预习效果检测】
1．A [解析] 通分时一般取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有字母的最高次幂的
积为公分母．因为 6，9，12 的最小公倍数是 36；ab2c，a3bc2，a2b4c3 各字母的最高次幂是
a3b4c3，所以各分式的最简公分母是 36a3b4c3.
2．解：(1)
2
x－
5
x2＝
2x
x2－
5
x2＝
2x－5
x2 .
(2)
a＋1
a－1－
a－1
a＋1
＝
（a＋1）2
（a－1）（a＋1）－
（a－1）2
（a－1）（a＋1）
＝
（a＋1）2－（a－1）2
（a－1）（a＋1）
＝
（a2＋2a＋1）－（a2－2a＋1）
（a－1）（a＋1）
＝
4a
a2－1.
(3)
a
a－b＋
b2
a（b－a）＝
a
a－b－
b2
a（a－b）＝
a2
a（a－b）－
b2
a（a－b）＝
a2－b2
a（a－b）＝
（a＋b）（a－b）
a（a－b） ＝
a＋b
a .
【重难互动探究】
例 1 [解析] (1)最简公分母是 abc；(3)确定最简公分母后将各式通分，再加减．
解： (1)原式＝
c3
abc＋
a3
abc＝
c3＋a3
abc .
(2)原式＝
a（a＋2）
（a＋2）（a－2）－
a（a－2）
（a＋2）（a－2）＝
4a
a2－4.
(3)
1
x＋1＋x－1＝
1
x＋1＋
x－1
1 ＝
1
x＋1＋
（x－1）（x＋1）
x＋1 ＝
x2
x＋1.
(4)原式＝
m（m＋n）
（m－n）（m＋n）－
n（m－n）
（m－n）（m＋n）＋
2mn
（m－n）（m＋n）8
＝
m2＋2mn＋n2
（m－n）（m＋n）
＝
（m＋n）2
（m－n）（m＋n）
＝
m＋n
m－n.
例 2 解：原式＝
x
x－2＋
x
x（x＋2）－
x＋6
（x＋2）（x－2）
＝
x2（x＋2）＋x（x－2）－x（x＋6）
x（x＋2）（x－2）
＝
x3＋2x2＋x2－2x－x2－6x
x（x＋2）（x－2）
＝
x（x＋4）（x－2）
x（x＋2）（x－2）＝
x＋4
x＋2.
当 x＝－1 时，原式＝
－1＋4
－1＋2＝3.
例 3 [解析] 此题要根据路程公式进行计算，即 s＝vt.
解：
s
v－
s
v＋a＝
s（v＋a）
v（v＋a）－
sv
v（v＋a）＝
sa
v（v＋a）＝
sa
v2＋av，故他们可提前
sa
v2＋av小时
到达．
【课堂总结反思】
[反思]
1．不正确．忽略了分数线的括号作用，导致符号错误．
原式＝
3m－（m－n）
2m＋n ＝
3m－m＋n
2m＋n ＝
2m＋n
2m＋n＝1.
2．解：从第二步开始出现错误．
2
x＋2－
x－6
x2－4＝
2（x－2）
（x＋2）（x－2）－
x－6
（x＋2）（x－2）＝
2（x－2）－（x－6）
（x＋2）（x－2） ＝
2x－4－x＋6
（x＋2）（x－2）＝
x＋2
（x＋2）（x－2）＝
1
x－2.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] D 按照分式的加减运算法则进行计算，可以得出 A，B，C 三个选项的计算结
果都是错误的，其中 A 选项正确的结果应该是
a
a－b－
b
b－a＝
a
a－b＋
b
a－b＝
a＋b
a－b；B 选项中是
异分母分式相减，需先通分，正确的结果是
m
a－
n
b＝
mb－na
ab ；C 选项中是同分母分式相减，正
确的结果是
b
a－
b＋1
a ＝
b－b－1
a ＝－
1
a.D 项正确．
3．C 4.B 5.B 6.A9
7．[解析] B
1
x＋
1
y＝
x＋y
xy ＝1.
8．[解析] C 因为 B＝
1
x＋2＋
1
2－x＝
1
x＋2－
1
x－2＝
x－2－（x＋2）
x2－4 ＝－
4
x2－4，所以 A
与 B 互为相反数．
9．[答案]
x－3y
x2－y2
[解析]
2
x＋y－
1
x－y＝
2（x－y）－（x＋y）
（x＋y）（x－y） ＝
x－3y
x2－y2.
10．[答案]
a－1
a＋1
11．[答案] 1
[解析] 原式可化简为
mx2
x2－y2＝
2xy－y2＋x2－2xy＋y2
x2－y2 ＝
x2
x2－y2，所以 m＝1.
12．[答案] 1
13．[答案] (1)② (2)通分后，分母不变，分子相减，这里把分母丢掉了 (3)－
1
x－1
14．(1)
b2－4ac
4a2
(2)
2b
a－b
(3)1
15．解：原式＝
a
a－b·
a－b
ab ＋
a－1
b ＝
a
b.
当 a＝2，b＝
1
3时，原式＝6.
16．解：原式＝[（x＋2）（x－2）
（x－2）2 ＋
1
x－2]÷
1
x（x－2）＝(x＋2
x－2＋
1
x－2)÷
1
x（x－2）＝
x＋3
x－2·x(x－2)＝x(x＋3)．
取 x＝－1，原式＝－2(本题中 x 的值不能为 0，2)．
17．解：∵x＋y＝xy，
∴原式＝
y＋x
xy －(1－x－y＋xy)＝
x＋y
xy －1＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0.
18．解：将原式化为
x＋8
（x－1）（x＋2）
＝
A（x＋2）＋B（x－1）
（x－1）（x＋2）
＝
Ax＋2A＋Bx－B
（x－1）（x＋2）
＝
（A＋B）x＋（2A－B）
（x－1）（x＋2） ，
∴{A＋B＝1，
2A－B＝8，∴{A＝3，
B＝－2.10
[数学活动]
解：(1)□表示的数为 6，○表示的数为 30.
(2)△表示的数为 n＋1，☆表示的数为 n(n＋1)．
验证：
1
n＋1＋
1
n（n＋1）＝
n
n（n＋1）＋
1
n（n＋1）＝
n＋1
n（n＋1）＝
1
n.
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