1
第 5 章 分式
5．1 分式
知识点 1 分式的概念
如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子
A
B就是分式．分式
A
B中，A 叫做分
子，B 叫做分母．
[注意] 判断一个式子是不是分式，不能把原式变形(如约分)，而只能根据其原始形式判
断．如
x2
x 是分式．π是圆周率，是一个常数，不能看成字母．
1．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
(1)
1
x；(2)－
x
2；(3)
2xy
x＋y；
(4)
2x－x
3 ；(5)
1
4(x2＋1)．
知识点 2 分式有意义的条件
(1)分式
A
B有意义的条件：分母不为零，即当 B≠0 时，分式
A
B有意义．
(2)分式
A
B无意义的条件：分母为零，即当 B＝0 时，分式
A
B无意义．
2. 当 x 取何值时，下列分式有意义？
(1)
x
x－3；(2)
x＋1
x2＋9；(3)
x
|x|－2.
探究 一 掌握分式值为零的条件
教材例 1(2)的拓展题当 x 为何值时，下列分式的值为零？
(1)
2x－1
x＋4 ； (2)
x2－9
x－3 .2
[归纳总结] 分式
A
B的值为零的条件是分子为零，且分母不为零，即当 A＝0 且 B≠0 时，
分式
A
B的值为零．
探究 二 用分式表示实际问题中的数量关系
教材例 2 变式题一辆汽车行驶 a 千米用 b 小时，它的平均车速为________千米/时；
一列火车行驶 a 千米比这辆汽车少用 1 小时，它的平均速度为________千米/时．
[反思] 已知分式
x2－1
x－1 的值为 0，求 x 的值．
解：因为
x2－1
x－1 的值为 0，所以 x2－1＝0.解得 x＝±1.
以上的解答正确吗？若不正确，请改正．3
一、选择题
1．下列式子是分式的是( )
A.
x
2 B.
x
x＋1
C.
x
2＋y D.
x
3
2．若分式
2
a＋1有意义，则 a 的取值范围是( )
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
3．2016·连云港若分式
x－1
x＋2的值为 0，则( )
A．x＝－2 B．x＝0
C．x＝1 D．x＝1 或 x－2
4．若 a＝－1，b＝2，则代数式
ab－b2
a＋b 的值是( )
A．5 B．－5 C．6 D．－6
5．下列说法正确的是( )
A．如果 A，B 都是整式，那么
A
B就是分式
B．只要分式的分子为零，分式的值就为零
C．只要分式的分母为零，分式就无意义
D.
x2
x 不是分式，而是整式
6．下列分式一定有意义的是( )
A.
a2＋1
a2 B.
a－1
a＋2
C.
a－3
a＋3 D.
a2
a2＋1
7．分式
x＋a
2x－1中，当 x＝－a 时，下列结论正确的是( )
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．当 a≠－
1
2时，分式的值为零
D．当 a＝－
1
2时，分式的值为零
8．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费 a 元，之后的每一分钟收费
b 元．如果某人打该长途电话被收费 8 元钱，则此人打长途电话的时间是( )
A.
8－a
b 分钟 B.
8
a＋b分钟4
C.
8－a＋b
b 分钟 D.
8－a－b
b 分钟
二、填空题
9．2016·衢州当 x＝6 时，分式
5
1－x的值等于________．
10．2015·上海如果分式
2x
x＋3有意义，那么 x 的取值范围是________．
11．已知分式
x－3
x2－5x＋a，当 x＝2 时，分式无意义，则 a＝________．
12．当 x＝________时，分式
|x|－2
x－2 的值为 0.
13．在一次射箭比赛中，某运动员有 m 次射中 a 环，有 n 次射中 b 环，则该运动员平均
每次射中的环数是________环．
14．如果从一卷粗细均匀的电线上截取 1 米长的电线，称得它的质量为 a 克，再称得剩
余电线的质量为 b 克，那么原来这卷电线的总长度是________米．
15．有一组数：
1
2，
3
5，
5
10，
7
17，
9
26，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 n(n
为正整数)个数为________．
三、解答题
16．某学校七年级(1)班准备用 m 元班费买奖品发给同学们．若买了单价为 a 元/支的铅
笔 n 支，剩下的钱准备买单价为(a＋b)元/本的笔记本，则共能买多少本笔记本？
17．已知分式
3x－4
（x－1）（x－4）.
求：(1)当 x 为何值时，此分式有意义；
(2)当 x 为何值时，此分式的值为 0；
(3)当 x＝2 时，分式的值．
18．当整数 x 为何值时，分式
2
x－1的值也是整数？
19．已知分式
x－n
x＋m，当 x＝－3 时，该分式没有意义；当 x＝－4 时，该分式的值为 0，
试求(m＋n)2017 的值．5
20．若
|2x|－4
x2－2x－8的值为 0，试求 x 的值．
[规律探究题] 观察如图 5－1－1 的图形(每个正方形的边长均为 1)和相应的等式，探究
其中的规律．
①1×
1
2＝1－
1
2
②2×
2
3＝2－
2
3
③3×
3
4＝3－
3
4
④4×
4
5＝4－
4
5
… …
图 5－1－1
(1)写出第⑤个等式，并在图 5－1－2 给出的五个正方形中画出与之对应的图形；
____________
图 5－1－2
(2)猜想并写出与第 个图形相对应的等式．6
详解详析
教材的地位
和作用
分式是代数式的重要组成部分．学生在学习了整式及其运算、一元一次方
程及其解法之后学习本章内容，符合学生的认知规律．本节所学习的分式的
概念及分式的意义等内容，对后续的学习具有重要作用，是本章学习的基础
知识
与技
能
1.了解分式的概念；
2.了解分式有意义的条件；
3.会用分式表示简单实际问题中的数量关系
过程
与方
法
能用分式表示简单实际问题中的数量关系，体会分式是表示现实世界中数
量关系的一种数学模型
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
培养学生小组合作精神和严谨的思维能力
重点 分式的概念
难点 理解并能确定分式何时有意义，何时无意义教学
重点
难点 易错
点 求分式的值为零的条件时，容易忽略分母不为零的条件
【预习效果检测】
1．[解析] 分式的分母中必须含有字母．
解：属于整式的有(2)(4)(5)，属于分式的有(1)(3)．
2．[解析] 根据分式的概念，分式的分母不能为零，当分母为零时，分式无意义．因此，
当分式的分母不为零时，分式才有意义．
解：(1)当 x－3≠0，即 x≠3 时，分式
x
x－3有意义．
(2)当 x2＋9≠0，即 x 取任意实数时，分式
x＋1
x2＋9有意义．
(3)当|x|－2≠0，即 x≠±2 时，分式
x
|x|－2有意义．
【重难互动探究】
例 1 [解析] 当分式的分子等于零，且分母不等于零时，分式的值等于零．解题时可由
分子等于零求出 x 的值，然后再代入分母检验，看是否使分母等于零．
解：(1)当 2x－1＝0 时，解得 x＝
1
2，
当 x＝
1
2时，x＋4≠0.
所以当 x＝
1
2时，分式
2x－1
x＋4 的值等于零．
(2)当 x2－9＝0 时，x＝3 或 x＝－3.
当 x＝3 时，x－3＝0，分式无意义，舍去．7
当 x＝－3 时，x－3≠0.
所以当 x＝－3 时，分式
x2－9
x－3 的值等于零．
例 2 [答案]
a
b
a
b－1
[解析] 在行程问题中，路程、速度、时间三者之间的关系：路程＝速度×时间．所以，
汽车的平均速度为
a
b千米/时，火车的平均速度为
a
b－1千米/时．
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．改正：因为
x2－1
x－1 的值为 0，所以 x2－1＝0.解得 x＝±1.当 x＝1 时，x－
1＝0，分式无意义；当 x＝－1 时，x－1＝－2，分式有意义，所以 x＝－1.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.C 3.C 4.D
5．[解析] C A 项，只有分母 B 中含有字母，
A
B才是分式．
B 项，分式的值为零还有一个条件：分母≠0.
D 项，
x2
x 的分母中含有字母，所以是分式．
只有 C 项正确．
6．[解析] D 分式一定有意义，即分母不为 0.
A 项，当 a＝0 时，分母为 0.
B 项，当 a＝－2 时，分母为 0.
C 项，当 a＝－3 时，分母为 0.
D 项，因为 a2≥0，所以 a2＋1≥1，分母不可能为 0.故只有 D 项正确．
7．[解析]C 当 x＝－a 时，分母 2x－1＝－2a－1；分子 x＋a＝－a＋a＝0.当 a≠－
1
2时，
－2a－1≠0，此时分式的值为零．故选 C.
8．[解析] C
8－a
b ＋1＝
8－a＋b
b 分钟．
9．[答案] －1
10．[答案] x≠－3
11．[答案] 6
[解析] 由题意可知当 x＝2 时，分母 x2－5x＋a＝22－5×2＋a＝－6＋a＝0，所以 a＝6.
12．[答案] －2
[解析]由分式
|x|－2
x－2 的值为 0 可知|x|－2＝0，于是有 x＝±2，而当 x＝2 时，分式的分
母为 0，分式无意义，所以 x＝－2.
13．[答案]
am＋bn
m＋n
[解析] 平均每次射中的环数＝总环数÷射箭总次数．
14．[答案] (
b
a＋1)8
[解析] 根据 1 米长的电线质量为 a 克，可知剩余电线的质量除以 a 即为剩余电线的长
度．故电线的总长度是(
b
a＋1)米．
15．[答案]
2n－1
n2＋1
16．[解析] 先用准备买奖品的班费减去买铅笔的钱，再除以笔记本的单价，即可求出能
买多少本笔记本．
解：根据题意，知买铅笔共用去 an 元，
所以买笔记本共用(m－an)元，
故共能买
m－an
a＋b 本笔记本．
17．解：(1)当(x－1)(x－4)≠0，即 x≠1 且 x≠4 时，分式有意义．
(2)当 3x－4＝0 且(x－1)(x－4)≠0，即 x＝
4
3时，分式的值为 0.
(3)当 x＝2 时，
3x－4
（x－1）（x－4）＝
3 × 2－4
（2－1）（2－4）＝
2
－2＝－1.
18．解：由题意，得 x－1 的值为±1，±2，
则 x 的值为 2，0，－1，3.
所以当整数 x 的值为 2，0，－1，3 时，分式
2
x－1的值也是整数．
19．解：由题意，得 m＝3，n＝－4，则(m＋n)2017＝[3＋(－4)]2017＝(－1 )
2017
＝－1.
20．解：由|2x|－4＝0，可知|2x|＝4，
所以 2x＝±4，所以 x＝±2.
当 x＝2 时，x2－2x－8＝4－4－8＝－8≠0；
当 x＝－2 时，x2－2x－8＝4＋4－8＝8－8＝0.
所以 x 的值为 2.
[数学活动]
[解析] (1)根据等式所反映的规律，不难得出第⑤个等式．画图也是根据图形中所反映
出的规律进行．
(2)通过归纳上述等式，发现等式左边前面的一个因数是连续的整数，而后面的因数则是
一个分数，其分子与前面的因数相同，分母比分子大 1.
解：(1)5×
5
6＝5－
5
6，所画图形如图所示．
(2)n×
n
n＋1＝n－
n
n＋1.
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