1
3.7 整式的除法
知识点 1 单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字
母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1．计算：
(1)(－
3
5x2y3)÷(3x2y)；
(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc)；
(3)(2a＋b)4÷(2a＋b)2.
知识点 2 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
即(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m(m≠0)．
2．计算：
(1)(6ab＋8b)÷(2b)；
(2)(21m3－28m2＋35m)÷(7m)；
探究 一 整式的乘除法的混合运算
计算：(1) 5a2b÷(－
1
3ab)·(2ab2)；
(2)[x(3－4x)＋2x2(x－1)]÷(－2x)．2
[归纳总结] (1)对于单项式乘除的混合运算应注意运算顺序．
(2)多项式除以单项式所得商的项数等于被除式的项数．
(3)多项式除以单项式所得商的各项符号，当除式的系数为正数时，与被除式各项对应的
符号相同；当除式的系数为负数时，与被除式各项对应的符号相反．
探究 二 应用整式除法解决实际问题
教材补充题在 1610 年，意大利天文学家伽利略观测到在土星的球状本体旁有奇怪
的附属物．在空间探测以前，从地面观测得知土星环有五个，其中包括三个主环(A 环，B 环，
C 环)和两个暗环(D 环，E 环)．其中 A 环的内半径为 1.215×105 公里，外半径为 1.37×105
公里；B 环的内半径为 9.15×104 公里，外半径为 1.165×105 公里，环的宽度＝外半径－内
半径，则 A 环的宽度是 B 环的多少倍？
[反思] 小明做一多项式除以
1
2a 的作业时，由于粗心，误以为乘
1
2a，结果得到 8a4b－4a3
＋2a2.你知道正确的结果是多少吗？3
一、选择题
1．计算 6m3÷(－3m2)的结果是( )
A．－3m B．－2m C．2m D．3m
2．已知(8a3bm)÷(28anb2)＝
2
7b2，则 m，n 的值为( )
A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝1
C．m＝1，n＝3 D．m＝2，n＝3
3．当 a＝
3
4时，代数式(28a3－28a2＋7a)÷(7a)的值是( )
A．6.25 B．0.25 C．－2.25 D．－4
4．已知 6x3y5 与一个多项式的积为 24x3y7－18x5y5＋2x·(6x3y3)2，则这个多项式为( )
A．4y2－3x2 B．4xy2－3x2y
C．4y2－3x2＋12x4y D．4y2－3x2＋6x3y
5．2016·聊城地球的体积约为 1012 立方千米，太阳的体积约为 1.4×1018 立方千米，地
球的体积约是太阳体积的( )
A．7.1×10－6 倍 B．7.1×10－7 倍
C．1.4×106 倍 D．1.4×107 倍
二、填空题
6．计算：(1)28m6n4p÷__________＝－4m2n2；
(2)__________÷(xy)2＝－
3
4xy2z.
7．计算：3a3·a2－2a7÷a2＝________.
8．已知 a＝1.6×109，b＝4×103，则 a2÷2b 的值为____________．
9．定义 a⊗b＝(a2b＋ab＋ab2)÷ab，其中 a，b 都不为零，则 2⊗(3⊗4)＝________．
三、解答题
10．计算：
(1)(21a3－7a2＋14a)÷(7a)；
(2)(2ax)2·(－
2
5a4x3y3)÷(－
1
2a5xy2).
11．已知 x－
1
2y＝5，求式子[(x2＋y2)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷2y 的值．
12．已知一个长方形的面积为 4a2－6ab＋2a，若它的一边长为 2a，则它的周长是多少？4
13．光的速度大约为 3×108 米/秒，地球与太阳的距离大约为 1.5×1011 米．那么，太阳
光从发出到照射到地球上需要多长时间？
[阅读理解题] 阅读下列材料：因为(x－1)(x＋4)＝x2＋3x－4，所以(x2＋3x－4)÷(x－
1)＝x＋4，这说明 x2＋3x－4 能被(x－1)整除，同时也说明多项式 x2＋3x－4 有一个因式为(x
－1)；另外，当 x＝1 时，多项式 x2＋3x－4 的值为 0.
(1)根据上面的材料猜想：多项式的值为 0，多项式有一个因式为(x－1)，多项式能被(x
－1)整除，这之间存在着一种什么样的联系？
(2)探求规律：一般地，如果有一个关于字母 x 的多项式 M，当 x＝k 时，M 的值为 0，那
么 M 与代数式 x－k 之间有何种关系？
(3)应用：已知 x－3 能整除 x2＋kx－15，求 k 的值．
详解详析5
教材的地位
和作用
在学生学习了整式乘法和同底数幂的除法法则之后安排整式的除法，是对
整式乘法和同底数幂除法法则的复习，同时又在此基础上拓展学习了新的知
识．教材中对整式的除法较以前版本有所弱化，因此应适当控制运算的难度
知识
与技
能
1.掌握单项式除以单项式的运算法则；
2.掌握多项式除以单项式的运算法则；
3.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式以及简单的乘除混合运算
过程
与方
法
明确单项式除以单项式、多项式除以单项式运算的算法，培养学生有条理
的分析能力
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
经历单项式除以单项式的运算法则的探索过程，体会合情推理在数学学习
中的地位和作用，进一步感受转化思想的广泛应用
重点 单项式除以单项式的运算法则和多项式除以单项式的运算法则
难点 理解单项式除以单项式的运算法则的导出过程教学
重点
难点 易错
点 在多项式除以单项式时容易漏项和出现符号错误
【预习效果检测】
1．[解析] 对于(1)(2)题直接根据单项式除以单项式法则运算即可．(3)中应把(2a＋b)
看成一个整体来运用单项式除以单项式法则计算，不可将(2a＋b)2 展开．
解：(1)原式＝(－
3
5 ÷ 3)·x2－2y3－1＝－
1
5y2.
(2)原式＝(10÷5)a4－3b3－1c2－1＝2ab2c.
(3)原式＝(2a＋b)4－2＝(2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2.
2．[解析] 本例都可直接应用多项式除以单项式法则进行计算．
解：(1)原式＝6ab÷(2b)＋8b÷(2b)
＝3a＋4.
(2)原式＝21m3÷(7m)－28m2÷(7m)＋35m÷(7m)
＝3m2－4m＋5.
【重难互动探究】
例 1 解：(1)原式＝[5÷(－
1
3 )×2]a2－1＋1·b1－1＋2＝－30a2b2.
(2)原式＝(3x－4x2＋2x3－2x2)÷(－2x)
＝2x3÷(－2x)－6x2÷(－2x)＋3x÷(－2x)
＝－x2＋3x－
3
2.
例 2 解：根据环的宽度的算法，A 环的宽度为 1.37×105－1.215×105＝1.55×104(公
里)，B 环的宽度为 1.165×105－9.15×104＝2.5×104(公里)，则 A 环的宽度是 B 环宽度的
(1.55×104)÷(2.5×104)＝0.62(倍)．
【课堂总结反思】
[反思] (8a4b－4a3＋2a2)÷(1
2a ) 2
＝32a2b－16a＋8.6
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 6m3÷(－3m2)＝[6÷(－3)]·(m3÷m2)＝－2m.
2．A 3.B
4．[解析] C 根据已知条件转化为多项式除以单项式来求解．
[24x3y7－18x5y5＋2x·(6x3y3)2]÷6x3y5
＝(24x3y7－18x5y5＋72x7y6)÷6x3y5
＝4y2－3x2＋12x4y.
5．B
6．[答案] (1)(－7m4n2p) (2)(－
3
4x3y4z)
[解析] 根据“除式＝被除式÷商式”“被除式＝商式×除式”计算，28m6n4p÷(－4m2n2)
＝－7m4n2p，(xy)2·(－
3
4xy2z)＝x2y2·(－
3
4xy2z)＝－
3
4x3y4z.
7．[答案] a5
8．[答案] 3.2×1014
9．[答案] 11
[解析] a⊗b＝(a2b＋ab＋ab2)÷ab＝a＋1＋b.
故 2⊗(3⊗4)＝2⊗(3＋1＋4)＝2⊗8＝2＋8＋1＝11.
10．(1)3a2－a＋2 (2)
16
5 ax4y
11．解：原式＝(4xy－2y2)÷2y＝2x－y.
∵x－
1
2y＝5，
∴原式＝2(x－
1
2y)＝10.
12．解：长方形的另一边长为(4a2－6ab＋2a)÷2a＝2a－3b＋1，所以长方形的周长为
2(2a－3b＋1＋2a)＝8a－6b＋2.
13．解：设太阳光从发出到照射到地球上需要 t 秒，
则 t·3×108＝1.5×1011.
解得 t＝500.
答：太阳光从发出到照射到地球上需要 500 秒．
[数学活动]
解：(1)若多项式有一个因式为(x－1)，则 x－1＝0，即 x＝1 时，多项式的值为 0；若多
项式有一个因式为(x－1)，则多项式必能被(x－1)整除．
(2)多项式 M 能被(x－k)整除．
(3)由 x－3＝0 得 x＝3，且 x－3 能整除 x2＋kx－15，
∴当 x＝3 时，多项式 x2＋kx－15 的值为 0，
即 32＋3k－15＝0，
∴k＝2.
微信/支付宝扫码支付