1
第 2 章 二元一次方程组
2．2 二元一次方程组
知识点 1 二元一次方程组
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．
[注意] 二元一次方程组需满足的条件：①含有两个未知数；②两个方程都是一次方
程．
1．下列方程组中哪些是二元一次方程组，哪些不是？
(1){2x＋3y＝5，
－5x－7y＝1； (2){x＋
1
y＝2，
y－x＝3；
(3){3x－2y＝0，
y＋2z＝7； (4){x＝3，
y＝4.
知识点 2 二元一次方程组的解
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解．
2．判断下列各组数是不是二元一次方程组{2x＋y＝2，
－x＋y＝5 的解．
(1){x＝1，
y＝6； (2){x＝－1，
y＝4.
探究 一 二元一次方程组的解
教材做一做第 2 题变式题在下列每个二元一次方程组的后面都给出了 x，y 的一对
值，试判断这对数值是不是它前面方程组的解：
(1){3x＋4y＝2，
2x－y＝5； {x＝2，
y＝－1.
(2){x＋5y＝6，
3x－6y＝－1； {x＝1，
y＝1.
(3){5x＋2y＝－15，
8x＋3y＝1. {x＝47，
y＝－125.2
[归纳总结] (1)已知二元一次方程组的解，可将其代入方程组中求待定字母的值．
(2)方程组中每一个二元一次方程都有无数组解，二元一次方程组的解是这两个方程的公
共解．
(3)二元一次方程组的解的记法：用大括号将同时满足二元一次方程组中各个方程的一对
未知数的值上下排列．如：{x＝2，
y＝－1是方程组{x＋2y＝0，
2x－y＝5 的解．
探究 二 利用二元一次方程组解决代数式的求值问题
教材补充题已知|2x－6|＋(x＋y＋1)2＝0，求 x＋2y 的值．
探究 三 初步利用二元一次方程组探索实际问题
教材例题变式题甲种饮料每瓶 3 元，乙种饮料每瓶 4 元，某人买了 x 瓶甲种饮料，
y 瓶乙种饮料，共花了 34 元．
(1)列出关于 x，y 的二元一次方程；
(2)如果甲、乙两种饮料共买了 9 瓶，列出关于 x，y 的二元一次方程组，并求出它的
解．
[归纳总结] 利用列表法解二元一次方程组的一般步骤：①先估算一个未知数的范围，然
后从小到大取数；②根据已确定的未知数的值，求对应的另一未知数的值；③检验所得未知
数的值，同时符合方程组中两个方程的未知数的值就是方程组的解．
[反思] 判断{x＝3，
y＝－5是不是二元一次方程组{4x＋2y＝2，
x＋y＝－1 的解．3
一、选择题
1．下列方程组属于二元一次方程组的是( )
A.{x＋y＝1，
x－2y＝－1 B.{xy＝1，
x＋y＝2
C.{x＋y＝3，
z＋3＝1 D.{x＋y＝5，
y2－1＝0
2．已知下面三组数值：①{x＝－1，
y＝－2；②{x＝2，
y＝4；③{x＝0，
y＝6. 其中是方程组{2x－y＝0，
x＋y＝6 的解
的是( )
A．① B．② C．③ D．都不是4
3．已知{x＝－1，
y＝2 是关于 x，y 的二元一次方程组{3x＋2y＝m，
nx－y＝1 的解，则 m－n 的值是
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知两数 x，y 之和是 10，x 比 y 的 3 倍大 2，则下面所列方程组正确的是( )
A.{x＋y＝10，
y＝3x＋2 B.{x＋y＝10，
y＝3x－2
C.{x＋y＝10，
x＝3y＋2 D.{x＋y＝10，
x＝3y－2
二、填空题
5．在①{x＝2，
y＝1，②{x＝1，
y＝1，③{x＝－1，
y＝4 三对数值中，________是方程 x＋y＝3 的解，
________是方程 3x＋2y＝5 的解，________是方程组{x＋y＝3，
3x＋2y＝5的解．(填序号)
6．已知 y＝kx＋b，当 x＝1 时，y＝4；当 x＝
1
4时，y＝5，则可得到关于 k，b 的一个二
元一次方程组：
________________________．
7．写出一个二元一次方程组：________，使它的解为{x＝2，
y＝3.
8．某数学兴趣小组的同学分一批练习本，若每人分 6 本，则少 6 本；若每人分 5 本，则
多 5 本，若设一共有 x 位同学，y 本练习本，则得到的方程组是____________．
9．已知{x＝－1，
y＝3 是关于 x，y 的方程组{2x－ay＝7，
bx＋3y＝－4的解，则代数式－5a＋2b＋2017
的值是________．
三、解答题
10．已知方程：①y＝4x＋2，②2x－3y＝4.
(1)根据方程①填写下表：
x 2 1 0 －1 －2
y
(2)根据方程②填写下表：
x 2 1 0 －1 －2
y
(3)根据以上两表中的数据，求方程组{2x－3y＝4，
y＝4x＋2 的解．
11．用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树 3 周，则绳子还多 4 尺；若环绕大树 4 周，
则绳子又少了 3 尺，这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？(只列方程组，不求解)5
12．已知关于 x，y 的二元一次方程组{mx＋y＝0，
x＋ny＝3 的解是{x＝1，
y＝－2，求 m＋n 的值．
[实践操作题] 某班学生植树，若每人植 7 棵树，则剩 5 棵树；若每人植 8 棵树，则有 1
人少植 1 棵树，问有多少学生植树，有多少棵树？
(1)假设有 x 名学生植树，有 y 棵树．请列出关于这个问题的二元一次方程组；
(2)用列表尝试的方法求出有多少名学生植树，有多少棵树．
详解详析
教材的地位
和作用
本节课是在学生学习了二元一次方程的基础上，通过用天平直观形象的展示，
抽象出二元一次方程组的概念，体会方程组的模型思想，进一步让学生体会
从实际问题中抽象出数学问题，培养学生良好的数学应用意识，为进一步学
习二元一次方程组的解法奠定基础
知识
与技
能
1.了解二元一次方程组的概念；
2.理解二元一次方程组的解的概念；
3.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解
过程
与方
法
1.提高把实际问题抽象成数学模型的能力；
2.通过尝试求解，培养学生的探索能力
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
1.培养学生细致、认真的学习态度；
2.在积极的教学评价中，促进师生的情感交流
重点 二元一次方程组及其解的概念
难点 尝试用列表的方法求出方程组的解教学
重点
难点 易错
点
对二元一次方程组的概念理解不透彻，导致识别二元一次方程组时出现误
判
【预习效果检测】
1．[解析] 二元一次方程组是指含有两个未知数，由两个一次方程组成的方程组．只要
抓住方程组中是否共有两个未知数，且每个方程为一次方程即可．6
解：(2)中第一个方程不是一次方程，(3)中共有三个未知数，不是二元一次方程组；
(1)(4)是二元一次方程组．
2．[解析] 设{2x＋y＝2，①
－x＋y＝5，②将每组数值代入方程组中的每个方程，既满足方程①，又
满足方程②的就是此方程组的解．
解：设{2x＋y＝2，①
－x＋y＝5.②
(1)将{x＝1，
y＝6 代入方程①，因为左边＝2×1＋6＝8，右边＝2，左边≠右边，所以{x＝1，
y＝6
不是方程①的解，因此{x＝1，
y＝6 不是方程组的解．
(2)将{x＝－1，
y＝4 代入方程①，因为左边＝2×(－1)＋4＝2，右边＝2，左边＝右边，所以
{x＝－1，
y＝4 是方程①的解．
将{x＝－1，
y＝4 代入方程②，左边＝－(－1)＋4＝5，右边＝5，左边＝右边，所以{x＝－1，
y＝4
是方程②的解．所以{x＝－1，
y＝4 是方程组的解．
【重难互动探究】
例 1 解：把每个二元一次方程组后面给出的 x，y 的一对值，分别代入原方程组检验可
知，(1)是前面方程组的解，(2)不是前面方程组的解，(3)是前面方程组的解．
例 2 解：因为|2x－6|和(x＋y＋1)2 的值都是非负数，所以 2x－6＝0，x＋y＋1＝0.
由 2x－6＝0，解得 x＝3.
由 x＋y＋1＝0，解得 y＝－4.
则 x＋2y＝3－4×2＝－5.
例 3 [解析] (1)相等关系为 x 瓶甲种饮料的费用＋y 瓶乙种饮料的费用＝总费用 34 元；
(2)探求二元一次方程组的解可用列表法．
解：(1)3x＋4y＝34.
(2)根据题意列出关于 x，y 的二元一次方程组为{x＋y＝9，
3x＋4y＝34.因为 x，y 均为正整数，可
列表探求方程 x＋y＝9 的解．
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 8 7 6 5 4 3 2 1
探求方程 3x＋4y＝34 的解．因为 34，4y 均为偶数，所以 3x 也为偶数，即 x 只可取
偶数，列表如下：
x 2 4 6 8
y 7 × 4 ×
因此方程组的解为{x＝2，
y＝7.
【课堂总结反思】
[知识框架]
一 两7
[反思] {x＝3，
y＝－5不是二元一次方程组{4x＋2y＝2，
x＋y＝－1 的解．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] A 本题判断的根据是二元一次方程组的定义，B 项，第一个方程不是一次方
程．C 项，共有三个未知数．D 项，第二个方程不是一次方程．A 项，符合二元一次方程组的
定义．故选 A.
2．[解析] B 判断一组数值是不是方程组的解，只需把这组数值代入方程组，若能满足
方程组的每一个方程，则这组数值是方程组的解，否则不是方程组的解．
3．[解析] D 将 x 与 y 的值代入方程组求出 m 与 n 的值，即可求出 m－n 的值．
4．C
5．[答案] ①③ ②③ ③
6．[答案] {k＋b＝4，
1
4k＋b＝5
[解析] 只要将 x，y 的取值代入已知等式中，即可得到关于 k，b 的一个二元一次方程组
{k＋b＝4，
1
4k＋b＝5.
7．[答案] {x＋y＝5，
x－y＝－1(答案不唯一)
8．[答案] {6x＝y＋6，
5x＝y－5
9．[答案] 2058
10．解：(1)如下表所示．
x 2 1 0 －1 －2
y 10 6 2 －2 －6
(2)如下表所示．
x 2 1 0 －1 －2
y 0 －
2
3 －
4
3 －2 －
8
3
(3)根据两表中的数据可以看出，x＝－1，y＝－2，这组数据既满足方程①又满足方程
②，所以方程组{2x－3y＝4，
y＝4x＋2 的解是{x＝－1，
y＝－2.
11．解：设环绕大树一周需要 x 尺，这根绳子长 y 尺，则{3x＋4＝y，
4x－3＝y.
12．解：∵{x＝1，
y＝－2是二元一次方程组{mx＋y＝0，
x＋ny＝3 的解，
∴{m－2＝0，
1－2n＝3，解得{m＝2，
n＝－1，
∴m＋n＝1.
[数学活动]
解：(1)根据题意，得8
{7x＋5＝y，
8x－1＝y.
(2)根据方程组及 x，y 都是正整数的特点，可列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7
y＝7x＋5 12 19 26 33 40 47 54
y＝8x－1 7 15 23 31 39 47 55
显然 x＝6，y＝47 满足这个方程组，即方程组的解是{x＝6，
y＝47.
答：有 6 名学生植树，有 47 棵树.
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