1
5.5 分式方程
第 1 课时 分式方程及其解法
知识点 1 分式方程的定义
只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
1．下列方程中，哪些是整式方程？哪些是分式方程？
(1)
x－4
0.2 －
x＋3
0.5 ＝1.6；(2)2－
6－x
2 ＝2x；
(3)
8
x2－1＋1＝
x＋8
x－1；(4)x＋3＋
1
x＋1＝4＋
1
x－1.
知识点 2 解分式方程
解分式方程的步骤：(1)分式方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；(2)
解这个整式方程，得出未知数的值；(3)检验所得到的值是不是原分式方程的根；(4)写出答
案．
使分式方程的分母为零的根是增根，增根使分式方程无意义，应该舍去．
[注意] 检验是解分式方程的一个十分重要的步骤，切不可省略．
2．解分式方程
2
x－3＝
3
x的步骤：
(1)去分母，方程两边同乘________，得整式方程____________；
(2)解这个整式方程，得 x＝________；
(3)检验：把 x＝________代入最简公分母 x(x－3)，得 x(x－3)________(填“＝0”或
“≠0”)，所以 x＝________是原分式方程的解．
探究 一 解分式方程
[教材例 2 变式题] 解下列方程：
(1)
2
x＝
3
x＋1；
(2)
x
3x－1＝2－
1
1－3x；
(3)
x
x－1－
2
x2－1＝1.
[归纳总结] 解分式方程时，要注意以下几点：
①不要忘记验根；②去分母时不要漏乘整式项；③当分式的分子是多项式时，去分母后
不要忘记添括号．2
探究 二 利用分式方程的增根求字母系数的值
[教材例题补充题] 若关于 x 的分式方程
2
x－3＋
x＋m
3－x＝2 有增根，则 m 的值是( )
A．m＝－1 B．m＝0
C．m＝3 D．m＝0 或 m＝3
[归纳总结] 利用分式方程的增根求待定字母的值，可按如下步骤进行：(1)先将分式方
程转化为整式方程；(2)令最简公分母为 0 确定增根；(3)将增根代入所得的整式方程，求出
待定字母的值．
探究 三 利用分式方程根的取值范围确定字母系数的取值范围
[教材例题补充题] [2015·荆州] 若关于 x 的分式方程
m－1
x－1＝2 的解为非负数，则 m
的取值范围是( )
A．m>－1 B．m≥1
C．m>－1 且 m≠1 D．m≥－1 且 m≠1
[归纳总结] 确定根的取值范围时，要去掉使分式方程产生增根的情况．
[反思] 下面是小马虎同学解分式方程的步骤，你认为他的解法正确吗？如果不正确，请
指出错在哪里，然后写出正确答案．
解方程：
2x
2x－1＝1－
2
x＋2.
解：原方程可化为
2x
2x－1＝
x＋2
x＋2－
2
x＋2，
即
2x
2x－1＝
x
x＋2.
方程两边约去 x，得
2
2x－1＝
1
x＋2.
去分母，得 2x＋4＝2x－1.
所以此方程无解．3
一、选择题
1．在方程
x＋5
3 ＝7，－
3
x＝2，
x＋1
2 －
x－1
3 ＝4，
3x－9
x ＝1 中，分式方程有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
2．把分式方程
2
x＋4＝
1
x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
3．2015·济宁解分式方程
2
x－1＋
x＋2
1－x＝3 时，去分母后正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
4．若 x＝3 是关于 x 的分式方程
a－2
x －
1
x－2＝0 的根，则 a 的值是( )
A．5 B．－5 C．3 D．－3
5．[2015·常德] 分式方程
2
x－2＋
3x
2－x＝1 的解为( )
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝
1
3 D．x＝0
6．分式方程
1
x－1－
2
x＋1＝
4
x2－1的解是( )
A．x＝0 B．x＝－1
C．x＝±1 D．无解
7．下列分式方程中，有解的是( )
A.
x＋1
x2－1＝0 B.
x2＋1
x－1 ＝0
C.
x＋1
x－1＝1 D.
（x－1）2
x－1 ＝1
8．对于非零的两个实数 a，b，规定 ab＝
1
b－
1
a.若 1(x＋1)＝1，则 x 的值为( )
A.
3
2 B.
1
3 C.
1
2 D．－
1
2
二、填空题
9．解分式方程
1
x－1－
1
x＋1＝
1
x2－1去分母时，两边都乘______________．
10．2016·湖州方程
2x－1
x－3 ＝1 的根是 x＝________．4
11．若关于 x 的分式方程
2（x－a）
a（x－1）＝－
2
5的解为 x＝3，则 a 的值为________．
12．已知关于 x 的方程
a
x＋1－
3
x2－1＝1 有增根，则 a 的值等于________．
三、解答题
13．解分式方程：
(1)2016·连云港解方程：
2
x－
1
1＋x＝0；
(2)2016·绍兴解分式方程：
x
x－1＋
2
1－x＝4.
14．是否存在实数 x，使得代数式
x－2
x＋2－
16
x2－4的值与代数式 1＋
4
x－2的值相等？
15．若关于 x 的分式方程
ax
a＋1－
2
x－1＝1 的解与方程
x＋4
x ＝3 的解相同，求 a 的值．
16．当 k 取何值时，关于 x 的分式方程
6
x－1＝
x＋k
x（x－1）－
3
x有解？
17．若关于 x 的分式方程
x－m
x－1－
3
x＝1 无解，求 m 的值．5
1．[规律探索题] 已知：
1
1 × 2＝1－
1
2，
1
2 × 3＝
1
2－
1
3，
1
3 × 4＝
1
3－
1
4，…
(1) 根 据 这 个 规 律 写 出 第 n 个 式 子 是
________________________________________________________________________；
(2)利用这个规律解方程：
1
x（x＋1）＋
1
（x＋1）（x＋2）＋…＋
1
（x＋9）（x＋10）＝
1
x＋10.
2.阅读下面一段话：
关于 x 的分式方程 x＋
1
x＝c＋
1
c的解是 x＝c 或 x＝
1
c；
关于 x 的分式方程 x＋
2
x＝c＋
2
c的解是 x＝c 或 x＝
2
c；
关于 x 的分式方程 x＋
3
x＝c＋
3
c的解是 x＝c 或 x＝
3
c；
…
(1)写出方程 x＋
1
x＝
5
2的解：________；
(2)猜想关于 x 的分式方程 x＋
m
x＝c＋
m
c(m≠0)的解，并将所得解代入方程检验．
详解详析6
教材的地位
和作用
本节是在学生认识和学习了分式及其基本运算的基础上介绍分式方程的
解法，符合学生的认知规律．通过对本节内容的学习，能让学生体验转化这
一重要的数学思想，同时，本节课的学习将为下一节课的学习打下基础
知识
与技
能
1.了解分式方程的概念和增根的概念；
2.掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会对分式
方程进行根的检验
过程
与方
法
通过分式方程的求解过程，初步体会数学研究中的转化思想
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问
题的进取心，体会数学的应用价值
重点 解可化为一元一次方程的分式方程
难点 增根的概念和对验根必要性的理解教学
重点
难点 易错
点 解分式方程的过程中容易忘记检验
【预习效果检测】
1．[解析] 分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数．
解：(1)(2)是整式方程，(3)(4)是分式方程．
2．(1)x(x－3) 2x＝3(x－3) (2)9
(3)9 ≠0 9
【重难互动探究】
例 1 [解析] 首先确定各分母的最简公分母，然后去分母，解整式方程．
解：(1)方程两边同时乘 x(x＋1)，得 2(x＋1)＝3x，解得 x＝2.经检验，x＝2 是原分式
方程的解．
(2)方程两边同时乘(3x－1)，得 x＝2(3x－1)＋1，解得 x＝
1
5.经检验，x＝
1
5是原分式方
程的解．
(3)方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得
x(x＋1)－2＝(x－1)(x＋1)．
去括号，得 x2＋x－2＝x2－1.
移项、合并同类项，得 x＝1.
检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋1)＝0，
所以 x＝1 是原分式方程的增根．
所以原方程无解．
例 2 A [解析] 方程两边都乘(x－3)，得 2－x－m＝2(x－3)．因为分式方程有增根，
所以 x＝3，所以 2－3－m＝2(3－3)，解得 m＝－1.故选 A.
例 3 D [解析] 去分母，得 m－1＝2x－2，解得 x＝
m＋1
2 .由题意得
m＋1
2 ≥0 且
m＋1
27
≠1.解得 m≥－1 且 m≠1.故选 D.
【课堂总结反思】
[反思] 小马虎的解答不正确，错在“方程两边约去 x”这一步．
正解：原方程可化为
2x
2x－1＝
x
x＋2.
去分母，得 2x(x＋2)＝x(2x－1)．
去括号，得 2x2＋4x＝2x2－x.
解得 x＝0.
经检验，x＝0 是原方程的解．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 方程－
3
x＝2 和
3x－9
x ＝1 中的分母含有未知数，是分式方程．故选 B.
2．D 3.D 4.A 5.A 6.D
7．[解析]D 选项 A 中，当 x＋1＝0 时，x＝－1，而当 x＝－1 时，分母的值等于 0，所
以该方程无解；选项 B 中，因为 x 取任意值，x2＋1≥0 恒成立，所以方程无解；选项 C 中，
因为 x 取任意值，x＋1 的值总不等于 x－1 的值，所以分式
x＋1
x－1的值总不等于 1，方程无解；
选项 D 中，方程的解为 x＝2.
8．[解析] D 由规定知，1(x＋1)＝1 可化为
1
x＋1－1＝1，即
1
x＋1＝2，解得 x＝－
1
2.∵－
1
2＋1≠0，∴符合条件．故选 D.
9．[答案] (x＋1)(x－1)
10．[答案] －2
11．[答案] 5
[解析] 因为关于 x 的方程
2（x－a）
a（x－1）＝－
2
5的解为 x＝3，所以
2（3－a）
a（3－1）＝－
2
5，即
3－a
2a ＝
－
1
5.解这个方程得 a＝5.经检验，a＝5 满足题意．
12．[答案] －
3
2
[解析] 方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得
a(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．
∵原方程有增根，
∴最简公分母(x＋1)(x－1)＝0，
∴增根是 x＝1 或 x＝－1.
当 x＝－1 时，a＝－
3
2；
当 x＝1 时，a 无解．
13．(1)x＝－2 (2)x＝
2
3
14．解： 根据题意，得
x－2
x＋2－
16
x2－4＝1＋
4
x－2，8
去分母，得(x－2)2－16＝x2－4＋4(x＋2)，
去括号，得 x2－4x＋4－16＝x2－4＋4x＋8，
移项、合并同类项，得 8x＝－16，
解得 x＝－2.
经检验，x＝－2 是原方程的增根，故原分式方程无解．
所以不存在满足条件的实数 x.
15．解：由
x＋4
x ＝3，得 x＝2.
∵关于 x 的分式方程
ax
a＋1－
2
x－1＝1 的解与方程
x＋4
x ＝3 的解相同，
∴把 x＝2 代入方程
ax
a＋1－
2
x－1＝1 中，
得
2a
a＋1－
2
2－1＝1，
即
2a
a＋1＝3，
解得 a＝－3.
经检验，a＝－3 是方程
2a
a＋1－
2
2－1＝1 的根，
∴a＝－3.
16．解：
6
x－1＝
x＋k
x（x－1）－
3
x，
方程两边同乘 x(x－1)，得
6x＝x＋k－3(x－1)，
∴k＝8x－3.
∵原分式方程有解，
∴x≠0 且 x－1≠0，即 x≠0 且 x≠1
∴8x－3≠3 且 8x－3≠5，
∴当 k≠－3 且 k≠5 时，原分式方程有解．
17．解：去分母，得 x(x－m)－3(x－1)＝x(x－1)，－mx－3x＋3＝－x，
整理，得(2＋m)x－3＝0.
∵关于 x 的分式方程
x－m
x－1－
3
x＝1 无解，
∴x＝1 或 x＝0.
当 x＝1 时，2＋m－3＝0，解得 m＝1.
当 x＝0 时，－3＝0，无解．
当 2＋m＝0 时，方程(2＋m)x－3＝0 无解，此时 m＝－2.
∴m＝1 或 m＝－2.
[数学活动]
1．解：(1)
1
n（n＋1）＝
1
n－
1
n＋1
(2)原方程可化为(1
x－
1
x＋1)＋( 1
x＋1－
1
x＋2)＋…＋( 1
x＋9－
1
x＋10)＝
1
x＋10，9
即
1
x－
1
x＋10＝
1
x＋10，解得 x＝10.
当 x＝10 时，原分式方程的最简公分母不为 0.
所以 x＝10 是原分式方程的解．
2．解：(1)方程 x＋
1
x＝
5
2可化为 x＋
1
x＝2＋
1
2，可得该方程的解为 x＝2 或 x＝
1
2.
(2)猜想：方程的解为 x＝c 或 x＝
m
c.分别将 x＝c 和 x＝
m
c代入原方程可得方程的左边＝右
边，故方程 x＋
m
x＝c＋
m
c(m≠0)的解为 x＝c 或 x＝
m
c.
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