1
5.4 分式的加减
第 1 课时 同分母分式的加减
知识点 1 同分母分式的加减运算
同分母的分式相加减，分式的分母不变，把分子相加减，即
a
c±
b
c＝
a ± b
c .
1．计算：
(1)
1
a＋
3
a； (2)
a－2
a＋1－
2a－3
a＋1 .
知识点 2 分母互为相反数的分式的加减
当分式的分母互为相反数时，可先利用符号法则将其化为同分母的分式，然后再进行同
分母分式的加减运算．
2．计算：
x
x－y－
y
y－x.
探究 体验同分母分式的加减运算在化简求值中的应用
教材例 2 变式题先化简，再求值：
x＋2y
x2－y2＋
y
y2－x2－
2x
x2－y2，其中 x＝13，y＝12.
[归纳总结] 在进行分式的化简求值时，应先化简再代入求值，这样可以简化运算过
程．2
[反思] 判断下面同分母分式的加减运算过程是否正确，若不正确，请写出正确的运算过
程．
2x－1
x2＋1－
3－x
x2＋1＝
2x－1－3－x
x2＋1 ＝
x－4
x2＋1.3
一、选择题
1．计算
1
a－1－
a
a－1的结果为( )
A.
1＋a
a－1 B．－
a
a－1
C．－1 D．1－a
2．化简
a2
a－b－
b2
a－b的结果是( )
A．a＋b B．a－b
C．a2－b2 D．1
3．化简
x2
x－1＋
x
1－x的结果是( )
A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x
4．计算
2b
a－b－
2a
b－a＋
a＋b
b－a的结果是( )
A．1 B.
a＋b
b－a C.
a＋b
a－b D．－1
5．下列各式中，与
x
x－y相加得 0 的是( )
A.
y
x－y B.
－x
x－y C.
－y
x－y D.
x
x－y
6．2015·山西化简
a2＋2ab＋b2
a2－b2 －
b
a－b的结果是( )
A.
a
a－b B.
b
a－b
C.
a
a＋b D.
b
a＋b
7．当 m≠0 且 m－7n＝0 时，计算
m2
m2＋mn－
n2
m2＋mn的结果为( )
A.
1
7 B.
6
7 C．1 D．7
二、填空题
8．化简
x
（x－1）2－
1
（x－1）2的结果是________．
9．2016·临沂计算：
a2
a－1＋
1
1－a＝________．4
10．与分式
m2
（m－n）2的和等于
m2＋1
（m－n）2的分式是________．
11．若
x
y＝2，则
x2－1
xy －
y2－1
xy ＝________．
三、解答题
12．分析下面的计算过程是否正确，若不正确，请改正．
x＋y
2x－3y－
3y－x
2x－3y＋
y－2x
2x－3y
＝
x＋y－3y－x＋y－2x
2x－3y
＝
－y－2x
2x－3y
＝－
2x＋y
2x－3y.
13．计算：(1)
a2
（a－b）2－
b2
（b－a）2； (2)
2x－3
x2－4－
－x＋5
4－x2 .
14．2016·山西先化简，再求值：
2x2－2x
x2－1 －
x
x＋1，其中 x＝－2.
15．先化简
x2
x－1＋
1
1－x，再选取一个你喜欢的数代入求值．
16．从甲地到乙地有两条路，每条路都有 6 km，其中第一条路是平路，第二条路有 3 km
的上坡路，3 km 的下坡路．小丽在上坡路上的骑车速度为 v km/h，在平路上的骑车速度
为 2v km/h，在下坡路上的骑车速度为 3v km/h.
(1)当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多长时间？
(2))她走哪条路花费的时间少？少多长时间？5
[创新题]已知 P＝
a2＋b2
a2－b2，Q＝
2ab
a2－b2，用“＋”或“－”连接 P，Q 共有三种不同的形式：
P＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中 a＝3，b＝2.6
详解详析
教材的地位
和作用
分式的加减是分式的基本运算之一．本节课是同分母分式的加减，是分式
加减法中最简单的一种运算．本节内容的学习将为下一节异分母分式加减的
学习奠定基础
知识
与技
能
1.掌握同分母分式的加减法法则；
2.会进行同分母分式的加减运算
过程
与方
法
通过对计算过程的反思，获得解决问题的经验，体会在解决问题的过程中
与他人合作的重要性
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
激发学生强烈的求知欲，培养学生学习数学的热情，并使学生体会运用数
学思想解决生活问题的成功体验
重点 同分母分式的加减运算
难点 分母中只有符号不同的分式加减运算时的符号处理教学
重点
难点 易错
点
在分子相减的过程中，由于未把多项式的分子当作整体来处理，导致符号
错误
【预习效果检测】
1．[解析] 观察可知这些分式有共同的特点：分母相同．(1)中，它们的分母同为 a；(2)
中，它们的分母同为 a＋1.我们只需要依照同分母分式的加减法法则，把它们的分子相加减
即可．
解：(1)
1
a＋
3
a＝
4
a.
(2)
a－2
a＋1－
2a－3
a＋1 ＝
（a－2）－（2a－3）
a＋1 ＝
a－2－2a＋3
a＋1 ＝
－a＋1
a＋1 .
2．[解析] 先利用分式的符号法则，把分式化为同分母分式，再运算．
解：原式＝
x
x－y＋
y
x－y＝
x＋y
x－y.
【重难互动探究】
例 [解析] 原代数式可通过分式的符号法则转化为同分母的分式，再根据同分母分式的
加、减法的法则化简，最后代入求值．
解：原式＝
x＋2y
x2－y2－
y
x2－y2－
2x
x2－y2
＝
x＋2y－y－2x
x2－y2
＝
y－x
x2－y2＝－
1
x＋y.7
当 x＝13，y＝12 时，原式＝－
1
13＋12＝－
1
25.
【课堂总结反思】
[反思] 不正确．
2x－1
x2＋1－
3－x
x2＋1＝
2x－1－（3－x）
x2＋1 ＝
2x－1－3＋x
x2＋1 ＝
3x－4
x2＋1.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] C 同分母分式相加减，分母不变、分子相加减，因此
1
a－1－
a
a－1＝
1－a
a－1＝－
1.故选 C.
2．[解析] A
a2
a－b－
b2
a－b＝
a2－b2
a－b ＝
（a－b）（a＋b）
a－b ＝a＋b.故选 A.
3．[解析] D 原式＝
x2
x－1－
x
x－1＝
x2－x
x－1 ＝x.
4．[解析] C 原式＝
2b
a－b＋
2a
a－b－
a＋b
a－b
＝
2b＋2a－（a＋b）
a－b ＝
a＋b
a－b.
5．[解析] B 互为相反数的两个数之和为 0，两个分式也一样，因此选 B.
6．A
7．[解析] B
m2
m2＋mn－
n2
m2＋mn＝
m2－n2
m（m＋n）＝
（m＋n）（m－n）
m（m＋n） ＝
m－n
m .因为 m≠0 且 m－
7n＝0，所以 m＝7n.当 m＝7n 时，原式＝
7n－n
7n ＝
6n
7n＝
6
7.
8．[答案]
1
x－1
9．[答案] a＋1
10．[答案]
1
（m－n）2
[解析] 因为
m2＋1
（m－n）2－
m2
（m－n）2＝
m2＋1－m2
（m－n）2＝
1
（m－n）2，所以
1
（m－n）2与
m2
（m－n）2
的和等于
m2＋1
（m－n）2.
11．[答案]
3
2
[解析] 由题意得 x＝2y，
原式＝
x2－y2
xy ＝
（2y）2－y2
2y2 ＝
3
2.
12．解：不正确．
正确解法：
原式＝
x＋y－3y＋x＋y－2x
2x－3y8
＝
－y
2x－3y＝－
y
2x－3y.
13．[解析] 先观察各分式是不是同分母，如果不是同分母，应先转化为同分母，再利用
同分母分式加减法法则计算．
解：(1)原式＝
a2
（a－b）2－
b2
（a－b）2＝
a2－b2
（a－b）2＝
（a＋b）（a－b）
（a－b）2 ＝
a＋b
a－b.
(2)原式＝
2x－3
x2－4＋
－x＋5
x2－4 ＝
2x－3－x＋5
x2－4 ＝
x＋2
x2－4＝
x＋2
（x＋2）（x－2）＝
1
x－2.
14．解：原式＝
2x（x－1）
（x－1）（x＋1）－
x
x＋1＝
2x
x＋1－
x
x＋1＝
x
x＋1.
当 x＝－2 时，原式＝
x
x＋1＝
－2
－2＋1＝2.
15．解：
x2
x－1＋
1
1－x＝
x2－1
x－1 ＝x＋1.代入求值不唯一(除 x＝1 外的任何实数都可以)，如
取 x＝2，原式＝2＋1＝3.
16．解：(1)当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为
3
v＋
3
3v＝
3
v＋
1
v＝
4
v(h)．
(2)她走第一条路花费的时间少，少用
1
v h.
[数学活动]
解：答案不唯一，如选 P＋Q 进行化简求值：
P＋Q＝
a2＋b2
a2－b2＋
2ab
a2－b2＝
a2＋b2＋2ab
a2－b2 ＝
（a＋b）2
（a＋b）（a－b）＝
a＋b
a－b.
当 a＝3，b＝2 时，P＋Q＝
3＋2
3－2＝5.
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