1
2.3 解二元一次方程组
第 1 课时 代入消元法
知识点 1 代入消元法
将方程组一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，
并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方
程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．
1．用代入法解二元一次方程组 {x＝2y，①
2x＋y＝10，②可将①代入②，得一元一次方程：
____________．
知识点 2 代入法解二元一次方程组
用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)从方程组中选取一个未知数系数比较简单的方程；
(2)将选取的方程变形，变成用一个未知数表示另一个未知数的形式；
(3)用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未
知数的值；
(4)把这个未知数的值代入变形后的方程，求得另一个未知数的值；
(5)写出方程组的解．
2．用代入法解下列方程组：
{2x＋3y＝16，
x＋4y＝13.
探究 一 代入消元法解二元一次方程组
教材例 2 变式题解方程组：
{x
2－
y
3＝7，
2x＋y＝14.
[归纳总结] (1)解二元一次方程组的基本思路是“消元”，也就是把二元一次方程组化
为一元一次方程；(2)二元一次方程组的解是一对数值，需用大括号将这对数值上下排列；(3)
当方程组中某一个未知数的系数的绝对值等于 1 时，用代入法解方程组比较简单；(4)不能把
变形后方程代入变形前的原方程中，否则只能得到一个恒等式，应将变形后的方程代入另一
个方程中求解．
探究 二 利用整体思想解二元一次方程组
教材补充题 解方程组：2
{x＋1
3 ＝2y，
2（x＋1）－y＝11.
[归纳总结] 有时用传统的代入法可能比较烦琐，此时可以考虑用整体代入法．运用整体
代入法时，重点是观察，对比系数间的关系．
探究 三 方程组的解的综合应用
教材补充题若关于 x，y 的方程组{x＋y＝3，
x－y＝1 与方程组{mx＋ny＝8，
mx－ny＝4 的解相同，求
m，n 的值．
[归纳总结] 综合性应用题的解题重点为转化思想，根据题意把题目转化成二元一次方程
组．
[反思] 解方程组：{2x－7y＝8，①
3x－8y＝10.②
解：由①，得 x＝
8＋7y
2 ，③
将③代入①，得 8＝8，所以原方程组无解．
这种解法是否正确？若不正确，请改正．3
一、选择题
1．已知 3x－11y＝5，用含 x 的代数式表示 y，下列正确的是( )
A．y＝
5－3x
11 B．y＝
3x－5
11
C．x＝
11y＋5
3 D．x＝－
11y＋5
3
2．用代入法解方程组{y＝2x－3，①
3x－2y＝8② 时，将方程①代入方程②中，所得的方程是( )
A．3x＋4x－3＝0 B．3x－4x－6＝8
C．3x－4x＋6＝8 D．3x＋2x－6＝8
3．用代入法解方程组{3x＋4y＝2，①
2x－y＝5② 时，使得代入后化简比较简单的变形是( )
A．由①，得 x＝
2－4y
3 B．由①，得 y＝
2－3x
4
C．由②，得 x＝
y＋5
2 D．由②，得 y＝2x－5
4．二元一次方程组{x＋y＝2，
2x－y＝1 的解是( )
A.{x＝0，
y＝2 B.{x＝1，
y＝1
C.{x＝－1，
y＝－1 D.{x＝2，
y＝0
5．已知关于 x，y 的二元一次方程 y＝mx＋n，当 x＝2 时，y＝－1；当 x＝－1 时，y＝
5，则( )
A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝3
C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝－3
6．若{x＝1，
y＝1 是关于 x，y 的方程组{ax＋by＝1，
bx－ay＝－7的解，则(a＋b)(a－b)的值为( )
A．－16 B．－7 C．7 D．16
7．解二元一次方程组{2017x＋4y＝11，
2017x＝19－2y，得 y＝( )
A．－4 B．－
4
3 C.
5
3 D．5
二、填空题
8．用代入法解方程组{3x－y＝8，
2x＋3y＝5，选择消去未知数________比较方便．
9．已知方程组{x＝3y－5，
y＝2x＋3，用代入法消去 x，可得方程______________(不用化简)．
10 ． 若 {x＝2，
y＝1 是 关 于 x ， y 的 方 程 组 {kx－my＝1，
mx＋ky＝8 的 解 ， 则 k ＝ ________ ， m ＝
________．4
11．若{x＝1，
y＝－1和{x＝2，
y＝3 是关于 x，y 的方程 y＝kx＋b 的两个解，则 k＝________，b＝
________．
三、解答题
12．用代入法解下列方程组：
(1){x＝y＋1，
2x＋y＝8；
(2)2016·无锡{2x＝3－y，
3x＋2y＝2.
13．解方程组：{x－y＝3，
2y＋3（x－y）＝11.
14．已知二元一次方程：①y＝4－x，②2x－y＝2，③x－2y＝1.请你从这三个方程中选
择你喜欢的两个方程组成一个方程组，并求出这个方程组的解．
15．已知关于 x，y 的方程组{4x－3y＝2，
kx＋（k－1）y＝6 的解中 x 与 y 的值相等，则 k 的值为多
少？5
16．已知方程组{2x＋3y＝7，
5x－y＝9 的解是关于 x，y 的方程 3x＋my＝8 的一个解，求 m 的
值．
17．已知(2a－b－4)2＋|a＋b＋1|＝0，求 a，b 的值．
[创新题] 甲、乙两人同求方程 ax－by＝7 的整数解，甲求出一组解为{x＝3，
y＝4；而乙把 ax
－by＝7 中的 7 错看成 1，求得一组解为{x＝1，
y＝2，试求 a，b 的值．
详解详析
教材的地位
和作用
本节课学生已具备了一定的基础知识——二元一次方程的解与二元一次方
程组的解的概念．如何求出二元一次方程组的解，是学生最关心、最迫切想
知道的，本课要解决的就是让学生掌握用代入法解二元一次方程组，体验数
学的化归思想．求二元一次方程组的解是学生必须掌握的技能，也为后面利
用二元一次方程组解应用题打下基础
知识
与技
能
1.了解解方程组的概念；
2.了解解方程组的基本思想是“消元”，掌握代入法的基本步骤
过程
与方
法
会用代入法求二元一次方程组的解，初步体现数学研究中“化未知为已知”
的化归思想
教
学
目
标 情感、
态度
与价
在用代入法解二元一次方程组中体验殊途同归、体验成功，收获学习的快
乐6
值观
重点 了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程组
难点 对代入消元法解方程组过程的理解及当方程组中有一个字母系数为 1(或－
1)时，如何用一个未知数代替另一个未知数
教学
重点
难点 易错
点
对用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的变形不熟练，而导致解
答出错
【预习效果检测】
1．[答案] 4y＋y＝10
[解析] 将②式中的 x 用 2y 代替，可得 2×2y＋y＝10，即为 4y＋y＝10.
2．[解析] 把方程组{2x＋3y＝16，①
x＋4y＝13② 的两个方程进行比较，发现把方程②变成用含 y 的
代数式表示 x 比较容易．
解：{2x＋3y＝16，①
x＋4y＝13，②
由②，得 x＝13－4y，③
把③代入①，得 2(13－4y)＋3y＝16，
即－5y＝－10，所以 y＝2.
把 y＝2 代入③，得 x＝13－4×2＝5.
故原方程组的解为{x＝5，
y＝2.
【重难互动探究】
例 1 解：原方程组可整理为{3x－2y＝42，①
2x＋y＝14，②
由②，得 y＝14－2x，③
把③代入①，得 3x－2(14－2x)＝42，
即 7x＝70，所以 x＝10.
把 x＝10 代入③，得 y＝－6.
故原方程组的解为{x＝10，
y＝－6.
例 2 [解析] 本题可用整体代入法求解．
解：{x＋1
3 ＝2y，①
2（x＋1）－y＝11，②
由①，得 x＋1＝6y，③
把③整体代入②，得
12y－y＝11，y＝1.
把 y＝1 代入③，得 x＝5.
所以原方程组的解为{x＝5，
y＝1.
例 3 [解析] 把方程组的解代入含 m，n 的方程组中即可求出 m，n 的值．
解：方程组{x＋y＝3，
x－y＝1 的解为{x＝2，
y＝1.7
把{x＝2，
y＝1 代入含 m，n 的方程组中，
得{2m＋n＝8，
2m－n＝4，
解得{m＝3，
n＝2.
【课堂总结反思】
[反思] 这种解法不正确，改正如下：
{2x－7y＝8，①
3x－8y＝10，②
由①，得 x＝
8＋7y
2 ，③
把③代入②，得 3×
8＋7y
2 －8y＝10，解得 y＝－
4
5.
把 y＝－
4
5代入③，得 x＝
6
5.
所以原方程组的解是{x＝
6
5，
y＝－
4
5.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] B 移项得 11y＝3x－5，两边同除以 11，得 y＝
3x－5
11 .故选 B.
2．C 3.D 4.B
5．[解析] B 由题意可得方程组{2m＋n＝－1，
－m＋n＝5，
解得{m＝－2，
n＝3.
6．[解析] C 因为{x＝1，
y＝1 是方程组{ax＋by＝1，
bx－ay＝－7
的解，所以把{x＝1，
y＝1 代入方程组{ax＋by＝1，
bx－ay＝－7，
得{a＋b＝1，
b－a＝－7.
以下有两种解法：
解法一：解方程组{a＋b＝1，
b－a＝－7，得{a＝4，
b＝－3，
则(a＋b)(a－b)＝(4－3)×(4＋3)＝7.
解法二：方程组{a＋b＝1，
b－a＝－7可变形为{a＋b＝1，
a－b＝7，
所以(a＋b)(a－b)＝1×7＝7.
7．[解析] A 将 2017x＝19－2y 整体代入 2017x＋4y＝11，得 19－2y＋4y＝11，解得 y
＝－4.故选 A.8
8．[答案] y
[解析] 因为方程 3x－y＝8 化为用含 x 的代数式表示 y 较为简捷，故应选择消去未知数 y.
9．[答案] y＝2(3y－5)＋3
10．[答案] 2 3
[解析] 把{x＝2，
y＝1 代入方程组{kx－my＝1，
mx＋ky＝8 中，得{2k－m＝1，
2m＋k＝8，解得{k＝2，
m＝3.
11．[答案] 4 －5
[解析] 把{x＝1，
y＝－1和{x＝2，
y＝3 分别代入 y＝kx＋b 中，用代入法求解．
把两组值代入后的方程组是{－1＝k＋b，①
3＝2k＋b，②
由①，得 b＝－1－k，③
把③代入②，得 3＝2k－1－k.
所以 k＝4，b＝－5.
12．解：(1){x＝y＋1，①
2x＋y＝8，②
把①代入②，得 2(y＋1)＋y＝8，
解得 y＝2，把 y＝2 代入①，得 x＝3.
所以原方程组的解为{x＝3，
y＝2.
(2){2x＝3－y，①
3x＋2y＝2，②
由①，得 y＝3－2x，③
把③代入②，得 3x＋2(3－2x)＝2，
解得 x＝4，
把 x＝4 代入③，得 y＝－5.
所以原方程组的解是{x＝4，
y＝－5.
13．[解析] 本题的两个方程中都含有 x－y，所以可采用整体代入法．
解：{x－y＝3，①
2y＋3（x－y）＝11，②
将①代入②，得 2y＋3×3＝11，解得 y＝1，
将 y＝1 代入①，得 x＝4.
所以原方程的解为{x＝4，
y＝1.
14．[解析] 此题的答案不唯一，只要从三个方程中选两个方程组成二元一次方程组求解
即可．
解：若取方程①和②，可得{y＝4－x，
2x－y＝2，解得{x＝2，
y＝2；
同理，若取方程①和③，可得{y＝4－x，
x－2y＝1，
解得{x＝3，
y＝1；9
若取方程②和③，可得{2x－y＝2，
x－2y＝1，解得{x＝1，
y＝0.
15．解：由 x 与 y 的值相等，得 4x－3x＝2，
即 x＝y＝2，
所以 2k＋2(k－1)＝6，解得 k＝2.
16．[解析] 把方程组{2x＋3y＝7，
5x－y＝9 的解代入方程 3x＋my＝8，即可求得 m 的值．
解：解方程组{2x＋3y＝7，
5x－y＝9， 得{x＝2，
y＝1.
把{x＝2，
y＝1 代入方程 3x＋my＝8，
解得 m＝2.
17．解：因为(2a－b－4)2 是一个非负数，|a＋b＋1|也是一个非负数，两个非负数之和
等于 0，则每一个非负数都等于 0，即{2a－b－4＝0，
a＋b＋1＝0，
解得{a＝1，
b＝－2.
[数学活动]
[解析] 由方程组的定义可知甲求得的解{x＝3，
y＝4 满足原方程，代入后，可得 a，b 之间的
关系式 3a－4b＝7；乙求出的解不满足原方程，而满足方程 ax－by＝1，代入后可得 a，b 的
另一个关系式 a－2b＝1，从而可求出 a，b 的值．
解：把 x＝3，y＝4 代入 ax－by＝7 中，得 3a－4b＝7，①
把 x＝1，y＝2 代入 ax－by＝1 中，
得 a－2b＝1，②
由①②组成方程组
{3a－4b＝7，
a－2b＝1， 解得{a＝5，
b＝2.
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