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3.3 多项式的乘法
第 2 课时 复杂多项式的乘法及应用
知识点 复杂多项式乘多项式的运算
较复杂多项式相乘，仍然遵循“先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再
把所得的积相加”的法则．
[注意] (1)多项式相乘要注意多项式每一项的符号；(2)多项式相乘的结果要化为最
简．
计算：(x－3)(2x2＋x－7)．
探究 一 多项式乘多项式的简单应用
教材例 5 变式题解方程：
(x－1)(2x－1)＝x(x＋2)＋x2－1.
[归纳总结] 解方程时，方程两边均化成整式，再移项，合并同类项，系数化为 1 即
可．
探究 二 利用多项式乘多项式解决实际问题
教材补充题一个长方体的长为 x cm，宽为(2x－3)cm，高为(x－1)cm，求这个长方
体的体积．2
[反思] 若多项式(mx2＋8x－1)(2－3x)展开后不含 x2 项，求 m 的值．3
一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A．a2·a3＝a6
B．5a(b－3a2)＝5ab－15a3
C．(a＋b)(a－2b)＝a2－2b2
D．(x－1)(x2＋2)＝x3＋2x－2
2．计算(x－1)(x2－1)的结果是( )
A．x3－1 B．x3－x2－x＋1
C．x3－x＋1 D．x3－x2＋1
3．如果(x－4)(2x2－x＋8)＝2x3＋mx2＋nx－32，那么 m，n 的值分别是( )
A．m＝9，n＝12 B．m＝9，n＝－12
C．m＝－9，n＝12 D．m＝－9，n＝－12
4．如果三角形的一边长为 2a＋4，这条边上的高为 2a2＋a＋1，那么这个三角形的面积
为( )
A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4
C．(2a＋4)(2a2＋a＋1) D．2a3＋2
5．要使(x2＋px＋2)(x－q)的乘积中不含 x2 项，则 p 与 q 的关系是( )
A．互为倒数 B．互为相反数
C．相等 D．关系不能确定
6．由 m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，可得(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3
＝a3＋b3，即(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.我们把这个等式叫做多项式乘法的立方公式．下列
应用这个公式进行的变形不正确的是( )
A．(x＋4y)(x2－4xy＋16y2)＝x3＋64y3
B．(2x＋y)(4x2－2xy＋y2)＝8x3＋y3
C．(a＋1)(a2＋a＋1)＝a3＋1
D．x3＋27＝(x＋3)(x2－3x＋9)
二、填空题
7．计算：(5b＋2)(2b－1)＝________；
(3a2－2)(3a＋2)＝________．
8．2015·菏泽若 x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对 x 恒成立，则 n＝________．
9．三个连续整数中，n 是最小的一个，这三个数的乘积为________．
10．(x3＋3x2＋4x－1)(x2－2x＋3)的展开式中，x4 的系数是________．
11．已知一个梯形的上底是(x＋y)cm，下底是(5x－3y)cm，高是(2x＋y)cm，则用含 x，
y 的代数式表示梯形的面积为________ cm2.
三、解答题
12．计算：
(1)(a＋2)(a－2)(2a－1)；4
(2)3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)；
(3)(2a－b)2－(b2＋a－1)(2a＋1)．
13．确定下列各式中 m 的值．
(1)(x＋4)(x＋9)＝x2＋mx＋36；
(2)(x＋3)(x＋p)＝x2＋mx＋36.
14．解方程：x(2x＋3)－(x－5)(x＋3)＝x2＋1.
15．李老师刚买了一套 2 室 2 厅的新房，其结构如图 3－3－3 所示(单位：米)．施工方
已经把卫生间和厨房根据合同约定铺上了地板砖，李老师打算把卧室 1 铺上地毯，其余铺地
板砖．问：
(1)他至少需要多少平方米的地板砖？
(2)如果这种地板砖每平方米 m 元，那么李老师至少要花多少钱买地板砖？
图 3－3－3
[创新题] (1)计算下列各式：
(x－1)(x＋1)＝__________；
(x－1)(x2＋x＋1)＝__________；5
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝__________．
(2)从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空
格．
(x－1)(______________)＝x6－1.
(3)利用你发现的规律计算：
(x－1)(x6＋x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1)＝__________.
(4)利用该规律计算：1＋4＋42＋43＋…＋42017.6
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是多项式与多项式相乘的提高和拓展，是整式乘法的综合应用．本
节内容是进一步学习乘法公式与因式分解的基础，因此本课时内容起着承上
启下的作用
知识
与技
能
1.掌握复杂多项式与多项式相乘的法则及注意事项；
2.会利用多项式与多项式相乘进行说理等
过程
与方
法
进一步培养学生思考与探索的能力，体会通过转化思想来解决问题的能力
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
在具体实例中体会用数学进行说理或化简的乐趣
重点 复杂多项式的相乘
难点 多项式与多项式相乘的综合应用教学
重点
难点 易错
点 由于积的项数较多且比较复杂，导致合并同类项时发生错误
【预习效果检测】
解：(x－3)(2x2＋x－7)＝2x3＋x2－7x－6x2－3x＋21＝2x3－5x2－10x＋21.
【重难互动探究】
例 1 解：两边去括号，得 2x2－x－2x＋1＝x2＋2x＋x2－1.
合并同类项，得 2x2－3x＋1＝2x2＋2x－1.
化简，得 5x＝2.
所以原方程的解为 x＝
2
5.
例 2 [解析] 长方体体积的计算公式为 V＝长×宽×高．
解：根据题意，这个长方体的体积为
V＝x(2x－3)(x－1)
＝x(2x2－2x－3x＋3)
＝x(2x2－5x＋3)
＝(2x3－5x2＋3x)(cm3)．
【课堂总结反思】
[反思] (mx2＋8x－1)(2－3x)＝2mx2－3mx3＋16x－24x2－2＋3x＝－3mx3＋(2m－24)x2＋
19x－2.
因为多项式展开后不含 x2 项，所以 2m－24＝0，解得 m＝12.
[点评] 多项式相乘后不含某一项，说明合并同类项后此项的系数为零．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.B 3.C7
4．[解析] A 三角形的面积＝
1
2×底×高＝
1
2×(2a＋4)×(2a2＋a＋1)＝(a＋2)(2a2＋a＋
1)＝2a3＋a2＋a＋4a2＋2a＋2＝2a3＋5a2＋3a＋2.
5．[解析] C 原式＝x3－qx2＋px2－pqx＋2x－2q＝x3＋(p－q)x2＋(2－pq)x－2q，由于
不含 x2 项，故 p－q＝0，即 p＝q.
6．C
7．[答案] 10b2－b－2 9a3＋6a2－6a－4
8．[答案] 4
9．[答案] n3＋3n2＋2n
10．[答案] 1
11．[答案] (6x2＋xy－y2)
12．解：(1)原式＝(a2－4)(2a－1)＝2a3－a2－8a＋4.
(2)原式＝3x2＋6－3(x2－1)＝3x2＋6－3x2＋3＝9.
(3)原式＝4a2－2ab－2ab＋b2－(2ab2＋b2＋2a2＋a－2a－1)
＝4a2－4ab＋b2－2ab2－b2－2a2－a＋2a＋1
＝2a2－2ab2－4ab＋a＋1.
13．解：(1)因为(x＋4)(x＋9)＝x2＋mx＋36，
所以 x2＋13x＋36＝x2＋mx＋36，
所以 m＝13.
(2)因为(x＋3)(x＋p)＝x2＋mx＋36，
所以 x2＋(3＋p)x＋3p＝x2＋mx＋36，
所以{3＋p＝m，
3p＝36，
解得{m＝15，
p＝12.
所以 m＝15.
14．解：2x2＋3x－x2－3x＋5x＋15＝x2＋1.
2x2＋3x－x2－3x＋5x－x2＝1－15.
5x＝－14，解得 x＝－
14
5 .
所以原方程的解为 x＝－
14
5 .
15．解：(1)用总面积减去厨房和卫生间的面积，再减去卧室 1 的面积即是所铺地板砖的
面积，
列式为 5b·5a－(5b－3b)·(5a－3a)－(5a－3a)·2b＝17ab(米 2)．
(2)所花钱数：17ab·m＝17abm(元)．
[数学活动]
解： (1)x2－1 x3－1 x4－1
(2)发现规律：(x－1)(xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)＝xn－1.
x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1
(3)x7－1
(4)因为(1＋4＋42＋43＋…＋42017)(4－1)＝42018－1，
所以 1＋4＋42＋43＋…＋42017＝
42018－1
3 . 8
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