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第 3 章 整式的乘除
3．1 同底数幂的乘法
第 1 课时 同底数幂的乘法
知识点 同底数幂的乘法运算
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即 am·an＝am＋n(m，n 都是正整数)．
[注意] (1)底数必须相同；
(2)相乘时底数不发生变化；
(3)指数相加的和作为最终结果幂的指数．
计算：
(1)(－8)12×(－8)5；
(2)x·x7；
(3)(－
1
2 ) 2
×(1
2 ) 3
；
(4)a3m·a2m－1(m 是正整数)．
探究 一 同底数幂的乘法运算
教材补充题计算：
(1)x2·(－x)9；
(2)16×2m＋1×2m－2；
(3)(x－y)·(x－y)3·(x－y)5；
(4)(a－b)2·(b－a)3.
[归纳总结] (1)当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：am·an·ap
＝am＋n＋p(m，n，p 都是正整数)．
(2)在计算或化简时，诸如题目中的 x－y 形式的代数式，可以看成一个整体进行运算．
(3)底数互为相反数的幂相乘，可根据幂的符号法则相互转化，使之变成同底数幂，常见
变形如下：
①(－a)n＝{an（n为偶数），
－an（n为奇数）；
②(b－a)n＝{（a－b）n（n为偶数），
－（a－b）n（n为奇数）.
探究 二 同底数幂的乘法的简单应用
教材例 2 变式题如果卫星绕地球运行的速度是 7.9×103 m/s，求卫星运行 1 h 的路
程．2
[归纳总结] 运算过程中要注意运用乘法的交换律、结合律将同底数幂放到一起相乘．
探究 三 逆用同底数幂的乘法法则求代数式的值
教材补充题(1)已知 a2＝m，a3＝n，求 a5 的值；
(2)若 2m＝a，2n＝b，求 2m＋n 的值．
[归纳总结] 运用同底数幂的乘法法则也可以把一个幂分解成两个同底数幂的积，其中它
们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来的指数．例如 am＋n＝am·an.
[反思] 运用同底数幂的乘法法则判定下列计算是否正确．若不正确，请改正．
(1)x4·x＝x4；(2)(－3)4·(－3)6＝310.
一、选择题
1．2016·重庆 A 卷计算：a3·a2＝( )
A．a B．a5 C．a6 D．a93
2．计算(a＋b)3·(a＋b)2m·(a＋b)n 所得的结果为( )
A．(a＋b)6m＋n B．(a＋b)2m＋n＋3
C．(a＋b)2mn＋3 D．(a＋b)6mn
3．x16 不可以写成( )
A．x7·x9
B．x8＋x8
C．x3·x5·x6·x2
D．(－x)·(－x)2·(－x)5·(－x)8
4．下列运算中，错误的是( )
A．3a5－a5＝2a5 B．－a3·(－a)5＝a8
C．a3·(－a)4＝a7 D．2m·3n＝6m＋n
5．若 ax·a2＝a6，则 x 的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．3n·(－9)·3n＋2 的计算结果是( )
A．－32n－2 B．－3n＋4
C．－32n＋4 D．－3n＋6
7．规定 a□b＝10a×10b，如 2□3＝102×103＝105，那么 4□8 为( )
A．32 B．1032 C．1012 D．1210
8．已知 xa＝3，xb＝5，则 xa＋b 的值为( )
A．8 B．15 C．125 D．243
二、填空题
9．2015·天津计算 x2·x5＝________．
10．计算：(－a)4·(－a)2＝________．
11．填空：a4·a(__)＝a3·a(__)＝a2·a(__)＝a12.
12．计算：(1)(a＋b)4·(a＋b)·(a＋b)2＝________；
(2)(x－2y)2·(2y－x)3＝________．
13．计算：(1)10m×10000＝________； (2)3n－4×(－3)3×35－n＝________．
14．一台电子计算机每秒可运行 4×109 次运算，它工作 7×102 秒可运行__________次运
算．
三、解答题
15．计算：
(1)－x·x2·x4；
(2)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；
(3)(－3)3×36；4
(4)－(－p)3·(－p)3·(－p)2.
16．宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1 光年是光在一年内通过的距离，如果光的速
度为每秒 3×108 米，一年约为 3.2×107 秒，那么 1 光年约为多少米？
17．如果 x2m－1·x3m＋2＝x11，求 m 的值．
18．已知 am＝3，an＝4，化简下列各式：
(1)am＋1； (2)a3＋n； (3)am＋n＋2.
19．已知 a2m－n·am－n＝a5，b3m＋n·b2m－2n＝b13，求 2m＋n 的立方根．
阅读下列材料：
求 1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016 的值．
解：设 S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016，①
将等式两边同时乘 2，得
2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22016＋22017，②
②－①，得 2S－S＝22017－1，
即 S＝22017－1，则原式＝22017－1.
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210；
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中 n 为正整数)．5
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是在前面学习了有理数的乘方和整式的加减法运算之后进行的，
是对幂的意义的理解、运用和深化，又是后面学习整式乘除法的基础，而整
式的乘除法是代数部分的基础，它将为后面学习方程、函数做铺垫
教
学
知识
与技
1.理解同底数幂乘法法则的推导过程；
2.能够运用同底数幂乘法的法则进行有关计算6
能
过程
与方
法
通过学生的自主探究，培养学生的观察、发现、归纳、概括的能力．使学
生初步理解“特殊——一般——特殊”的认知规律
目
标
情感、
态度
与价
值观
通过本节课的学习使学生了解数学表达的简洁美，接受数学文化的熏陶，
激发学生探索创新的精神
重点 同底数幂乘法的法则及应用
难点 同底数幂乘法法则的推导及灵活运用教学
重点
难点 易错
点 同底数幂相乘时，误把指数相乘来确定积的指数
【预习效果检测】
解：(1)(－8)12×(－8)5＝(－8)12＋5＝(－8)17＝－817.
(2)x·x7＝x1＋7＝x8.
(3)(－
1
2 ) 2
×(1
2 ) 3
＝(1
2 ) 2
×(1
2 ) 3
＝(1
2 )2＋3
＝(1
2 ) 5
.
(4)a3m·a2m－1＝a3m＋2m－1＝a5m－1.
【重难互动探究】
例 1 [解析] 将(3)中的 x－y 看成一个整体，应用同底数幂的乘法进行计算即可．
解： (1)x2·(－x)9＝－x2·x9＝－x2＋9＝－x11.
(2)16×2m＋1×2m－2＝24×2m＋1×2m－2＝24＋m＋1＋m－2＝22m＋3.
(3)(x－y)·(x－y)3·(x－y)5＝(x－y)1＋3＋5＝(x－y)9.
(4)(a－b)2·(b－a)3＝(b－a)2·(b－a)3＝(b－a)5.
例 2 [解析] 根据路程、时间、速度三者之间的关系可以求得路程．
解：(7.9×103)×(3.6×103)＝(7.9×3.6)×(103×103)＝2.844×107(m)．
答：卫星运行 1 h 的路程是 2.844×107 m.
例 3 [解析] 逆用同底数幂的乘法法则．
解： (1)a5＝a2＋3＝a2·a3＝mn.
(2)2m＋n＝2m·2n＝ab.
【课堂总结反思】
[知识框架]
不变 相加
[反思] (1)不正确．改正：x4·x＝x4＋1＝ x5.
(2)正确．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．B 2.B
3．[解析] B 灵活运用同底数幂的乘法法则进行验证．x8＋x8＝2x8≠x16，而(－x)16＝
x16.故选 B.
4．D
5．[解析] D 由同底数幂的乘法法则可知 ax·a2＝ax＋2＝a6，所以 x＋2＝6，所以 x＝7
4.
6．[解析] C 先将 9 化成 32，然后确定积的符号，再按照法则计算.3n·(－9)·3n＋2＝
3n·(－32)·3n＋2＝－3n＋2＋n＋2＝－32n＋4.
7．C 8.B
9．[答案] x7
10．[答案] a6
11．[答案] 8 9 10
12．[答案] (1)(a＋b)7 (2)(2y－x)5 或－(x－2y)5
[解析] 注意－a 的偶数次方等于 a 的相同偶数次方，所以(x－2y) 2·(2y－x)3＝(2y－
x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5，－a 的奇数次方与 a 的相同奇数次方互为相反数，故(2)题还可以
这样解答：(x－2y)2·(2y－x)3＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5，同学们可以根据各
自习惯选择解题方法．
13．[答案] (1)10m＋4
(2)－81
14．[答案] 2.8×1012
15．解：(1)原式＝－x1＋2＋4＝－x7.
(2)原式＝(x＋2)3＋5＋1＝(x＋2)9.
(3)原式＝－33×36＝－33＋6＝－39.
(4)原式＝－(－p)3＋3＋2＝－(－p)8＝－p8.
16．[解析] 根据题意得出算式 3×108×3.2×107，求解即可．
解：3×108×3.2×107＝9.6×1015(米)．
答：1 光年约为 9.6×1015 米．
17．[解析] 先利用同底数幂的乘法法则将等式的左边进行化简，然后根据“两个同底数
幂相等，其指数也相等”列出方程即可求解．
解：把原式进行整理化简，得 x5m＋1＝x11，
则 5m＋1＝11，解得 m＝2.
18．[解析] 本题逆向运用同底数幂的乘法法则计算，以后同学们会经常用到这种方法，
即 am·an＝am＋n，反之 am＋n＝am·an 也成立．
解：(1)am＋1＝am·a＝3a.
(2)a3＋n＝a3·an＝a3·4＝4a3.
(3)am＋n＋2＝am·an·a2＝3×4·a2＝12a2.
19．[解析] 等式左边运用同底数幂乘法法则进行计算，由此可以得到关于 m，n 的两个
关系式，联立作为二元一次方程组，求出 m，n 的值．
解：由 a2m－n·am－n＝a5，b3m＋n·b2m－2n＝b13，
得 a3m－2n＝a5，b5m－n＝b13,
方程组的形式．
∴{3m－2n＝5，
5m－n＝13，解得{m＝3，
n＝2，
∴2m＋n＝8，即 2m＋n 的立方根是 2.
[数学活动]
解：(1)设 S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，①
将等式两边同时乘 2，得 2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，②
②－①，得 2S－S＝211－1，即 S＝211－1，则原式＝211－1.
(2)设 S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n，①8
将等式两边同时乘 3，得 3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1，②
② －①，得 3S－S＝3n＋1－1，即 S＝
1
2(3n＋1－1)，则原式＝
1
2(3n＋1－1)．
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