1
第 5 章 分式
5．2 分式的基本性质
第 1 课时 分式的基本性质
知识点 1 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
A
B＝
A × M
B × M，
A
B＝
A ÷ M
B ÷ M(其中 M 是不等于零的整式)．
1．下列分式的变形正确的是( )
A.
a
b＝
a2
ab
B.
a＋1
a－1＝
a2＋2a＋1
a2－1
C.
a
b＝
ab
b2
D.
b＋1
a ＝
ab＋1
a2
知识点 2 分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分要约去分子、分母所有
的公因式．分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
约分方法：(1)系数：约去分子、分母中各项系数的最大公约数；
(2)字母：约去分子、分母中相同字母的最低次幂；
(3)若分子与分母是多项式，应先分解因式再约分．
2．化简：(1)
10a3b
4ab2 ＝________；
(2)
x2－1
x－1 ＝________；
(3)
a2－4
a2＋4a＋4＝________．
3．在下列分式中，表示最简分式的是( )
A.
a2－a
a2－1 B.
a2＋a
a2－1
C.
a2＋1
a2－1 D.
a2－a
a2＋a
探究 一 尝试把非整数系数化为整数系数
教材做一做第 1 题变式题不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数
都化为整数，且使分子与分母不含公因式．2
(1)
1
2a＋
1
3b
2
3a－
1
4b
； (2)
4
5x＋0.25y
1
2x－0.6y
.
探究 二 尝试把最高次项的系数化为正数
教材做一做第 2 题变式题不改变分式的值，使分式的分子、分母中最高次项的系数
化为正数．
(1)
1＋x＋x2
1＋x－x2； (2)
－1＋a－a2
－1－a2－a3.
探究 三 综合运用所学知识，进行分式的约分
教材例 1 变式题把下列各式约分：
(1)
－16x2y3
20xy4 ； (2)
27an＋3b2
6anb3 ；
(3)－
6x（a－x）2
－24（x－a）3y； (4)
a2＋6a＋9
a2－9 .
[归纳总结] 分式的约分就是约去分子与分母中的公因式．找公因式的方法：(1)若分子
与分母的系数都是整数，取分子与分母中各项系数的最大公约数；(2)取分子与分母中相同字
母的最低次幂；(3)如果分子与分母是多项式，应先分解因式，再找公因式．注意约分的最后
结果应是整式或最简分式．3
[反思] 约分：(1)
6y2
4xy；(2)
15n（m－n）2
－25（n－m）.
解：(1)
6y2
4xy＝
6y
4x；
(2)
15n（m－n）2
－25（n－m）＝
5（n－m）·3n（n－m）
5（n－m）·（－5） ＝
3n（n－m）
－5 ＝
－3n2－3mn
5 .
上面两道题的约分是否正确？如果不正确，错在哪里？怎样改正？4
一、选择题
1．下列各式中，成立的是( )
A.
x
y＝
x2
y2 B.
x
y＝
xy
x＋y
C.
x
y＝
x＋a
y＋a D.
x
y＝
x＋ax
y＋ay(a≠－1)
2．若分式
2a
a＋b中 a，b 的值同时扩大为原来的 10 倍，则此分式的值( )
A．是原来的 20 倍 B．是原来的 10 倍
C．是原来的
1
10 D．不变
3．计算
x2－9
x－3 的结果是( )
A．x－3 B．x＋3
C.
x－9
3 D.
x＋3
x
4.不改变分式
0.5x－1
0.3x＋2的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，则所得的结果
为( )
A.
5x－1
3x＋2 B.
5x－10
3x＋20
C.
2x－1
3x＋2 D.
x－2
3x＋20
5．有下列分式：
12x2y
3x ，
x－y
x2－y2，
x2＋y2
2（x＋y），
y－2x
2x－y，
a2－2a＋1
1－a2 ，其中最简分式有( )
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
二、填空题
6．填空：(1)
1
a＋1＝
a＋1
；
(2)
a2－4
a2＋4a＋4＝
a－2
.
7．2016·南充计算：
xy2
xy ＝________．
8．2016·无锡化简
2x＋6
x2－9得________．
9．化简：
(x＋2 )
2
－(x－2 )
2
x ＝________．5
三、解答题
10．下列各式正确吗？如果不正确，请写出正确结果．
(1)
a2－2a＋1
1－a ＝1－a(a≠1)；
(2)
3x－4y
8xy－6x2＝
1
2x(x ≠ 0且x ≠
4
3y).
11．约分：
(1)
15xy2
25y3z； (2)
12xy2＋9xyz
3x2y ；
(3)
m3－m
4m＋4； (4)
9a2＋24ab＋16b2
3a＋4b .
12．2016·广州已知 A＝
（a＋b）2－4ab
ab（a－b）2 (a≠0，b≠0 且 a≠b)，化简 A.
13.今年某厂的生产总值逐月增长，每月的增长率都为 p.求今年 3 月该厂的生产总值与
1，2 月份这两个月生产总值之和的比．若 p＝5%，这个比值是多少？6
综合运用光明中学有两块边长为 x 米的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮，方式
一：如图 5－2－1①，在正方形空地上留两条宽为 2m 米的路；方式二：如图②，在正方形空
地四周各留一块边长为 m 米的正方形空地植树，其余种植草皮．学校准备两种方式各用 5000
元购进草皮．
图 5－2－1
(1)写出按图①，②两种方式购买草皮的单价；
(2)当 x＝14，m＝2 时，求按两种方式购买草皮的单价各是多少．(结果均保留整数)7
详解详析
教材的地位
和作用
分式的基本性质是分式的约分、通分、运算等变形的依据．本节通过用分
数的基本性质引入分式的基本性质，易于使学生理解、接受，同时能让学生
了解类比思想在学习中的运用
知识
与技
能
1.理解分式的基本性质；
2.会进行分式的约分
过程
与方
法
让学生在体会学习分式基本性质的必要性及其意义的过程中了解类比、归
纳、分类等思想方法
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
让学生经历观察、实验、推理等活动，类比、归纳得到分式的基本性质及
运用其进行恒等变形时的注意要点，并且在这一过程中获得一些探索数学性
质的初步体验
重点 分式的基本性质及利用分式的基本性质进行约分
难点 对符号法则的理解和应用及当分子、分母是多项式时的约分教学
重点
难点 易错
点 在分式变形的过程中，符号较容易出错
【预习效果检测】
1．C [解析]发现题目中隐含的条件是解本题的关键.
a
b成立已隐含着条件 b≠0，当分子、
分母同乘 a，必须附加条件 a≠0，因此 A 项不一定成立，而 C 项成立.
a＋1
a－1中隐含着 a－
1≠0，但等号右边的式子中分子、分母同乘(a＋1)，若要等式成立，则必须附加条件 a＋
1≠0.D 项中分子应为 ab＋a.故选 C.
2．(1)
5a2
2b (2)x＋1 (3)
a－2
a＋2
[解析] (1)原式＝
2ab·5a2
2ab·2b ＝
5a2
2b .
(2)原式＝
(x＋1 )（x－1）
x－1 ＝x＋1.
(3)原式＝
(a＋2 )（a－2）
(a＋2 )
2
＝
a－2
a＋2.
3．C
【重难互动探究】8
例 1 解：(1)原式＝
(1
2a＋
1
3b) × 12
(2a
3 －
1
4b) × 12
＝
6a＋4b
8a－3b.
(2)原式＝
(4
5x＋0.25y) × 20
(1
2x－0.6y) × 20
＝
16x＋5y
10x－12y.
例 2 解：(1)
1＋x＋x2
1＋x－x2＝
1＋x＋x2
－（x2－x－1）＝－
1＋x＋x2
x2－x－1.
(2)
－1＋a－a2
－1－a2－a3＝
－（1－a＋a2）
－（1＋a2＋a3）＝
1－a＋a2
1＋a2＋a3.
例 3 解：(1)原式＝－
4xy3·4x
4xy3·5y＝－
4x
5y.
(2)原式＝
3anb2·9a3
3anb2·2b ＝
9a3
2b .
(3)原式＝
6（x－a）2·x
6（x－a）2·4y（x－a）＝
x
4y（x－a）.
(4)原式＝
（a＋3）2
（a＋3）（a－3）＝
a＋3
a－3.
【课堂总结反思】
[反思] 两个都不正确．(1)约分不彻底；(2)最后一步符号错误．
改正：(1)
6y2
4xy＝
2y·3y
2y·2x＝
3y
2x.
(2)
15n（m－n）2
－25（n－m）＝
5（n－m）·3n（n－m）
5（n－m）·（－5） ＝
3n（n－m）
－5 ＝
3mn－3n2
5 .
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．D 2.D
3．[解析] B
x2－9
x－3 ＝
（x＋3）（x－3）
x－3 ＝x＋3.
4．B 5.A
6．[答案] (1)a2＋2a＋1 或(a＋1)2
(2)a＋2
[解析] 根据分式的基本性质求解．比较等式两边分子和分母的变化，再将待填的分母或
分子作相应的变形即可．(1)中分子由 1 到 a＋1，显然是由 1 乘(a＋1)得到的，相应地，分
母 a＋1 也应乘(a＋1)，得(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1，故填 a2＋2a＋1；(2)中分子 a2－4＝(a
＋2)(a－2)，分子由(a＋2)(a－2)到 a－2，显然是除以了(a＋2)，相应地，分母也应除以(a
＋2)，故填 a＋2.
7．[答案] y
8．[答案]
2
x－3
9．[答案] 89
[解析] 根据完全平方公式，可得原式＝
x2＋4x＋4－x2＋4x－4
x ＝
8x
x ＝8.
10．解：(1)正确．
(2)不正确，正确的结果为
3x－4y
8xy－6x2＝－
1
2x(x ≠ 0且x ≠
4
3y).
11．解：(1)
15xy2
25y3z＝
5y2·3x
5y2·5yz＝
3x
5yz.
(2)
12xy2＋9xyz
3x2y ＝
3xy（4y＋3z）
3xy·x ＝
4y＋3z
x .
(3)
m3－m
4m＋4＝
m（m＋1）（m－1）
4（m＋1） ＝
m（m－1）
4 .
(4)
9a2＋24ab＋16b2
3a＋4b ＝
（3a＋4b）2
3a＋4b ＝3a＋4b.
[点评] 分式约分的关键是找出分子与分母的公因式．如果分式的分子、分母是几个因式
的积的形式，要约去系数的最大公约数及相同因式的最低次幂；如果分子、分母是多项式，
要先对分子、分母进行因式分解，然后再约分．
12．解：A＝
a2－2ab＋b2
ab（a－b）2＝
1
ab.
13．解：设 1 月份的生产总值为 a，则 2 月份的生产总值 a(1＋p)，3 月份的生产总值为
a(1＋p)2.
故今年 3 月份该厂的生产总值与 1，2 月份这两个月生产总值之和的比为
a（1＋p）2
a＋a（1＋p）＝
（1＋p）2
2＋p .
当 p＝5%时，
（1＋p）2
2＋p ＝
441
820.
[数学活动]
解：(1)图①种植草皮的面积为(x－2m)2，图②种植草皮的面积为 x2－4m2.
按图①方式购买草皮的单价为
5000
（x－2m）2元/米 2；图②方式购买草皮的单价为
5000
x2－4m2元
/米 2.
(2)
1
2x＝14，m＝2 时，按方式一购买草皮的单价是 50 元/米 2，按方式二购买草皮的单价
是 28 元/米 2.
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