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跨学科结合与高中衔接问题
一、选择题
1.（2018•山东菏泽•3 分）规定：在平面直角坐标系中，如果点 P 的坐标为（m，n），向量
可以用点 P 的坐标表示为： =（m，n）．已知： =（x 1，y1）， =（x2，y2），如果
x1•x2+y1•y2=0，那么 点与 互相垂直．下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A． =（3，2）， =（﹣2，3） B． =（ ﹣1，1）， =（ +1，1）
C． =（3，20180）， =（﹣ ，﹣1） D． =（ ，﹣ ）， =（（ ）2，4）
【考点】LM：*平面向量；24：立方根；6E：零指数幂．
【分析】根据垂直的向量满足的条件判断即可；
【解答】解：A、∵3×（﹣2）+2×3=0，∴ 与 垂直，故本选项符合题意；
B、∵（ ﹣1）（ +1）+1×1=2≠0，∴ 与 不垂直，故本选项不符合题意；
C、∵3×（﹣ ）+1×（﹣1）=﹣2≠，∴ 与 不垂直，故本选项不符合题意；
D、∵ ×（ ）2+（﹣ ）×4=2≠0，∴ 与 不垂直，故本选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查平面向量、平面向量垂直的条件，解题的关键是理解题意，属于中考常考
题型．
2． （2018 年湖北省宜昌市 3 分）如图，一块砖的 A，B，C 三个面的面积比是 4：2：1．如
果 A，B，C 面分别向下放在地上，地面所受压强为 p1，p2，p3，压强的计算公式为 p= ，其
中 P 是压强，F 是压力，S 是受力面积，则 p1，p2，p3，的大小关系正确的是（ ）
A．p1＞p2＞p3 B．p1＞p3＞p2 C．p2＞p1＞p3 D．p3＞p2＞p1
【分析】直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【解答】解：∵p= ，F＞0，
∴p 随 S 的增大而减小，
∵A，B，C 三个面的面积比是 4：2：1，
∴p1，p2，p3 的大小关系是：p3＞p2＞p1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确把握反比例函数的性质是解题关键．2
3.（2018·浙江临安·3 分）中央电视台 2 套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，
两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ ）个正方体的重量．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】列方程解应用题
【分析】由图可知：2 球体的重量=5 圆柱体的重量，2 正方体的重量=3 圆柱体的重量．可设
一个球体重 x，圆柱重 y，正方体重 z．根据等量关系列方程即可得出答案．
【解答】解：设一个球体重 x，圆柱重 y，正方体重 z．
根据等量关系列方程 2x=5y；2z=3y，消去 y 可得：x= z，
则 3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．
故选：D．
【点评】此题的关键是找到球，正方体，圆柱体的关系．
4.
题号依次顺延
二.填空题
(要求同上一.)
1.（2018·重庆(A)·4 分）为实现营养的合理搭配，某电商推出适合不同人群的甲、乙两
种袋装混合粗粮。其中，甲种粗粮每袋装有 3 千克 粗粮，1 千克 粗粮，1 千克 粗粮；
乙种粗粮每袋装有 1 千克 粗粮，2 千克 粗粮，2 千克 粗粮。甲、乙两种袋装粗粮每袋
成本价分别为袋中 三种粗粮的成本价之和。已知 粗粮每千克成本价为 6 元，甲种
粗粮每袋售价为 58.5 元，利润率为 30%，乙种粗粮的利润率为 20%。若这两种袋装粗粮的销
售利润率达到 24%，则该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 。
（ ）
【考点】不定方程的应用、销售问题.
【解析】 用表格列出甲、乙两种粗粮的成分：
品种
类别
甲 乙
A B C
A B C
, ,A B C A
-= 100%商品的售价 商品的成本价商品的利润率 商品的成本价
×3
3 1
1 2
1 2
甲中 总成本价为 元，根据甲的售价、利润率列出等式 ，
可知甲总成本为 45 元。 甲中 与 总成本为 元。 乙中 与 总成本为
元。 乙总成本为 元。
设甲销售 袋，乙销售 袋使总利润率为 24%.
。
【点评】 本题考查了不定方程的应用，其中包括销售问题，难度较高。
2. （2018•湖南省永州市•4 分）对于任意大于 0 的实数 x、y，满足：log2（x•y）=log2x+log2y，
若 log22=1，则 log216= 4 ．
【分析】利用 log2（x•y）=log2x+log2y 得到 log216=log22+log22+log22+log22，然后根据
log22=1 进行计算．
【解答】解：log216=log2（2•2•2•2）=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4．
故答案为 4．
【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
三.解答题
(要求同上一)
1 ． （ 2018• 四 川 凉 州 •4 分 ） 我 们 常 用 的 数 是 十 进 制 数 ， 如
4657=4×103+6×102+5×101+7×100，数要用 10 个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、
6 、 7 、 8 、 9 ， 在 电 子 计 算 机 中 用 的 二 进 制 ， 只 要 两 个 数 码 ： 0 和 1 ， 如 二 进 制 中
110=1×22+1×21+0×20 等于十进制的数 6，110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20
等于十进制的数 53．那么二进制中的数 101011 等于十进制中的哪个数？
【分析】利用新定义得到 101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20，然后根据乘方的
A
B
C
A 3 6=18× 58.5- 0.3甲总成本价
甲总成本价
=
∴ B C 45-18 27= ∴ B C
27 2 54× = ∴ 54 1 6 60+ × =
a b
(72-60) (58.5 45) 100% 24%45 60
+ − × =+
b a
a b
13.5 12 10.8 14.4 2.7 2.4
: 8:9
+ = + ⇒ =
∴ =
a b a b a b
a b4
定义进行计算．
【解答】解：101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43，
所以二进制中的数 101011 等于十进制中的 43．
【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘
方．
2. （2018•北京•7 分）对于平面直角坐标系 中的图形 ， ，给出如下定义： 为图
形 上任意一点， 为图形 上任意一点，如果 ， 两点间的距离有最小值，那么
称这个最小值为图形 ， 间的“闭距离”，记作 （ ， ）．
已知点 （ ，6）， （ ， ）， （6， ）．
（1）求 （点 ， ）；
（2）记函数 （ ， ）的图象为图形 ，若 （ ， ）
，直接写出 的取值范围；
（3） 的圆心为 （，0），半径为 1．若 （ ， ） ，直接写出的取值
范围．
【解析】（1）如下图所示：
∵ （ ， ）， （6， ）
∴ （0， ）
∴ （ ， ）
（2） 或
xOy M N P
M Q N P Q
M N d M N
A 2− B 2− 2− C 2−
d O ABC△
y kx= 1 1x− ≤ ≤ 0k ≠ G d G ABC△
1= k
T T d T ABC△ 1=
y
xO
D CB
A
B 2− 2− C 2−
D 2−
d O ABC△ 2OD= =
1 0k−
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