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一元一次方程及其应用
一、选择题
1． （2018·湖北省武汉·3 分）将正整数 1 至 2018 按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
【分析】设中间数为 x，则另外两个数分别为 x﹣1、x+1，进而可得出三个数之和为 3x，令
其分别等于四个选项中数，解之即可得出 x 的值，由 x 为整数、x 不能为第一列及第八列数，
即可确定 x 值，此题得解．
【解答】解：设中间数为 x，则另外两个数分别为 x﹣1、x+1，
∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x．
根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，
解得：x=673，x=672 （舍去），x=672，x=671．
∵673=84×8+1，
∴2019 不合题意，舍去；
∵672=84×8，
∴2016 不合题意，舍去；
∵671=83×7+7，
∴三个数之和为 2013．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确
列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2018•湖北恩施•3 分）一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件
盈利 20%，另一件亏损 20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利 20 元 C．亏损 10 元 D．亏损 30 元
【分析】设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据利润=销售收入﹣进价，即可分别得出关于
x、y 的一元一次方程，解之即可得出 x、y 的值，再用 240﹣两件衣服的进价后即可找出结
论．
【解答】解：设两件衣服的进价分别为 x、y 元，2
根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y，
解得：x=100，y=150，
∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．3． （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 已知 ，下列变形错误的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】由 得，3a=2b，
A. 由 得 ，所以变形正确，故本选项错误；
B. 由 得 3a=2b，所以变形错误，故本选项正确；
C. 由 可得 ，所以变形正确，故本选项错误；
D.3a=2b 变形正确，故本选项错误.
故选 B.
二.填空题
(要求同上一.)
1. （2018•四川成都•3 分）已知 ，且 ，则 的值为________．
【答案】12
【考点】解一元一次方程，比例的性质
【解析】【解答】解：设 则 a=6k，b=5k，c=4k
∵
∴6k+5k-8k=6，解之：k=2
∴a=6×2=12
故答案为：123
【 分 析 】 设 ， 分 别 用 含 k 的 式 子 表 示 出 a 、 b 、 c 的 值 ， 再 根 据
，建立关于 k 的方程，求出 k 的值，就可得出 a 的值。
2. （2018·湖南省常德·3 分）5 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里
都想好一个实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两
个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 4 的人心里想的数是
9 ．
【分析】设报 4 的人心想的数是 x，则可以分别表示报 1，3，5，2 的人心想的数，最后通
过平均数列出方程，解方程即可．
【解答】解：设报 4 的人心想的数是 x，报 1 的人心想的数是 10﹣x，报 3 的人心想的数是
x﹣6，报 5 的人心想的数是 14﹣x，报 2 的人心想的数是 x﹣12，
所以有 x﹣12+x=2×3，
解得 x=9．
故答案为 9．
【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的
运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解起来比较容易，但从哪
下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且，多设几个未知数，
把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报
2 的人心想的数可以是 6﹣x，从而列出方程 x﹣12=6﹣x 求解．
3.（2018·山东临沂·3 分）任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？
我 们 以 无 限 循 环 小 数 0. 为 例 进 行 说 明 ： 设 0. =x ， 由 0. =0.7777… 可 知 ，
l0x=7.7777…，所以 l0x﹣x=7，解方程，得 x= ，于是．得 0. = ．将 0. 写成分数的
形式是 ．
【分析】设 0. =x，则 36. =100x，二者做差后可得出关于 x 的一元一次方程，解之即
可得出结论．
【解答】解：设 0. =x，则 36. =100x，4
∴100x﹣x=36，
解得：x= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的
关键．
三.解答题
(要求同上一)
1.（2018·湖北省宜昌·10 分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要
污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿
江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进
行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n
计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12．经过三年治理，境内长江水
质明显改善．
（1）求 n 的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年
来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个相
同的数值 a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因
甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5．求第一年用甲方案治
理降低的 Q 值及 a 的值．
【分析】（1）直接利用第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12，得出等式求
出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，
三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家得出等式求出答案；
（3）利用 n 的值即可得出关于 a 的等式求出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1= ，m2=﹣ （舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则 Q=20.5．5
设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，
第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5a=9.5
x=20.5
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据
题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
2. （2018•安徽•分） 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一
鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有 100 头鹿进城，每家取一头
鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问
题.
【答案】城中有 75 户人家.
【解析】【分析】设城中有 x 户人家，根据今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，
剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，可得方程 x+ x=100，解方程即可得.
【详解】设城中有 x 户人家，由题意得
x+ x=100，
解得 x=75，
答：城中有 75 户人家.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行
求解是关键.
3. （2018·广东·7 分）某公司购买了一批 A、B 型芯片，其中 A 型芯片的单价比 B 型芯片
的单价少 9 元，已知该公司用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数
相等．
（1）求该公司购买的 A、B 型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了 200 条，且购买的总费用为 6280 元，求购买了多少条 A 型芯片？
【分析】（1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（x﹣9）元/条，根据数量
=总价÷单价结合用 3120 元购买 A 型芯片的条数与用 4200 元购买 B 型芯片的条数相等，即
可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200﹣a）条 B 型芯片，根据总价=单价×数量，即可得
出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设 B 型芯片的单价为 x 元/条，则 A 型芯片的单价为（x﹣9）元/条，6
根据题意得： = ，
解得：x=35，
经检验，x=35 是原方程的解，
∴x﹣9=26．
答：A 型芯片的单价为 26 元/条，B 型芯片的单价为 35 元/条．
（2）设购买 a 条 A 型芯片，则购买（200﹣a）条 B 型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，
解得：a=80．
答：购买了 80 条 A 型芯片．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
4（2018 年四川省内江市）某商场计划购进 A，B 两种型号的手机，已知每部 A 型号手机的
进价比每部 B 型号手机进价多 500 元，每部 A 型号手机的售价是 2500 元，每部 B 型号手机
的售价是 2100 元．
（1）若商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手机 20 部，求 A、B 两种型号的手
机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5 万元采购 A、B 两种型号的手机共 40 部，
且 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍．
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应
用．
【分析】（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据每部 A 型号手机的进
价比每部 B 型号手机进价多 500 元以及商场用 50000 元共购进 A 型号手机 10 部，B 型号手
机 20 部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数
不超过 7.5 万元以及 A 型号手机的数量不少于 B 型号手机数量的 2 倍列出不等式组，求出不
等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
②设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元．列出 w 关于 a 的函数解析式，根据一
次函数的性质即可求解．7
【解答】解：（1）设 A、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，
根据题意得： ，
解得： ，
答：A、B 两种型号的手机每部进价各是 2000 元、1500 元；
（2）①设 A 种型号的手机购进 a 部，则 B 种型号的手机购进（40﹣a）部，
根据题意得： ，
解得： ≤a≤30，
∵a 为解集内的正整数，
∴a=27，28，29，30，
∴有 4 种购机方案：
方案一：A 种型号的手机购进 27 部，则 B 种型号的手机购进 13 部；
方案二：A 种型号的手机购进 28 部，则 B 种型号的手机购进 12 部；
方案三：A 种型号的手机购进 29 部，则 B 种型号的手机购进 11 部；
方案四：A 种型号的手机购进 30 部，则 B 种型号的手机购进 10 部；
②设 A 种型号的手机购进 a 部时，获得的利润为 w 元．
根据题意，得 w=500a+600（40﹣a）=﹣100a+24000，
∵﹣10＜0，
∴w 随 a 的增大而减小，
∴当 a=27 时，能获得最大利润．此时 w=﹣100×27+24000=21700（元）．
因此，购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时，获利最大．
答：购进 A 种型号的手机 27 部，购进 B 种型号的手机 13 部时获利最大．
【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，
找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．
题号依次顺延.
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