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正多边形与圆
一、选择题
1.（2018·山东威海·3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD
为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A．18+36π B．24+18π C．18+18π D．12+18π
【 分 析 】 作 FH ⊥ BC 于 H ， 连 接 FH ， 如 图 ， 根 据 正 方 形 的 性 质 和 切 线 的 性 质 得
BE=CE=CH=FH=6，则利用勾股定理可计算出 AE=6 ，通过 Rt△ABE≌△EHF 得∠AEF=90°，
然后利用图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF 进行计算．
【解答】解：作 FH⊥BC 于 H，连接 FH，如图，
∵点 E 为 BC 的中点，点 F 为半圆的中点，
∴BE=CE=CH=FH=6，
AE= =6 ，
易得 Rt△ABE≌△EHF，
∴∠AEB=∠EFH，
而∠EFH+∠FEH=90°，
∴∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠AEF=90°，
∴图中阴影部分的面积=S 正方形 ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF
=12×12+ •π•62﹣ ×12×6﹣ •6 ×6
=18+18π．
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．2
2．（2018•湖北荆门•3 分）下列命题错误的是（ ）
A．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形
B．矩形一定有外接圆
C．对角线相等的菱形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】A、任意多边形的外角和为 360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可；
B、判断一个四边形是否有外接圆，要看此四边形的对角是否互补，矩形的对角互补，一定
有外接圆；
C、根据正方形的判定方法进行判断；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】解：A、一个多边形的外角和为 360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形
是四边形，故此选项正确；
B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定
有外接圆，故此选项正确；
C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形
可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误；
本题选择错误的命题，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，四点共圆问题，正方形的判定，平行
四边形的判定，掌握这些定理和性质是关键．
3. （2018·四川自贡·4 分）已知圆锥的侧面积是 8πcm2，若圆锥底面半径为 R（cm），母
线长为 l（cm），则 R 关于 l 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判
断即可．
【解答】解：由题意得， lR=8π，
则 R= ，
故选：A．3
【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题
的关键．
二.填空题
(要求同上一.)
1.（2018·四川宜宾·3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出
了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为
1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积，则 S= 2 ．（结果保留根
号）
【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．
【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性质结合 OM
的长度可求出 AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出 S 的值．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴△ABO 为等边三角形，
∵⊙O 的半径为 1，
∴OM=1，
∴BM=AM= ，
∴AB= ，
∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求
出正六边形的边长是解题的关键．
2 （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边4
长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等
边三角形的边长为 ，则勒洛三角形的周长为__________．
【答案】
【解析】【分析】勒洛三角形的周长为 3 段相等的弧，计算弧长即可.
【解答】勒洛三角形的周长为 3 段相等的弧，每段弧的长度为：
则勒洛三角形的周长为：
故答案为：
【点评】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.
3.（2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为
正六边形，则该几何体的侧面积为__________．
【答案】108
【解析】试题分析：三视图就是主视图（正视图）、俯视图、左视图的总称。从物体的前面
向后面投射所得的视图称主视图（正视图）——能反映物体的前面形状；从物体的上面向下
面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状；从物体的左面向右面投射所得的视
图称左视图——能反映物体的左面形状。利用知识点：主府长对正，主左高平齐，府左宽相
等，得该几何体底面正六边形，AB=4，正六边形被分成 6 个全等的等边三角形，边长 AC=25
该几何体的表面积为 2 +6 =48+12
考点：1、三视图，2、等边三角形，3、正六边形
4. （2018•株洲市•3 分）如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是⊙O 的内接多边形，则
∠BOM＝_______.
【答案】48°
【解析】分析：连接 OA，分别求出正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 的中心角，结合图形计
算即可．
详解：连接 OA，
∵五边形 ABCDE 是正五边形，
∴∠AOB= =72°，
∵△AMN 是正三角形，
∴∠AOM= =120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为：48°．
点睛：本题考查的是正多边形与圆的有关计算，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的
关键．6
三.解答题
(要求同上一)
1.
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