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综合性问题
一、选择题
1．（2018·湖北省孝感·3 分）如图，△ABC 是等边三角形，△ABD 是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD 于点
E，连 CD 分别交 AE，AB 于点 F，G，过点 A 作 AH⊥CD 交 BD 于点 H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△
AFG∽△CBG；⑤AF=（ ﹣1）EF．其中正确结论的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP 和
∠FAG 度数，从而得出∠AGF 度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH 即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB
即可得证；⑤设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x，设 EF=a，由△ADF≌△BAH 知 BH=AF=2x，根据△ABE 是等腰
直角三角形之 BE=AE=a+2x，据此得出 EH=a，证△PAF∽△EAH 得 = ，从而得出 a 与 x 的关系即可判断．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD 是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
由∠AFG≠∠AGF 知 AF≠AG，故②错误；
记 AH 与 CD 的交点为 P，2
由 AH⊥CD 且∠AFG=60°知∠FAP=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF 和△BAH 中，
∵ ，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF=AH，故③正确；
∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，
∴△AFG∽△CBG，故④正确；
在 Rt△APF 中，设 PF=x，则 AF=2x、AP= = x，
设 EF=a，
∵△ADF≌△BAH，
∴BH=AF=2x，
△ABE 中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，
∴BE=AE=AF+EF=a+2x，
∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，
∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，
∴△PAF∽△EAH，
∴ = ，即 = ，
整理，得：2x2=（ ﹣1）ax，
由 x≠0 得 2x=（ ﹣1）a，即 AF=（ ﹣1）EF，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与
相似三角形的判定与性质等知识点．
2．（2018·山东潍坊·3 分）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，∠B=60°，动点 P 以 1 厘米秒的速度自 A 点出发沿3
AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止．若点 P、Q 同时出发运
动了 t 秒，记△BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】应根据 0≤t＜2 和 2≤t＜4 两种情况进行讨论．把 t 当作已知数值，就可以求出 S，从而得到函数的解析式，
进一步即可求解．
【解答】解：当 0≤t＜2 时，S=2t× ×（4﹣t）=﹣ t2+4 t；
当 2≤t＜4 时，S=4× ×（4﹣t）=﹣2 t+8 ；
只有选项 D 的图形符合．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关
键．
3. （2018•安徽•4 分） 如图，直线 都与直线 l 垂直，垂足分别为 M，N，MN=1，正方形 ABCD 的边长为 ，对
角线 AC 在直线 l 上，且点 C 位于点 M 处，将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N 重合为止，记点 C 平移的距
离为 x，正方形 ABCD 的边位于 之间分的长度和为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由已知易得 AC=2，∠ACD=45°，分 0≤x≤1、1
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