1
解直角三角形
一、选择题
1． （2018•山东淄博•4 分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了 100 米，其铅直高度上升了 15 米．在用科学计算
器求坡角 α 的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；T6：计算器—三角函数．
【分析】先利用正弦的定义得到 sinA=0.15，然后利用计算器求锐角 α．
【解答】解：sinA= = =0.15，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求
角需要用第二功能键．
2． （2018 年湖北省宜昌市 3 分）如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的
一点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35°，则小河宽 PA 等于（ ）
A．100sin35°米 B．100sin55°米 C．100tan35°米 D．100tan55°米
【分析】根据正切函数可求小河宽 PA 的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100 米，∠PCA=35°，2
∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构
造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得
到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
3. (2018 四川省绵阳市)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向，继续向南航行 30
海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）
（参考数据： ）（ ）
A. 4.64 海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21 海里
【答案】B
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作 BD⊥AC，取 BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设 BD=x，
在 Rt△ABD 中，
∴AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，
∴x= = ≈5.49，3
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图如图所示：作 BD⊥AC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出 BA=BE，AD=DE，
设 BD=x，Rt△ABD 中，根据勾股定理得 AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，由 AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，解之即可得出答案.
二.填空题
1. （2018·重庆(A)·4 分）如图，把三角形纸片折叠，使点 、点 都与点 重合，折痕分别为 ， ，得到
，若 厘米，则 的边 的长为 厘米。
【考点】解直角三角形、勾股定理
【解析】 过 作 于 。
由翻折得
【点评】 本题考查了解直角三角形中的翻折问题，其中包括勾股定理的应用，难度中等
2. （2018•湖北黄石•3 分）如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°，如果无人机距地面
高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间的距离是 100（1+ ） 米．（结果保留根号）
【分析】如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在 Rt△ACD 中利用正切定义可计算出 AD=100，在 Rt△BCD 中
利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可．
【解答】解：如图，
∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°，
∴∠A=60°，∠B=45°，
在 Rt△ACD 中，∵tanA= ，
B C A DE FG
30∠ = °AGE 2 3= =AE EG ABC BC
E ⊥EH AG H
2 3, 30 .
32 2 cos30 2 2 3 6.2
= = ∠ = °
∴ = = ⋅ ° = × × =
AE EG AGE
GA AH AE
2 3, 6.= = = =BE AE GC GA
6 4 3.∴ = + + = +BC BE EG GC4
∴AD= =100，
在 Rt△BCD 中，BD=CD=100 ，
∴AB=AD+BD=100+100 =100（1+ ）．
答：A、B 两点间的距离为 100（1+ ）米．
故答案为 100（1+ ）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关
联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．
3. （2018·山东泰安·3 分）如图，在△ABC 中，AC=6，BC=10，tanC= ，点 D 是 AC 边上的动点（不与点 C 重合），过
D 作 DE⊥BC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，设 CD=x，△DEF的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为 S=
x2 ．
【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、CE 的长，求出△BED 的面积即可解决问题．
【解答】解：（1）在 Rt△CDE 中，tanC= ，CD=x
∴DE= x，CE= x，
∴BE=10﹣ x，
∴S△BED= ×（10﹣ x）• x=﹣ x2+3x．
∵DF=BF，
∴S= S△BED= x2 ，
故答案为 S= x2 ．
【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4（2018·山东潍坊·3 分）如图，一艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，5
继续航行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30°方向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M 在北偏东
60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度继续航行 小
时即可到达．（结果保留根号）
【分析】如图，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N，通过解直角△AQP、直角△BPQ
求得 PQ 的长度，即 MN 的长度，然后通过解直角△BMN 求得 BM 的长度，则易得所需时间．
【解答】解：如图，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N，
在直角△AQP 中，∠PAQ=45°，则 AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ﹣90．
在直角△BPQ 中，∠BPQ=30°，则 BQ=PQ•tan30°= PQ（海里），
所以 PQ﹣90= PQ，
所以 PQ=45（3+ ）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）
在直角△BMN 中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）
所以 = （小时）
故答案是： ．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关
知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
5．（2018 年江苏省泰州市•3 分）如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得6
到△A'B'C，P 为线段 A′B'上的动点，以点 P 为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为
或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当⊙P 与 AB 相切于点 T 时，
【解答】解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ．
设 PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ = ，
∴ = ，
∴r= ．
如图 2 中，当⊙P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A′、B′、T 共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ = ，7
∴ = ，
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P 的半径为 或 ．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6（2018·湖北省武汉· 3 分）如图．在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边 AB 的中点，E 是边 BC 上一点．若 DE 平分
△ABC 的周长，则 DE 的长是 ．
【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CN⊥AM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三角形中位线定理得到 DE= AM，
根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出 AN，计算即可．
【解答】解：延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CN⊥AM 于 N，
∵DE 平分△ABC 的周长，
∴ME=EB，又 AD=DB，
∴DE= AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN= ，
∴AM= ，
∴DE= ，8
故答案为： ．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助
性是解题的关键．
题号依次顺延
三.解答题
1. ．（2018•四川凉州•8 分）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路 MN，已知 C 点周围 200 米范围内
为原始森林保护区，在 MN 上的点 A 处测得 C 在 A 的北偏东 45°方向上，从 A 向东走 600 米到达 B 处，测得 C 在点 B 的
北偏西 60°方向上．
（1）MN 是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据： ≈1.732）
（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前 5 天完成，需将原定的工作效率提高 25%，则原计划完成这项工
程需要多少天？
【分析】（1）要求 MN 是否穿过原始森林保护区，也就是求 C 到 MN 的距离．要构造直角三角形，再解直角三角形；
（2）根据题意列方程求解．
【解答】解：（1）理由如下：
如图，过 C 作 CH⊥AB 于 H．
设 CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAH=45°，∠CBA=30°．
在 Rt△ACH 中，AH=CH=x，
在 Rt△HBC 中，tan∠HBC=9
∴ ，
∵AH+HB=AB，
∴x+ x=600，
解得 x= ≈220（米）＞200（米）．
∴MN 不会穿过森林保护区．
（2）设原计划完成这项工程需要 y 天，则实际完成工程需要（y﹣5）天．
根据题意得： =（1+25%）×
解得：y=25．
经检验知：y=25 是原方程的根．
答：原计划完成这项工程需要 25 天．
【点评】考查了构造直角三角形解斜三角形的方法和分式方程的应用．
2. （2018•山西•8 分）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱
组 合 而 成 ， 全 桥 共 设 13 对 直 线 型 斜 拉 索 ， 造型 新 颖 ， 是 “ 三 晋大
地 ”的一种象 征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到 桥面的
距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时 间 借 助 该 桥 斜
拉 索完成 了 实 地 测 量.
测 量 结 果 如 下
表.
项 目 内 容
课 题 测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图
说明：两侧最长斜拉索 AC，BC 相交于点 C， 分别与
桥面交于 A，B 两点，且点 A，B，C 在 同一竖直平面内
.10
∠ A 的度数 ∠ B 的度数 AB 的 长 度
测 量 数 据 38° 28° 234 米11
... ...
(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据求斜拉索顶端点C到AB的距（参考数据 sin 38° ≈
0.6 ，cos 38° ≈ 0.8 ，
tan 38° ≈ 0.8 ，sin 28° ≈ 0.5 ，cos 28° ≈ 0.9 ，tan 28° ≈ 0.5 ）；
(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项
目（写出一个即可）.
【 考 点 】三角函数的应用
【 解 析 】
（1）解 ：过 点 C 作 CD ⊥ AB 于 点 D.
设 CD= x 米 ， 在 Rt ∆ ADC 中 ，
∠ ADC=90°，∠ A=38°.
AD + BD = AB = 234 . ∴ x + 2x = 234.
解 得 x = 72 .
答 ： 斜 拉 索 顶 端 点 C 到 AB 的 距 离 为 72 米.
（2）解：答案不唯一，还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，
指导教 师 ， 活 动 感 受 等.
3.（2018•山东枣庄•4 分）如图，某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31°，AB 的长为
12 米，则大厅两层之间的高度为 6.18 米．（2018•山东枣庄•结果保留两个有效数字）
【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】
5
412
【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得 BC 的长，从而可以解答本题．
【解答】解：在 Rt△ABC 中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515=6.18（米），
答：大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.18 米．
故答案为：6.18．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
4（2018•四川成都•8 分）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于 2018 年 5 月成
功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的
北偏东 方向，且于航母相距 80 海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛 位于它的
北偏东 方向.如果航母继续航行至小岛 的正南方向的 处，求还需航行的距离
的 长 . （ 参 考 数 据 ： ， ， ，
， ， ）
【答案】解：由题知： ， ， .在 中，
， ， （海里）.
在 中， ， ， （海里）.
答：还需要航行的距离 的长为 20.4 海里.
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意可得出 ， ， ，再利用
解直角三角形在 Rt△ACD 和 Rt△BCD 中，先求出 CD 的长，再求出 BD 的长，即可解答。13
5 （2018•山东菏泽•6 分）2018 年 4 月 12 日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用
直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园 A 处的俯角为 30°，
B 处的俯角为 45°，如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD 为 200 米，点 A、B、D 在同一条直
线上，则 A、B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求
差即可．
【解答】解：∵EC∥AD，
∴∠A=30°，∠CBD=45°，CD=200，
∵CD⊥AB 于点 D．
∴在 Rt△ACD 中，∠CDA=90°，tanA= ，
∴AD= ，
在 Rt△BCD 中，∠CDB=90°，∠CBD=45°
∴DB=CD=200，
∴AB=AD﹣DB=200 ﹣200，
答：A、B 两点间的距离为 200 ﹣200 米．14
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用 CD 为直角△ABC 斜边上
的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出 AD 与 BD 的长．
6 （2018•江西•8 分）图 1 是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个
活页门的右轴固定在门框 上，通过推动左侧活页门开关；图 2 是其俯视图简化示意图，已
知轨道 ,两扇活页门的宽 ,点 固定，当点 在 上左右运动
时， 与 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).
(1)若 ,求 的长；
(2)当点 从点 向右运动 60 时，求点 在此过程中运动的路径长.
参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π 取 3.14
图 1 图 2
【解析】 （1）如图，作 OH⊥AB 于 H
∵OC=OB=60 ∴CH=BH
在 Rt△OBH 中
∵ cos∠OBC=
∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4
∴AC=AB－2BH≈120－2×38.4=43.2
∴AC 的长约为 43.2cm.
★★
C BA
O
HC BA
O
C BA
O15
（2）∵AC=60 ∴BC=60 ∵OC=OB=60
∴OC=OB=BC=60
∴△OBC 是等边三角形
∴OC 弧长=
=62.8
∴点 O 在此过程中运动的路径长约为 62.8cm.
7．（2018·湖南省常德·7 分）图 1 是一商场的推拉门，已知门的宽度 AD=2 米，且两扇门
的大小相同（即 AB=CD），将左边的门 ABB1A1 绕门轴 AA1 向里面旋转 37°，将右边的门 CDD1C1
绕门轴 DD1 向外面旋转 45°，其示意图如图 2，求此时 B 与 C 之间的距离（结果保留一位小
数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， ≈1.4）
【分析】作 BE⊥AD 于点 E，作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，则 EM=BC，在 Rt△
ABE、Rt△CDF 中可求出 AE、BE、DF、FC 的长度，进而可得出 EF 的长度，再在 Rt△MEF 中
利用勾股定理即可求出 EM 的长，此题得解．
【解答】解：作 BE⊥AD 于点 E，作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 到点 M，使得 BE=CM，如图所
示．
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1．
在 Rt△ABE 中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．
在 Rt△CDF 中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形 BEMC 为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．16
在 Rt△MEF 中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM= ≈1.4，
∴B 与 C 之间的距离约为 1.4 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，构造直
角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长度是解题的关键．
8（2018·湖南省衡阳·8 分）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东 30°
的方向行走 2000 米到达石鼓书院 A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位
于宾馆南偏东 45°方向的雁峰公园 B 处，如图所示．
（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
（2）若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否
到达宾馆？
【解答】解：（1）作 CP⊥AB 于 P，
由题意可得出：∠A=30°，AP=2000 米，
则 CP= AC=1000 米；
（2）∵在 Rt△PBC 中，PC=1000，∠PBC=∠BPC=45°，
∴BC= PC=1000 米．
∵这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，
∴他到达宾馆需要的时间为 =10 ＜15，
∴他在 15 分钟内能到达宾馆．17
9.（2018·山东临沂·7 分）如图，有一个三角形的钢架 ABC，∠A=30°，∠C=45°，AC=2
（ +1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1m 的圆形门？
【分析】过 B 作 BD⊥AC 于 D，解直角三角形求出 AD= xm，CD=BD=xm，得出方程，求出方
程的解即可．
【解答】解：
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门，
理由是：过 B 作 BD⊥AC 于 D，
∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，
∴求出 DB 长和 2.1m 比较即可，
设 BD=xm，
∵∠A=30°，∠C=45°，
∴DC=BD=xm，AD= BD= xm，
∵AC=2（ +1）m，
∴x+ x=2（ +1），
∴x=2，
即 BD=2m＜2.1m，
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1m 的圆形门．
【点评】本题考查了解直角三角形，解一元一次方程等知识点，能正确求出 BD 的长是解此
题的关键．18
10（2018·山东青岛·6 分）某区域平面示意图如图，点 O 在河的一侧，AC 和 BC 表示两条
互相垂直的公路．甲勘测员在 A 处测得点 O 位于北偏东 45°，乙勘测员在 B 处测得点 O 位
于南偏西 73.7°，测得 AC=840m，BC=500m．请求出点 O 到 BC 的距离．
参考数据：sin73.7°≈ ，cos73.7°≈ ，tan73.7°≈
【分析】作 OM⊥BC 于 M，ON⊥AC 于 N，设 OM=x，根据矩形的性质用 x 表示出 OM、MC，根据
正切的定义用 x 表示出 BM，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作 OM⊥BC 于 M，ON⊥AC 于 N，
则四边形 ONCM 为矩形，
∴ON=MC，OM=NC，
设 OM=x，则 NC=x，AN=840﹣x，
在 Rt△ANO 中，∠OAN=45°，
∴ON=AN=840﹣x，则 MC=ON=840﹣x，
在 Rt△BOM 中，BM= = x，
由题意得，840﹣x+ x=500，
解得，x=480，
答：点 O 到 BC 的距离为 480m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是
解题的关键．
11. （2018•甘肃白银，定西，武威）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，
中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式.如图， ， 两地19
被大山阻隔，由 地到 地需要绕行 地，若打通穿山隧道，建成 ， 两地的直达高铁，可
以缩短从 地到 地的路程.已知： ， ， 公里，求隧道打通后
与打通前相比，从 地到 地的路程将约缩短多少公里？（参考数据： ， ）
【答案】隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里．
【解析】【分析】过点 C 作 CD⊥AB, 垂足为 D, 在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，分别解直角三角
形即可.
【解答】如图，过点 C 作 CD⊥AB, 垂足为 D,
在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中，
∵ ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640．
∴ CD=320，AD= ，
∴ BD=CD=320，BC= ,
∴ AC+BC= ，
∴ AB=AD+BD= ，
∴ 1088-864=224（公里）．
答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里．
【点评】考查解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.
12（2018•安徽•4 分） 为了测量竖直旗杆 AB 的高度，某综合实践小组在地面 D 处竖直放
置标杆 CD，并在地面上水平放置个平面镜 E，使得 B，E，D 在同一水平线上，如图所示.该
小组在标杆的 F 处通过平面镜 E 恰好观测到旗杆顶 A(此时∠AEB=∠FED).在 F 处测得旗杆
顶 A 的仰角为 39.3°，平面镜 E 的俯角为 45°，FD=1.8 米，问旗杆 AB 的高度约为多少米?
(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)20
【答案】旗杆 AB 高约 18 米.
【解析】【分析】如图先证明△FDE∽△ABE，从而得 ，在Rt△FEA 中，由tan∠AFE= ，
通过运算求得 AB 的值即可.
【详解】如图，∵FM//BD，∴∠FED=∠MFE=45°，
∵∠DEF=∠BEA，∴∠AEB=45°，
∴∠FEA=90°，
∵∠FDE=∠ABE=90°，
∴△FDE∽△ABE，∴ ，
在 Rt△FEA 中，∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°，tan84.3°= ，
∴ ，
∴AB=1.8×10.02≈18，
答：旗杆 AB 高约 18 米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，得到
是解题的关键.
13.（2018•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线
都垂直，，垂足分别为点 A、点 B 和点 C，（高速路右侧边缘）， 上的点 M 位于点 A 的北偏东21
30°方向上，且 BM＝ 千米， 上的点 N 位于点 M 的北偏东 方向上，且 ，MN=
千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.
（1）求 之间的距离
（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需
要多少小时？（结果用分数表示）
【答案】（1）2；（2） 小时.
【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；
（2）利用 tan30°= ，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得
出 AN 的长，即可得出答案．
详解：（1）过点 M 作 MD⊥NC 于点 D，
∵cosα= ，MN=2 千米，
∴cosα= ，
解得：DM=2（km），
答：l2 和 l3 之间的距离为 2km；
（2）∵点 M 位于点 A 的北偏东 30°方向上，且 BM= 千米，
∴tan30°= ，
解得：AB=3（km），
可得：AC=3+2=5（km），22
∵MN=2 km，DM=2km，
∴DN= =4 （km），
则 NC=DN+BM=5 （km），
∴AN= =10（km），
∵城际火车平均时速为 150 千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 小时．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键．
14（2018•株洲市）如图，在 Rt△ABM 和 Rt△ADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中
AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT= ,求 的值
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；
（2）证明△DNT∽△AMT，可得 ，由 AT= AD，推出 ，在Rt△ABM 中，tan∠ABM=
．
详解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由 Rt△ABM≌Rt△AND 易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴23
∵AT= AD，
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM= ．
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直
角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
15 （2018 年江苏省南京市）如图，为了测量建筑物 AB 的高度，在 D 处树立标杆 CD，标杆
的高是 2m，在 DB 上选取观测点 E、F，从 E 测得标杆和建筑物的顶部 C、A 的仰角分别为
58°、45°．从 F 测得 C、A 的仰角分别为 22°、70°．求建筑物 AB 的高度（精确到
0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
【分析】在△CED 中，得出 DE，在△CFD 中，得出 DF，进而得出 EF，列出方程即可得出建
筑物 AB 的高度；
【解答】解：在 Rt△CED 中，∠CED=58°，
∵tan58°= ，
∴DE= ，
在 Rt△CFD 中，∠CFD=22°，
∵tan22°= ，
∴DF= ，
∴EF=DF﹣DE= ，
同理：EF=BE﹣BF= ，
∴ ，24
解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物 AB 的高度约为 5.9 米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
问题．
16（2018 年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D，AD=3，BD=4，
求△ABC 的面积．
解：设△ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x．
根据切线长定理，得 AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得 x2+7x=12．
所以 S△ABC= AC•BC
= （x+3）（x+4）
= （x2+7x+12）
= ×（12+12）
=12．
小颖发现 12 恰好就是 3×4，即△ABC 的面积等于 AD 与 BD 的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC 的内切圆与 AB 相切于点 D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC 的面积等于 mn．
倒过来思考呢？
（2）若 AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用 m、n 表示△ABC 的面积．25
【分析】（1）由切线长知 AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）
2=（m+n）2，即 x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由 AC•BC=2mn 得（x+m）（x+n）=2mn，即 x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理
求证即可；
（3）作 AG⊥BC，由三角函数得 AG=AC•sin60°= （x+m），CG=AC•cos60°= （x+m）、
BG=BC﹣CG=（x+n）﹣ （x+m），在 Rt△ABG 中，根据勾股定理可得 x2+（m+n）x=3mn，最
后利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC 的内切圆分别与 AC、BC 相切于点 E、F，CE 的长为 x，
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图 1，
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以 S△ABC= AC•BC
= （x+m）（x+n）
= [x2+（m+n）x+mn]
= （mn+mn）26
=mn，
（2）由 AC•BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
（3）如图 2，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，
在 Rt△ACG 中，AG=AC•sin60°= （x+m），CG=AC•cos60°= （x+m），
∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣ （x+m），
在 Rt△ABG 中，根据勾股定理可得：[ （x+m）]2+[（x+n）﹣ （x+m）]2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC= BC•AG
= ×（x+n）• （x+m）
= [x2+（m+n）x+mn]
= ×（3mn+mn）
= mn．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应27
用及勾股定理及其逆定理等知识点．
17（2018•株洲市）如图，在 Rt△ABM 和 Rt△ADN 的斜边分别为正方形的边 AB 和 AD，其中
AM=AN.
(1)求证：Rt△ABM≌Rt△AND
(2)线段 MN 与线段 AD 相交于 T，若 AT= ,求 的值
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】分析：（1）利用 HL 证明即可；
（2）证明△DNT∽△AMT，可得 ，由 AT= AD，推出 ，在Rt△ABM 中，tan∠ABM=
．
详解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°
∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．
（2）由 Rt△ABM≌Rt△AND 易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM
∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°
∴∠DAM=∠AND
∴ND∥AM
∴△DNT∽△AMT
∴
∵AT= AD，
∴
∵Rt△ABM
∴tan∠ABM= ．
点睛：本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直
角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题28
18（2018 年江苏省泰州市•10 分）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋
都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中 L 为楼间水平距离，H 为南侧楼房高度，H1
为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡 EF 朝北，EF 长为 15m，坡度为 i=1：0.75，山坡顶部平地 EM 上有一高为 22.5m
的楼房 AB，底部 A 到 E 点的距离为 4m．
（1）求山坡 EF 的水平宽度 FH；
（2）欲在 AB 楼正北侧山脚的平地 FN 上建一楼房 CD，已知该楼底层窗台 P 处至地面 C 处的
高度为 0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F 处至少多远？
【分析】（1）在 Rt△EFH 中，根据坡度的定义得出 tan∠EFH=i=1：0.75= = ，设 EH=4x，
则 FH=3x，由勾股定理求出 EF= =5x，那么 5x=15，求出 x=3，即可得到山坡 EF
的水平宽度 FH 为 9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于 1.25，列出不等式 ≥1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在 Rt△EFH 中，∵∠H=90°，
∴tan∠EFH=i=1：0.75= = ，
设 EH=4x，则 FH=3x，
∴EF= =5x，
∵EF=15，
∴5x=15，x=3，
∴FH=3x=9．
即山坡 EF 的水平宽度 FH 为 9m；
（2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13，
H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9，
∴日照间距系数=L：（H﹣H1）= = ，29
∵该楼的日照间距系数不低于 1.25，
∴ ≥1.25，
∴CF≥29．
答：要使该楼的日照间距系数不低于 1.25，底部 C 距 F 处 29m 远．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，勾股定理，将实际问题转化为数
学问题是解题的关键．
19（2018 年江苏省宿迁）如图，为了测量山坡上一棵树 PQ 的高度，小明在点 A 处利用测角
仪测得树顶 P 的仰角为 450 ，然后他沿着正对树 PQ 的方向前进 100m 到达 B 点处，此时测
得树顶 P 和树底 Q 的仰角分别是 600 和 300 ， 设 PQ 垂直于 AB，且垂足为 C.
（1）求∠BPQ 的度数；
（2）求树 PQ 的高度（结果精确到 0.1m， ）
【答案】（1）解：依题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，
在 Rt△PBC 中，
∵∠PBC=60°,∠PCB=90°,
∴∠BPQ=30°,
（2）解：设 CQ=x，
在 Rt△QBC 中，
∵∠QBC=30°,∠QCB=90°,
∴BQ=2x，BC= x，
又∵∠PBC=60°,∠QBC=30°，30
∴∠PBQ=30°,
由（1）知∠BPQ=30°,
∴PQ=BQ=2x，
∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，
又∵∠A=45°，
∴AC=PC，
即 3x=10+ x，
解得：x= ,
∴PQ=2x= ≈15.8（m）.
答：树 PQ 的高度约为 15.8m.
【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含 30 度角的直角三角形
【解析】【分析】(1）根据题意题可得：∠A=45°,∠PBC=60°,∠QBC=30°,AB=100m，在 Rt
△PBC 中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ 度数.
（2）设 CQ=x，在 Rt△QBC 中，根据 30 度所对的直角边等于斜边的一半得 BQ=2x，由勾股定
理得 BC= x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°,由等角对等边得 PQ=BQ=2x，用含 x 的代
数式表示 PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+ x，又∠A=45°，得出 AC=PC，建立方程解之求出
x，再将 x 值代入 PQ 代数式求之即可.
20（2018•株洲市）下图为某区域部分交通线路图，其中直线 ，直线 与直线
都垂直，，垂足分别为点 A、点 B 和点 C，（高速路右侧边缘）， 上的点 M 位于点 A 的北偏东
30°方向上，且 BM＝ 千米， 上的点 N 位于点 M 的北偏东 方向上，且 ，MN=
千米，点 A 和点 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.
（1）求 之间的距离31
（2）若城际火车平均时速为 150 千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需
要多少小时？（结果用分数表示）
【答案】（1）2；（2） 小时.
【解析】分析：（1）直接利用锐角三角函数关系得出 DM 的长即可得出答案；
（2）利用 tan30°= ，得出 AB 的长，进而利用勾股定理得出 DN 的长，进而得
出 AN 的长，即可得出答案．
详解：（1）过点 M 作 MD⊥NC 于点 D，
∵cosα= ，MN=2 千米，
∴cosα= ，
解得：DM=2（km），
答：l2 和 l3 之间的距离为 2km；
（2）∵点 M 位于点 A 的北偏东 30°方向上，且 BM= 千米，
∴tan30°= ，
解得：AB=3（km），
可得：AC=3+2=5（km），
∵MN=2 km，DM=2km，
∴DN= =4 （km），
则 NC=DN+BM=5 （km），
∴AN= =10（km），
∵城际火车平均时速为 150 千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 小时．
点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AN 的长是解题关键．
21. （2018·新疆生产建设兵团·10 分）如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆32
AB 的高度，站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端 A 的仰角为
30°．已知旗杆与教学楼的距离 BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．
【分析】根据在Rt△ACF 中，tan∠ACF= ，求出 AD 的值，再根据在Rt△BCD 中，tan∠BCD=
，求出 BD 的值，最后根据 AB=AD+BD，即可求出答案．
【解答】解：在 Rt△ACF 中，
∵tan∠ACF= ，
∴tan30°= ，
∴ = ，
∴AF=3 m，
在 Rt△BCD 中，
∵∠BCD=45°，
∴BD=CD=9m，
∴AB=AD+BD=3 +9（m）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角
三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
22. （2018·四川宜宾·8 分）某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB、CD 均垂直于地
面，点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B、E
间距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高（结果保留根号）33
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】作 CH⊥AB 于 H，得到 BD=CH，设 CD=x 米，根据正切的定义分别用 x 表示出 HC、
ED，根据正切的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：作 CH⊥AB 于 H，
则四边形 HBDC 为矩形，
∴BD=CH，
由题意得，∠ACH=30°，∠CED=30°，
设 CD=x 米，则 AH=（30﹣x）米，
在 Rt△AHC 中，HC= = （30﹣x），
则 BD=CH= （30﹣x），
∴ED= （30﹣x）﹣10，
在 Rt△CDE 中， =tan∠CED，即 = ，
解得，x=15﹣ ，
答：立柱 CD 的高为（15﹣ ）米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰
角俯角的定义是解题的关键．
23. （2018·天津·10 分）如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 为 ，从甲的顶部 处34
测得乙的顶部 处的俯角为 ，测得底部 处的俯角为 ，求甲、乙建筑物的高度 和
（结果取整数）.参考数据： ， .
【答案】甲建筑物的高度 约为 ，乙建筑物的高度 约为 .
【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利
用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
详解：如图，过点 作 ，垂足为 .
则 .
由题意可知， ， ， ， ， .
可得四边形 为矩形.
∴ ， .
在 中， ，
∴ .
在 中， ，
∴ .
∴ .
∴ .
答：甲建筑物的高度 约为 ，乙建筑物的高度 约为 .
点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关35
系、三角函数的定义解题，难度一般．
24. （2018·四川自贡·8 分）如图，在△ABC 中，BC=12，tanA= ，∠B=30°；求 AC 和 AB
的长．
【分析】如图作 CH⊥AB 于 H．在 Rt△求出 CH、BH，这种 Rt△ACH 中求出 AH、AC 即可解决
问题；
【解答】解：如图作 CH⊥AB 于 H．
在 Rt△BCH 中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH= BC=6，BH= =6 ，
在 Rt△ACH 中，tanA= = ，
∴AH=8，
∴AC= =10，
∴AB=AH+BH=8+6 ．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.（2018·浙江衢州·8 分）“五•一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头
A 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家 C 在自己的北偏东 45°方向，于是沿河边笔直的
绿道 l 步行 200 米到达 B 处，这时定位显示小陈家 C 在自己的北偏东 30°方向，如图所示，
根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少米才能到达桥头
D 处（精确到 1 米）（备用数据： ≈1.414， ≈1.732）36
【考点】解直角三角形
【分析】根据题意表示出 AD，DC 的长，进而得出等式求出答案．
【解答】解：如图所示：可得：∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m，则设 BD=x，故 DC=
x．
∵AD=DC，∴200+x= x，解得：x=100（ ﹣1）≈73，答：小明还需沿绿道继续直走 73
米才能到达桥头 D 处．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AD=DC 是解题的关键．
26.（2018·浙江舟山·10 分）如图 1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB，P 为立
柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F 为 PD 中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠
DPE=20°。当点 P 位于初始位置 P0 时，点 D 与 C 重合（图 2），根据生活经验，当太阳光线
与 PE 垂直时，遮阳效果最佳。37
（1）上午 10：00 时，太阳光线与地面的夹角为 65°（图 3），为使遮阳效果最佳，点 P 需
从 P0 上调多少距离？（结果精确到 0.1m）
（2）中午 12：00 时，太阳光线与地面垂直（图 4），为使遮阳效果最佳，点 P 在（1）的基
础上还需上调多少距离？（结果精确到 0.1m）（参考数：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，
tan70°≈2.75， ≈1.41， ≈1.73）
【考点】等腰三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）求 P 上升的高度，设上升后的点 P 为 P1 ， 即求 P0P1=CP0-CP1 的值，
其中 CP0=2，即求 CP1 的长度，由已知可得 P1F=CF=1，且可已知求出∠C=45°，从而可得△CP1F
为等腰直角三角形，由勾股定理求出 CP1 即可；
（2）与（1）同理即求 CP2 的长度，因为△CP1F 为等腰三角形，由三线合一定理，作底中的
垂线，根据解直角三角形的方法求出底边的长即可
【解答】（1）如图 2，当点 P 位于初始位置 P0 时，CP0=2m。
如图 3，10：00 时，太阳光线与地面的夹角为 65°，点 P 上调至 P1 处，38
∠1=90°，∠CAB=90°，
∴∠AP1E=115°，
∴∠CPE=65°．
∵∠DP1E=20°，
∴∠CP1F=45°
∵CF=P1F=1m，
∴∠C=∠CP1F=45°，
∴△CP1F 为等腰直角三角形，
∴CP1= m，
P0P1=CP0-CP1=2- ≈0.6m，
即点 P 需从 P0 上调 0.6m
（2）如图 4，中午 12：00 时，太阳光线与 PE，地面都垂直，点 P 上调至 P2 处，
∴P2E∥AB
∵∠CAB=90°，
∴∠CP2E=90°
∵∠DP2E=20°，
∴∠CP2F=∠CP2E-∠DP2E=70°
∵CF=P2F=1m，得△CP2F 为等腰三角形，
∴∠C=∠CP2F=7039
过点 F 作 FG⊥CP2 于点 G，
∴GP2=P2F·cos70°=1×0.34=0.34m
∴CP2=2GP2=0.68m，
∴P1P2=CP1-CP2= -0.68≈0.7
即点 P 在（1）的基础上还需上调 0.7m。
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的应用.
27（2018•广西桂林•8 分）如图所示，在某海域，一般指挥船在 C 处收到渔船在 B 处发出的
求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 B 处位于 C 处的南偏西 45°方向上，且 BC=60
海里；指挥船搜索发现，在 C 处的南偏西 60°方向上有一艘海监船 A，恰好位于 B 处的正西
方向.于是命令海监船 A 前往搜救，已知海监船 A 的航行速度为 30 海里/小时，问渔船在 B
处需要等待多长时间才能得到海监船 A 的救援？（参考数据： ， ，
结果精确到 0.1 小时）
【答案】1.0 小时.
【解析】分析：延长 AB 交南北轴于点 D，则 AB⊥CD 于点 D，通过解直角三角形 BDC 和 ADC，
求出 BD、CD 和 AD 的长，继而求出 AB 的长，从而可以解决问题.
详解：因为 A 在 B 的正西方，延长 AB 交南北轴于点 D，则 AB⊥CD 于点 D
∵∠BCD=45°，BD⊥CD
∴BD=CD
在 Rt△BDC 中，∵cos∠BCD= ，BC=60 海里
即 cos45°= ，解得 CD= 海里40
∴BD=CD= 海里
在 Rt△ADC 中，∵tan∠ACD=
即 tan60°= = ，解得 AD= 海里
∵AB=AD－BD
∴AB= － =30（ ）海里
∵海监船 A 的航行速度为 30 海里/小时
则渔船在 B 处需要等待的时间为 = = ≈2.45－1.41=1.04≈1.0 小时
∴渔船在 B 处需要等待 1.0 小时
点睛：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角形，
然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
28. (2018 四川省眉山市 5 分 ) 知识改变世界，科技改变生活。导航装备的不断更新极大方
便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑龙滩（用 C 表示）开展社会实践活动，车到
达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏
东 60°方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37°方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B、C 两地的
距离.（参考数据：sin53°≈ ,cos53°≈ ，tan53°≈ )
【答案】解：过点 B 作 BD⊥ AC，
依题可得：
∠BAD=60°，∠CBE=37°,AC=13（千米），
∵BD⊥ AC，
∴∠ABD=30°，∠CBD=53°,41
在 Rt△DCB 中，
∴tan∠CBD= ,
即 tan53°= ，
设 CD=4x，BD=3x，
∴BC=5x，
又∵AC=13，
∴AD=13-4x，
在 Rt△DBA 中，
∴tan∠BAD=tan60°= ,
即： ,
解得：x=4- ,
∴BC=5x=5（4- ）=20-5 （千米）.
答：B、C 两地的距离为 20-5 千米.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点 B 作 BD⊥ AC，根据三角形内角和结合已知条件得∠ABD=30°，∠
CBD=53°,在 Rt△DCB 中，根据正切定义得 tan∠CBD= ,即 tan53°= ，由此设
CD=4x，BD=3x，根据勾股定理得 BC=5x，则 AD=13-4x；在 Rt△DBA 中，根据正切定义得 tan∠
BAD=tan60°= ,代入数值解方程得 x=4- ,又 BC=5x 从而求出 B、C 两地距离.
29．（2018 年四川省内江市）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 AC 的高为 11 米，
灯杆 AB 与灯柱 AC 的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 DE 长为 18
米，从 D，E 两处测得路灯 B 的仰角分别为 α 和 β，且 tanα=6，tanβ= ，求灯杆 AB 的
长度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．42
【分析】过点 B 作 BF⊥CE，交 CE 于点 F，过点 A 作 AG⊥AF，交 BF 于点 G，则 FG=AC=11．设 BF=3x
知 EF=4x、DF= ，由 DE=18 求得 x=4，据此知BG=BF﹣GF=1，再求得∠BAG=∠BAC﹣∠
CAG=30°可得 AB=2BG=2．
【解答】解：过点 B 作 BF⊥CE，交 CE 于点 F，过点 A 作 AG⊥AF，交 BF 于点 G，则 FG=AC=11．
由题意得∠BDE=α，tan∠β= ．
设 BF=3x，则 EF=4x
在 Rt△BDF 中，∵tan∠BDF= ，
∴DF= = = x，
∵DE=18，
∴ x+4x=18．
∴x=4．
∴BF=12，
∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．
∴AB=2BG=2，
答：灯杆 AB 的长度为 2 米．
【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角
形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．
30．（2018 四川省泸州市 8 分）如图，甲建筑物 AD，乙建筑物 BC 的水平距离 AB 为 90m，且
乙建筑物的高度是甲建筑物高度的 6 倍，从 E（A，E，B 在同一水平线上）点测得 D 点的仰43
角为 30°，测得 C 点的仰角为 60°，求这两座建筑物顶端 C、D 间的距离（计算结果用根号
表示，不取近似值）．
【分析】在直角三角形中，利用余弦函数用 AD 表示出 AE、DE，用 BC 表示出 CE、BE．根据
BC=6AD，AE+BE=AB=90m，求出 AD、DE、CE 的长．在直角三角形 DEC 中，利用勾股定理求出 CD
的长．
【解答】解：由题意知：BC=6AD，AE+BE=AB=90m
在 Rt△ADE 中，tan30°= ，sin30°=
∴AE= = AD，DE=2AD；
在 Rt△BCE 中，tan60°= ，sin60°= ，
∴BE= =2 AD，CE= =4 AD；
∵AE+BE=AB=90m
∴ AD+2 AD=90
∴AD=10 （m）
∴DE=20 m，CE=120m
∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∠DEA=30°，∠CEB=60°，
∴∠DEC=90°
∴CD= = =20 （m）
答：这两座建筑物顶端 C、D 间的距离为 20 m．44
【点评】本题考查了解直角三角形的应用及勾股定理．题目难度不大，解决本题的关键是利
用 BC=6AD，AE+BE=AB=90m 求出 AD 的长．
31.（2018•河南•9 分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低
两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠
间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答。
如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm，低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为
155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹
角∠CAE 为 82.4°，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°，求高、低杠间的水平
距离 CH 的长。
（ 结 果 精 确 到 1cm ， 参 考 数 据 ： sin82.4°≈0.991 ， cos82.4°≈0.132 ，
tan82.4°≈7.500。sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）45
32．（2018•湖北恩施•8 分）如图所示，为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离，小明在 A
处测得 C 在北偏东 30°方向上，然后向正东方向前进 100 米至 B 处，测得此时 C 在北偏西
15°方向上，求旗台与图书馆之间的距离．（结果精确到 1 米，参考数据 ≈1.41，
≈1.73）
【分析】先根据题目给出的方向角．求出三角形各个内角的度数，过点 B 作 BE⊥AC 构造直
角三角形．利用三角函数求出 AE、BE，再求和即可．
【解答】解：由题意知：∠WAC=30°，∠NBC=15°，
∴∠BAC=60°，∠ABC=75°，
∴∠C=45°
过点 B 作 BE⊥AC，垂足为 E．
在 Rt△AEB 中，
∵∠BAC=60°，AB=100 米
∴AE=cos∠BAC×AB
= ×100=50（米）
BE=sin∠BAC×AB
= ×100=50 （米）
在 Rt△CEB 中，
∵∠C=45°，BE=50 （米）
∴CE=BE=50 =86.5（米）
∴AC=AE+CE46
=50+86.5
=136.5（米）
≈137 米
答：旗台与图书馆之间的距离约为 137 米．
【点评】本题考查了方向角和解直角三角形．题目难度不大，过点 B 作 AC 的垂线构造直角
三角形是解决本题的关键．
33.（2018•湖北黄冈•7 分）如图，在大楼 AB 正前方有一斜坡 CD，坡角∠DCE=30°，楼高
AB=60 米，在斜坡下的点 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60°，在斜坡上的 D 处测得楼顶 B 的仰角
为 45°，其中点 A,C,E 在同一直线上.
（1）求坡底 C 点到大楼距离 AC 的值；
（2）求斜坡 CD 的长度.
（第 21 题图）
【考点】解直角三角形的应用，三角函数.
【分析】（1）在在 Rt△ABC 中，利用三角函数，可求出 AC 的值；
（2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，则四边形 AEDF 为矩形；设 CD=x 米，表示出 DE= x 米，CE=
x 米，得出 BF=DF=AB-AF=60- x，根据 DF=AE=AC+CE 列解方程即可.
【解答】解：（1）在 Rt△ABC 中，AB=60 米，∠ACB=60°，
2
1
2
3
2
147
∴AC= =20 米.
（2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，则四边形 AEDF 为矩形，
∴AF=DE，DF=AE
设 CD=x 米，在 Rt△CDE 中，DE= x 米，CE= x 米
在 Rt△BDF 中，∠BDF=45°，
∴BF=DF=AB-AF=60- x（米）
∵DF=AE=AC+CE，
∴20 + x=60- x
解得：x=80 -120（米）
（或解：作 BD 的垂直平分线 MN，构造 30°直角三角形，由 BC=40 解方程可得 CD=80
-120）
答：（1）坡底 C 点到大楼距离 AC 的值为 20 米；（2）斜坡 CD 的长度为 80 -120 米.
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，构造直角三角形是解本
题的关键．
34．（2018•湖北荆门•10 分）数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与
文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置 P 与岚光阁阁顶 A、湖心亭 B 在同一铅垂
面内，P 与 B 的垂直距离为 300 米，A 与 B 的垂直距离为 150 米，在 P 处测得 A、B 两点的俯
角分别为 α、β，且 tanα= ，tanβ= ﹣1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离 AB．（计
算结果若含有根号，请保留根号）
【分析】过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，过点 A 作 AE⊥PD 于点 E，利用直角三角形的性质和三角
函数解答即可．
【解答】解：过点 P 作 PD⊥QB 于点 D，过点 A 作 AE⊥PD 于点 E．
°60tan
AB 3
2
1
2
3
2
1
3 2
3
2
1
3
3 3
3 348
由题意得：∠PBD=β，∠PAE=α，AC=150，PD=300，
在 Rt△PBD 中， ，
∵∠AED=∠EDC=∠ACD=90°，
∴四边形 EDCA 为矩形，
∴DC=EA，ED=AC=150，
∴PE=PD﹣ED=300﹣150=150，
在 Rt△PEA 中， ，
∴
在 Rt△ACB 中， （米）
答：岚光阁与湖心亭之间的距离 AB 为 450 米．
【点评】此题考查了俯角的定义．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．
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