2018年中考数学真题分类汇编第一期专题24多边形与平行四边形试题含解析.doc

1 多边形与平行四边形 一、选择题 1．（2018·湖北省宜昌·3 分）如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点 O 旋转 180° 得到△CDA，点 A，B，C 的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点 D 的坐标为 （　　） A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5） 【分析】依据四边形 ABCD 是平行四边形，即可得到 BD 经过点 O，依据 B 的坐标为（﹣2， ﹣2），即可得出 D 的坐标为（2，2）． 【解答】解：∵点 A，C 的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2）， ∴点 O 是 AC 的中点， ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD 经过点 O， ∵B 的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴D 的坐标为（2，2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特 殊性质来求出旋转后的点的坐标． 2． （2018·山东临沂·3 分）如图，在▱ABCD 中，AB=10，AD=6，AC⊥BC．则 BD=　 4 　． 【分析】由 BC⊥AC，AB=10，BC=AD=6，由勾股定理求得 AC 的长，得出 OA 长，然后由勾股2 定理求得 OB 的长即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=6，OB=D，OA=OC， ∵AC⊥BC， ∴AC= =8， ∴OC=4， ∴OB= =2 ， ∴BD=2OB=4 故答案为：4 ． 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思 想的应用． 3. （2018•北京•2 分） 若正多边形的一个外角是 ，则该正多边形的内角和为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，正多边形的边数为 ，其内角和为 ． 【考点】正多边形，多边形的内外角和． 4（2018•安徽•4 分） □ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上不同的两点，下列条件中，不能得 出四边形 AECF 一定为平行四边形的是（ ） A. BE=DF B. AE=CF C. AF//CE D. ∠BAE=∠DCF 【答案】B 【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得. 【详解】A、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形 AECF 是平行四边形，故符合题意； 60° 360° 540° 720° 900° 360 660n °= =° ( )2 180 720n − ⋅ ° = °3 C、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC， ∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE， ∴AF CE，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴AE CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意， 故选 B. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理 与性质定理是解题的关键. 5 （2018·四川宜宾·3 分）在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E，则△AED 的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【考点】L5：平行四边形的性质． 【分析】想办法证明∠E=90°即可判断． 【解答】解：如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠EAD= ∠BAD，∠ADE= ∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE= （∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠E=90°， ∴△ADE 是直角三角形，4 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，属于中考常考题型． 6（2018·四川自贡·4 分）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，若△ADE 的 面积为 4，则△ABC 的面积为（　　） A．8 B．12 C．14 D．16 【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE∥BC，DE= BC，再利用相似三角形的判定与性 质得出答案． 【解答】解：∵在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC，DE= BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵ = ， ∴ = ， ∵△ADE 的面积为 4， ∴△ABC 的面积为：16， 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽ △ABC 是解题关键． 7 （2018·台湾·分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P，使 得∠BPC 与∠A 互补，其作法分别如下： （甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求； （乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即 为所求5 对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（　　） A．两人皆正确 B．两人皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠ BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断； 乙： 根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°． 【解答】解：甲：如图 1，∵AC=AP， ∴∠APC=∠ACP， ∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180°， ∴甲错误； 乙： 如图 2，∵AB⊥PB，AC⊥PC， ∴∠ABP=∠ACP=90°， ∴∠BPC+∠A=180°， ∴乙正确， 故选：D． 【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题 意是解题的关键． 8. （2018·台湾·分）如图，△ABC、△FGH 中，D、E 两点分别在 AB、AC 上，F 点在 DE 上，6 G、H 两点在 BC 上，且 DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若 BG：GH：HC=4：6：5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（　　） A．2：1 B．3：2 C．5：2 D．9：4 【分析】只要证明△ADE∽△FGH，可得 =（ ）2，由此即可解决问题； 【解答】解：∵BG：GH：HC=4：6：5，可以假设 BG=4k，GH=6k，HC=5k， ∵DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC， ∴四边形 BGFD 是平行四边形，四边形 EFHC 是平行四边形， ∴DF=BG=4k，EF=HC=5k，DE=DF+EF=9k，∠FGH=∠B=∠ADE，∠FHG=∠C=∠AED， ∴△ADE∽△FGH， ∴ =（ ）2=（ ）2= ． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键 是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 9．（2018·浙江宁波·4 分）已知正多边形的一个外角等于 40°，那么这个正多边形的边数 为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点】多边形的外角和定理 【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 【解答】解：正多边形的一个外角等于 40°，且外角和为 360°， 则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度． 10．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是 AB 中点，7 且 AE+EO=4，则▱ABCD 的周长为（　　） A．20 B．16 C．12 D．8 【分析】首先证明：OE= BC，由 AE+EO=4，推出 AB+BC=8 即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AE=EB， ∴OE= BC， ∵AE+EO=4， ∴2AE+2EO=8， ∴AB+BC=8， ∴平行四边形 ABCD 的周长=2×8=16， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握 三角形的中位线定理，属于中考常考题型． 二.填空题 1. （2018·浙江临安·3 分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示， 然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中∠BAC=　36　度． 【考点】多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵∠ABC= =108°，△ABC 是等腰三角形， ∴∠BAC=∠BCA=36 度． 【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． n 边形的内角和为：180°（n﹣2）．8 　 2（2018 年江苏省南京市•2 分）如图，在△ABC 中，用直尺和圆规作 AB、AC 的垂直平分线， 分别交 AB、AC 于点 D、E，连接 DE．若 BC=10cm，则 DE=　5　cm． 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 DE 是△ABC 的中位线，进而得出答案． 【解答】解：∵用直尺和圆规作 AB、AC 的垂直平分线， ∴D 为 AB 的中点，E 为 AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE= BC=5cm． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出 DE 是△ABC 的中 位线是解题关键． 3 （2018•株洲市•3 分）如图，O 为坐标原点，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB＝90°，点 B 的坐标为 ，将该三角形沿 轴向右平移得到 ，此时点 的坐标为 ， 则线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为______. 【答案】4 【解析】分析：利用平移的性质得出 AA′的长，根据等腰直角三角形的性质得到 AA′对应 的高，再结合平行四边形面积公式求出即可． 详解：∵点 B 的坐标为（0，2 ），将该三角形沿 x 轴向右平移得到 Rt△O′A′B′，此时 点 B′的坐标为（2 ，2 ）， ∴AA′=BB′=2 ， ∵△OAB 是等腰直角三角形， ∴A（ ， ）， ∴AA′对应的高 ， ∴线段 OA 在平移过程中扫过部分的图形面积为 2 × =4．9 故答案为：4． 点睛：此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边面积求法，利用平移 规律得出对应点坐标是解题关键． 4 （2018•株洲市•3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，且 BD＝CD，过点 A 作 AM⊥BD 于点 M，过点 D 作 DN⊥AB 于点 N，且 DN＝ ，在 DB 的延长线上取一点 P，满足∠ABD＝∠MAP ＋∠PAB，则 AP＝_____. 【答案】6 【解析】分析：根据 BD=CD，AB=CD，可得 BD=BA，再根据 AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到 DN=AM=3 ，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM 是等腰直角三角形，进而 得到 AP= AM=6． 详解：∵BD=CD，AB=CD， ∴BD=BA， 又∵AM⊥BD，DN⊥AB， ∴DN=AM=3 ， 又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP， ∴∠P=∠PAM， ∴△APM 是等腰直角三角形， ∴AP= AM=6， 故答案为：6． 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的 关键是判定△APM 是等腰直角三角形． 5. （2018 年江苏省泰州市•3 分）如图，▱ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，若 AD=6， AC+BD=16，则△BOC 的周长为　14　． 【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题； 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，10 ∵AC+BD=16， ∴OB+OC=8， ∴△BOC 的周长=BC+OB+OC=6+8=14， 故答案为 14． 【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型． 6．（2018 年江苏省泰州市•3 分）如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD=∠ ABC=90°，E、F 分别为 AC、CD 的中点，∠D=α，则∠BEF 的度数为　270°﹣3α　（用含 α 的式子表示）． 【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°﹣α，根据角平分线的定义、三角形的外角 的性质得到∠CEB=180°﹣2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠D=α， 结合图形计算即可． 【解答】解：∵∠ACD=90°，∠D=α， ∴∠DAC=90°﹣α， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC=90°﹣α， ∵∠ABC=90°，EAC 的中点， ∴BE=AE=EC， ∴∠EAB=∠EBA=90°﹣α， ∴∠CEB=180°﹣2α， ∵E、F 分别为 AC、CD 的中点， ∴EF∥AD， ∴∠CEF=∠D=α， ∴∠BEF=180°﹣2α+90°﹣α=270°﹣3α， 故答案为：270°﹣3α． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角 形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 7.（2018 年江苏省宿迁）一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 ________. 11 【答案】8 【考点】多边形内角与外角 【解析】【解答】解：设这个多边形边数为 n，∴（n-2）×180°=360°×3， ∴n=8. 故答案为：8. 【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为 360°，根据题意列出方程，解之即可. 8 （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的边 数是__________． 【答案】8 【解析】【分析】根据多边形内角和公式进行计算即可. 【解答】设正多边形的边数是 根据题意得： 解得： 故答案为：8. 9．（2018·湖南省衡阳·3 分）如图，▱ABCD 的对角线相交于点 O，且 AD≠CD，过点 O 作 OM ⊥AC，交 AD 于点 M．如果△CDM 的周长为 8，那么▱ABCD 的周长是　16　． 【解答】解：∵ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC， ∵OM⊥AC， ∴AM=MC． ∴△CDM 的周长=AD+CD=8， ∴平行四边形 ABCD 的周长是 2×8=16． 故答案为 16． 10. （2018•山东菏泽•3 分）若正多边形的每一个内角为 135°，则这个正多边形的边数是　 8　． 【考点】L3：多边形内角与外角．12 【分析】先求出每一外角的度数是 45°，然后用多边形的外角和为 360°÷45°进行计算即 可得解． 【解答】解：∵所有内角都是 135°， ∴每一个外角的度数是 180°﹣135°=45°， ∵多边形的外角和为 360°， ∴360°÷45°=8， 即这个多边形是八边形． 故答案为：8． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之 一． 11. （2018•山西•3 分） 图 1 是我国古代建筑中的一种窗格.其中冰裂纹图案象征着坚冰 出现裂纹并开始清溶，形状无 一 定 规 则 ， 代 表一种 自 然 和 谐 美.图 2 是从图 1 冰 裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形 ， 则 ∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 度. 【 答 案 】360 【 考 点 】多边形外角和 【 解 析 】∵ 任意 n 边形的外角和为 360°，图中五条线段组成五边形 ∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360° . 12. （2018•山东淄博•4 分）在如图所示的平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=3，将△ACD 沿对 角线 AC 折叠，点 D 落在△ABC 所在平面内的点 E 处，且 AE 过 BC 的中点 O，则△ADE 的周长 等于　10　．13 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L5：平行四边形的性质． 【分析】要计算周长首先需要证明 E、C、D 共线，DE 可求，问题得解． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AD∥BC，CD=AB=2 由折叠，∠DAC=∠EAC ∵∠DAC=∠ACB ∴∠ACB=∠EAC ∴OA=OC ∵AE 过 BC 的中点 O ∴AO= BC ∴∠BAC=90° ∴∠ACE=90° 由折叠，∠ACD=90° ∴E、C、D 共线，则 DE=4 ∴△ADE 的周长为：3+3+2+2=10 故答案为：10 【点评】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质和三点共线的证明．解题时注意不 能忽略 E、C、D 三点共线． 13. （2018•四川成都•3 分）如图，在菱形 中， ， 分别在边 上，将四边形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，当 时， 的值为________. 【答案】14 【考点】勾股定理，菱形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，解直 角三角形 【解析】【解答】解：∵菱形 沿 翻折，使 的对应线段 经过顶点 ，∴∠ A=∠E=∠C，∠1=∠B，EM=AM，AB=EF=DC=AD ∵EF⊥EF ∴∠EDM=90° ∴tan∠E= = 设 DM=4x，DE=3x，则 EM=AM=5x=EF ∴DC=AD=AM+DM=9x，DF=EF-DE=9x-3x=6x 延长 EF 交 BC 于点 H ∴AD∥BC，EF⊥EF ∴∠EDM=∠DHC=90°∵∠E=∠C ∴△DEM∽△HCD ∴EM：DC=DE:CH，即 5x：9x=3x：CH 解之：CH= ， 在 Rt△DHC 中，DH2=DC2-CH2 DH2=81x2-（ ）2 解之：DH= ∴FH=DH-DF= -6x= ∵∠1+∠HFN=180°∠B+∠C=180°，∠1=∠B ∴∠HFN=∠C，∠DHC=∠FHN=90° ∴△FHN∽△CHD ∴FN:DC=FH:CH，即 FN:9x= ： 解之：FN=2x=BN15 ∴CN=BC-BN=9x-2x=7x ∴ = 故答案为： 【分析】根据折叠的性质，可得出菱形 沿 翻折，使 的对应线段 经过 顶点 ，可得出∠A=∠E=∠C，∠1=∠B，EM=AM，AB=EF=DC=AD，利用锐角三角形函数的定 义，可得出 tan∠E= = ，设 DM=4x，DE=3x，则 EM=AM=5x=EF，就可求出菱形 的边长及 EM 的长，延长 EF 交 BC 于点 H，再证明△DEM∽△HCD，求出 CH 的长，利用勾股定 理求出 DH 的长，就可得出 FH 的长，然后证明△FHN∽△CHD，求出 FN 的长，即可得出 BN 的 长，从而可求出 BN 和 CN 之比。 三.解答题 1．（2018·湖北省孝感·8 分）如图，B，E，C，F 在一条直线上，已知 AB∥DE，AC∥DF， BE=CF，连接 AD．求证：四边形 ABED 是平行四边形． 【分析】由 AB∥DE、AC∥DF 利用平行线的性质可得出∠B=∠DEF、∠ACB=∠F，由 BE=CF 可 得出 BC=EF，进而可证出△ABC≌△DEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出 AB=DE，再结 合 AB∥DE，即可证出四边形 ABED 是平行四边形． 【解答】证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F． ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE， ∴BC=EF． 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE．16 又∵AB∥DE， ∴四边形 ABED 是平行四边形． 【点评】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用 全等三角形的性质找出 AB=DE 是解题的关键． 2. （2018•湖南省永州市•10 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段 AB 为边向外作等边△ABD，点 E 是线段 AB 的中点，连接 CE 并延长交线段 AD 于点 F． （1）求证：四边形 BCFD 为平行四边形； （2）若 AB=6，求平行四边形 BCFD 的面积． 【分析】（1）在 Rt△ABC 中，E 为 AB 的中点，则 CE= AB，BE= AB，得到∠BCE=∠ EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60 度．所 以 FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以 AD∥BC，即 FD∥BC，则四边形 BCFD 是平行四 边形． （2）在 Rt△ABC 中，求出 BC，AC 即可解决问题； 【解答】（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°． 在等边△ABD 中，∠BAD=60°， ∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E 为 AB 的中点， ∴AE=BE． 又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC． 在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为 AB 的中点， ∴CE= AB，BE= AB． ∴CE=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠BCE=∠EBC=60°．17 又∵△AEF≌△BEC， ∴∠AFE=∠BCE=60°． 又∵∠D=60°， ∴∠AFE=∠D=60°． ∴FC∥BD． 又∵∠BAD=∠ABC=60°， ∴AD∥BC，即 FD∥BC． ∴四边形 BCFD 是平行四边形． （2）解：在 Rt△ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6， ∴BC= AB=3，AC= BC=3 ， ∴S 平行四边形 BCFD=3× =9 ． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、 解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常 考题型． 3. （2018 年江苏省宿迁）如图，在□ABCD 中，点 E、F 分别在边 CB、AD 的延长线上，且 BE ＝DF，EF 分别与 AB、CD 交于点 G、H，求证：AG＝CH. 【答案】证明：∵在□ABCD 中,∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C, ∴∠E=∠F, 又∵BE＝DF， ∴AD+DF=CB+BE， 即 AF=CE, 在△CEH 和△AFG 中，18 , ∴△CEH≌△AFG， ∴CH=AG. 【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质 【解析】【分析】根据平行四边形的性质得 AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C,根据平行线的性质得∠ E=∠F,再结合已知条件可得 AF=CE,根据 ASA 得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等 得证. 4 （2018·新疆生产建设兵团·8 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O．E，F 是 AC 上的两点，并且 AE=CF，连接 DE，BF． （1）求证：△DOE≌△BOF； （2）若 BD=EF，连接 FB，DF．判断四边形 EBFD 的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据 SAS 即可证明； （2）首先证明四边形 EBFD 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OE=OF， 在△DEO 和△BOF 中， ∴△DOE≌△BOF． （2）解：结论：四边形 EBFD 是菱形． 理由：∵OD=OB，OE=OF， ∴四边形 EBFD 是平行四边形， ∵BD=EF， ∴四边形 EBFD 是菱形．19 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练 掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2018•湖北恩施•8 分）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD， AD 交 BE 于 O． 求证：AD 与 BE 互相平分． 【分析】连接 BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得 AB=DE，依据 AB∥DE，即可得出四 边形 ABDE 是平行四边形，进而得到 AD 与 BE 互相平分． 【解答】证明：如图，连接 BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF， 又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC 和△DEF 中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形 ABDE 是平行四边形， ∴AD 与 BE 互相平分．20 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对 应边相等得出结论． 6. （ 2018 · 广 东 广 州 · 14 分 ） 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， ∠ B=60° ， ∠ D=30° ， AB=BC． （1）求∠A+∠C 的度数。 （2）连接 BD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由。 （3）若 AB=1，点 E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足 ，求点 E 运动路径 的长度。 【答案】（1）解：在四边形 ABCD 中，∠B=60°，∠D=30°， ∴∠A+∠C=360°-∠B-∠C=360°-60°-30°=270°。 （2）解：如图，将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△BAQ，连接 DQ， ∵BD=BQ，∠DBQ=60°， ∴△BDQ 是等边三角形， ∴BD=DQ，21 ∵∠BAD+∠C=270°， ∴∠BAD+∠BAQ=270°， ∴∠DAQ=360°-270°=90°， ∴△DAQ 是直角三角形 ∴AD2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2 （3）解：如图，将△BCE 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△BAF，连接 EF， ∵BE=BF，∠EBF=60°， ∴△BEF 是等边三角形， ∴EF=BE，∠BFE=60°， ∵AE2=BE2+CE2 ∴AE2=EF2+AF2 ∴∠AFE=90° ∴∠BFA=∠BFE+∠AFE=60°+90°=150°， ∴∠BEC=150°， 则动点 E 在四边形 ABCD 内部运动，满足∠BEC=150°，以 BC 为边向外作等边△OBC， 则点 E 是以 O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为 BC， ∵OB=AB=1， 则 BC= = 【考点】等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，多边形内角与外角，弧长的计算， 旋转的性质 【解析】【分析】（1）根据四边形内角和为 360 度，结合已知条件即可求出答案. （2）将△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△BAQ，连接 DQ（如图），由旋转性质和等边三 角形判定得△BDQ 是等边三角形，由旋转性质根据角的计算可得△DAQ 是直角三角形，根据 勾股定理得 AD2+AQ2=DQ2 ， 即 AD2+CD2=BD2.22 （3）将△BCE 绕点 B 逆时针旋转 60°，得到△BAF，连接 EF(如图)，由等边三角形判定得△ BEF 是等边三角形，结合已知条件和等边三角形性质可得 AE2=EF2+AF2 ， 即∠AFE=90°， 从而得出∠BFA=∠BEC=150°，从而得出点 E 是在以 O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运 动轨迹为 BC，根据弧长公式即可得出答案. 7. (2018 四川省眉山市 15 分 ) 如图①，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N 为线段 AM 上的点，且 MB=MN. （1）求证：BN 平分∠ABE； （2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长； （3）如图②，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：△MFN∽△BDC. 【答案】（1）证明：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, 又∵M 为 BC 中点， ∴AM⊥BC， 在 Rt△ABM 中， ∴∠ABC+∠MAB=90°, ∵AC⊥BD， 在 Rt△CBE 中， ∴∠ACB+∠EBC=90°, ∴∠MAB=∠EBC, 又∵MB=MN，AM⊥BC， ∴△NBM 为等腰直角三角形， ∴∠MBN=∠MNB=45°, ∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°, ∵∠MAB=∠EBC, ∴∠NBE=∠ABN, ∴BN 平分∠ABE. （2）解：∵四边形 DNBC 为平行四边形，23 设 BM=CM=MN=a，则 DN=BC=2a， 在△ABN 和△DBN 中， ∵ ∴△ABN≌△DBN 中（SAS）， ∴AN=DN=2a， 在 Rt△ABM 中， ∵BD=1，AB=AC=BD， ∴AB=1， ∴AM2+BM2=AB2 ， ∴（2a+a）2+a2=1， 解得：a= . ∴BC=2a= . （3）解证明：∵MB=MN，M 为 BC 中点， ∴MN=MB= BC， 又∵F 是 AB 的中点，AB=AC=BD， 在 Rt△ABM 中， ∴MF=AF=BF= AB= BD， ∴∠MAB=∠FMN, 由（1）知∠MAB=∠EBC, ∴∠FMN=∠EBC, 又∵ , ∴△MFN∽△BDC. 【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角 形 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形等边对角得 ∠ABC=∠ACB,由等腰三角形三线合一的性 质得 AM⊥BC，根据等角的余角相等得∠MAB=∠EBC；根据等腰三角形的判定可得△NBM 为等 腰直角三角形，由角的运算和等量代换得∠NBE=∠ABN,即 BN 平分∠ABE. （2）由平行四边形的性质设 BM=CM=MN=a，则 DN=BC=2a，根据全等三角形的判定 SAS 得△ABN ≌△DBN 中，全等三角形的性质得 AN=DN=2a，在 Rt△ABM 中，根据勾股定理代入数值得24 （2a+a）2+a2=1，解方程，由 BC=2a 得出答案。 （3）根据相似三角形的判定两边对应成比例及夹角相等得证.