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频数与频率
一、填空题
1. （2018·湖南省常德·3 分）某校对初一全体学生进行了一次视力普查，得到如下统计
表，则视力在 4.9≤x＜5.5 这个范围的频率为 0.35 ．
视力 x 频数
4.0≤x＜4.3 20
4.3≤x＜4.6 40
4.6≤x＜4.9 70
4.9≤x≤5.2 60
5.2≤x＜5.5 10
【分析】直接利用频数÷总数=频率进而得出答案．
【解答】解：视力在 4.9≤x＜5.5 这个范围的频数为：60+10=70，
则视力在 4.9≤x＜5.5 这个范围的频率为： =0.35．
故答案为：0.35．
【点评】此题主要考查了频率求法，正确把握频率的定义是解题关键．
2. （2018•北京•2 分）从甲地到乙地有 A，B，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间
这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了 500 个班次
的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时
公交车用时的频数
线路
合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地
“用时不超过 45 分钟”的可能性最大．
【答案】C
【解析】样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过 分钟的频数最小，所以其频率
也最小，故选 C．
【考点】用频率估计概率
3. （2018•湖南省永州市•4 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其
30 35t≤ ≤ 35 40t< ≤ 40 45t< ≤ 45 50t< ≤
452
它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个
球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么
可以推算出 n 的值大约是 100 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以
从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得， =0.03，
解得，n=100．
故估计 n 大约是 100．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知
识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二.解答题
1.（2018•湖南省永州市•8 分）永州植物园“清风园”共设 11 个主题展区．为推进校园
文化建设，某校九年级（1）班组织部分学生到“清风园”参观后，开展“我最喜欢的主题
展区”投票调查．要求学生从“和文化”、“孝文化”、“德文化”、“理学文化”、“瑶文化”
五个展区中选择一项，根据调查结果绘制出了两幅不完整的条形统计图和扇形统计图．结合
图中信息，回答下列问题．
（1）参观的学生总人数为 40 人；
（2）在扇形统计图中最喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 15% ；
（3）补全条形统计图；
（4）从最喜欢“德文化”的学生中随机选两人参加知识抢答赛，最喜欢“德文化”的学生
甲被选中的概率为 ．
【分析】（1）依据最喜欢“和文化”的学生数以及百分比，即可得到参观的学生总人数；
（2）依据最喜欢“瑶文化”的学生数，即可得到其占参观总学生数的百分比；
（3）依据“德文化”的学生数为 40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，即可补全条形统计图；3
（4）设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图可得最喜欢“德文化”的
学生甲被选中的概率．
【解答】解：（1）参观的学生总人数为 12÷30%=40（人）；
（2）喜欢“瑶文化”的学生占参观总学生数的百分比为 ×100%=15%；
（3）“德文化”的学生数为 40﹣12﹣8﹣10﹣6=4，条形统计图如下：
（4）设最喜欢“德文化”的 4 个学生分别为甲乙丙丁，画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，甲同学被选中的有 6 种情况，
∴甲同学被选中的概率是： = ．
故答案为：40；15%； ．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
2. （2018·新疆生产建设兵团·10 分）杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，
对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；
C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．4
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，杨老师一共调查了 20 名学生，其中 C 类女生有 2 名，D 类男生有
1 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查中，小平属于 D 类．为了进步，她请杨老师从被调查的 A 类学生中随机选
取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的
概率．
【分析】（1）由 A 类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以 C 类别百分比，再减
去其中男生人数可得女生人数，同理求得 D 类别男生人数；
（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）杨老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%=20 人，
C 类女生人数为 20×25%﹣3=2 人，D 类男生人数为 20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1=1 人，
故答案为：20、2、1；
（2）补全图形如下：
（3）因为 A 类的 3 人中，女生有 2 人，
所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为 ．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
3.（2018·四川宜宾·8 分）某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为
必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为 A、B、C、D、E、
F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统5
计，并制作了两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）该班共有学生人；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中
任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概
率．
【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
【分析】（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率
公式计算可得．
【解答】解：（1）该班学生总数为 10÷20%=50 人；
（2）历史学科的人数为 50﹣（5+10+15+6+6）=8 人，
补全图形如下：6
（3）列表如下：
化学 生物 政治 历史 地理
化学 生物、化学 政治、化学 历史、化学 地理、化学
生物 化学、生物 政治、生物 历史、生物 地理、生物
政治 化学、政治 生物、政治 历史、政治 地理、政治
历史 化学、历史 生物、历史 政治、历史 地理、历史
地理 化学、地理 生物、地理 政治、地理 历史、地理
由表可知，共有 20 种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有 2 种结果，
所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为 = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，
再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．
4. （2018·天津·8 分） 某养鸡场有 2500 只鸡准备对外出售.从中随机抽取了一部分鸡，
根据它们的质量（单位： ），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问
题：
（Ⅰ）图①中 的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ） 根据样本数据，估计这 2500 只鸡中，质量为 的约有多少只？
【答案】（Ⅰ）28. （Ⅱ）平均数是 1.52. 众数为 1.8. 中位数为 1.5. （Ⅲ）280 只.
【解析】分析：（Ⅰ）用整体 1 减去所有已知的百分比即可求出 m 的值；
（Ⅱ）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
（Ⅲ）用总数乘以样本中 2.0kg 的鸡所占的比例即可得解.
解：（Ⅰ）m%=1-22%-10%-8%-32%=28%.故 m=28；
（Ⅱ）观察条形统计图，7
∵ ，
∴这组数据的平均数是 1.52.
∵在这组数据中，1.8 出现了 16 次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为 1.8.
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 1.5，有 ，
∴这组数据的中位数为 1.5.
（Ⅲ）∵在所抽取的样本中，质量为 的数量占 .
∴由样本数据，估计这 2500 只鸡中，质量为 的数量约占 .
有 .
∴这 2500 只鸡中，质量为 的约有 200 只。
点睛：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找
中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中
所有数据之和再除以数据的个数．
5 （2018·四川自贡·8 分）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅
读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面
两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有 1500 名，估计爱好运动的学生有 600 人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱
好阅读的学生的概率是 ．8
【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比，以及运动人数即可求出共调查的人数；
（2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形．
（3）利用样本估计总体即可估计爱好运动的学生人数．
（4）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．
【解答】解：（1）爱好运动的人数为 40，所占百分比为 40%
∴共调查人数为：40÷40%=100
（2）爱好上网的人数所占百分比为 10%
∴爱好上网人数为：100×10%=10，
∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，
补全条形统计图，如图所示，
（3）爱好运动所占的百分比为 40%，
∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600
（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比 40%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为
故答案为：（1）100；（3）600；（4）
【点评】本题考查统计与概率，解题的关键是正确利用两幅统计图的信息，本题属于中等题
型．
6（2018·广东深圳·7 分）某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如
下表格与条形统计图：
频数频率
体育40 0.4
科技259
艺术 0.15
其它20 0.2
请根据上图完成下面题目：
（1）总人数为________人， ________, ________.
（2）请你补全条形统计图.
（3）若全校有 600 人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？
【答案】（1）100；0.25；15
（ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 中 求 得 的 b 值 ， 补 全 条 形 统 计 图 如 下 ：
（3）解：∵喜欢艺术类的频率为 0.15，∴全校喜欢艺术类学生的人数为：600×0.15=90
（人）.
答：全校喜欢艺术类学生的人数为 90 人.
【考点】用样本估计总体，统计表，条形统计图
【解析】【解答】解：(1)由统计表可知体育频数为 40，频率为 0.4，∴总人数为:0.4÷40=100
（人），
∴a=25÷100=0.25，
b=100×0.15=15（人），
故答案为：100，0.25,15.
【分析】(1)由统计表可知体育频数为 40，频率为 0.4，根据总数=频数÷频率可得总人数；
再根据频率=频数÷总数可得 a；由频数=总数×频率可得 b.10
（2）由（1）中求得的 b 值即可补全条形统计图.
（3）由统计表可知喜欢艺术类的频率为 0.15，再用全校人数×喜欢艺术类的频率=全校喜
欢艺术类学生的人数.
7（2018•广西桂林•8 分）某校为了解高一年级住校生在校期间的月生活支出情况，从高一
年级 600 名住校学生中随机抽取部分学生，对他们今年 4 月份的生活支出情况进行调查统计，
并绘制成如下统计图表：
请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中共随机抽取了 名学生，图表中的 m= ，n= ；
（2）请估计该校高一年级 600 名住校学生今年 4 月份生活支出低于 350 元的学生人数；
（3）现有一些爱心人士有意愿资助该校家庭困难的学生，学校在本次调查的基础上，经过
进一步核实，确认高一（2）班有 A，B，C 三名学生家庭困难，其中 A，B 为女生，C 为男生.
李阿姨申请资助他们中的两名，于是学校让李阿姨从 A，B，C 三名学生中依次随机抽取两名
学生进行资助，请用列表法（或树状图法）求恰好抽到 A，B 两名女生的概率.
【答案】（1）40 名； ； ;（2）90 人；（3） .
【解析】分析：（1）根据第一组的频数和频率求出总人数，再利用第三组的人数求出 n 的
值，第四组的频率求出 m 的值；
（2）先求出样本中生活支出低于 350 元的学生的比例，再估计该校高一年级 600 名住校学
生今年 4 月份生活支出低于 350 元的学生人数；
（3）先画树状图得出所有等可能的情况数，找到抽取的两名学生都是女生的情况数，计算
概率即可．
详解：（1）调查的总人数为 4÷10%=40，
n=16÷40=0.40，
m=40×0.30=12;
(2) （人）；
(3) 画树状图如下：11
共有 6 种等可能结果数，其中全为女生的有 2 种情况，
∴恰好抽到 A、B 两名女生的概率 .
点睛：本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，
注意古典概型概率公式、列举法的合理运用．
8．（2018 年四川省内江市）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教
师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制
成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：
组别 成绩分组 频数 频率
1 47.5～59.5 2 0.05
2 59.5～71.5 4 0.10
3 71.5～83.5 a 0.2
4 83.5～95.5 10 0.25
5 95.5～107.5 b c
6 107.5～120 6 0.15
合计 40 1.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的 a= 8 ，b= 10 ，c= 0.25 ；
（2）已知全区八年级共有 200 个班（平均每班 40 人），用这份试卷检测，102018 年四川
省内江市及以上为优秀，预计优秀的人数约为 1200 人 ，72 分及以上为及格，预计及格
的人数约为 6800 人 ，及格的百分比约为 85% ；
（3）补充完整频数分布直方图．12
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据第一组的频数和频率结合频率= ，可求出总数，继而可分别得出 a、
b、c 的值．
（2）根据频率= 的关系可分别求出各空的答案．
（3）根据（1）中 a、b 的值即可补全图形．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为 2÷0.05=40 人，
∴a=40×0.2=8，b=40﹣（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25，
故答案为：8、10、0.25；
（2）∵全区八年级学生总人数为 200×40=8000 人，
∴ 预 计 优 秀 的 人 数 约 为 8000 × 0.15=1200 人 ， 预 计 及 格 的 人 数 约 为 8000 ×
（0.2+0.25+0.25+0.15）=6800 人，及格的百分比约为 ×100%=85%，
故答案为：1200 人、6800 人、85%；
（3）补全频数分布直方图如下：
【点评】本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是13
掌握频率= ．
9 （2018•山东枣庄•8 分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机
调查了我市 50 名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图
表（不完整）：
步数 频数 频率
0≤x＜4000 8 a
4000≤x＜8000 15 0.3
8000≤x＜12000 12 b
12000≤x＜16000 c 0.2
16000≤x＜20000 3 0.06
20000≤x＜24000 d 0.04
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出 a，b，c，d 的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有 37800 名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000
步）的教师有多少名？
（3）若在 50 名被调查的教师中，选取日行走步数超过 16000 步（包含 16000 步的两名教师
与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率．
【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过 12000 步（包含 12000 步）的频率之和乘以总人数可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，14
补全频数分布直方图如下：
（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，
答：估计日行走步数超过 12000 步（包含 12000 步）的教师有 11340 名；
（3）设 16000≤x＜20000 的 3 名教师分别为 A、B、C，
20000≤x＜24000 的 2 名教师分别为 X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在 20000 步（包含 20000 步）以上的概率为 = ．
【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体
让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实
际问题是本题的关键．
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