1
等腰三角形
一、选择题
1．（2018•山东枣庄•3 分）如图是由 8 个全等的矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在
小矩形的顶点上，如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA、PB，那么使△ABP 为等腰直角三
角形的点 P 的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：如图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是 3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点 P 是解题的关键．
2 （2018•山东枣庄•3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠
CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F．若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分
线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出 EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出
答案．
【解答】解：过点 F 作 FG⊥AB 于点 G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，2
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF 平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴ = ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴ = ，
∵FC=FG，
∴ = ，
解得：FC= ，
即 CE 的长为 ．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及
相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
3. （2018•山东淄博•4 分）如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到三个顶点 A，B，C
的距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）3
A． B． C． D．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KS：勾股定理的逆定理．
【分析】将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BEA，根据旋转的性质得 BE=BP=4，AE=PC=5，∠
PBE=60°，则△BPE 为等边三角形，得到 PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP 中，AE=5，延长
BP，作 AF⊥BP 于点 FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE 为直角三角形，且∠
APE=90°，即可得到∠APB 的度数，在直角△APF 中利用三角函数求得 AF 和 PF 的长，则在
直角△ABF 中利用勾股定理求得 AB 的长，进而求得三角形 ABC 的面积．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得△BEA，连 EP，且延长 BP，作 AF⊥BP 于点 F．如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE 为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP 中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE 为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF 中，AF= AP= ，PF= AP= ．
∴在直角△ABF 中，AB2=BF2+AF2=（4+ ）2+（ ）2=25+12 ．
则△ABC 的面积是 •AB2= •（25+12 ）= ．
故选：A．4
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前
后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距
离相等．
4. （2018•江苏扬州•3 分）如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt△ABC 和等
腰 Rt△ADE，CD 与 BE、AE 分别交于点 P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
【分析】（1）由等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD 即可；
（3）2CB2 转化为 AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【解答】解：由已知：AC= AB，AD= AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A 四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°5
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC= AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推
的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
5．（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线，
∠BAC=90°，AD=3，则 CE 的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理
求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵ED 是 BC 的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD 是△ABC 的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×cos∠C=3 ，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段垂直平分线上
的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6.（2018·台湾·分）如图，锐角三角形 ABC 中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点 P，使
得∠BPC 与∠A 互补，其作法分别如下：
（甲）以 A 为圆心，AC 长为半径画弧交 AB 于 P 点，则 P 即为所求；
（乙）作过 B 点且与 AB 垂直的直线 l，作过 C 点且与 AC 垂直的直线，交 l 于 P 点，则 P 即6
为所求
对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（ ）
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】甲：根据作图可得 AC=AP，利用等边对等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定义可知：∠
BPC+∠APC=180°，根据等量代换可作判断；
乙： 根据四边形的内角和可得：∠BPC+∠A=180°．
【解答】解：甲：如图 1，∵AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°，
∴甲错误；
乙： 如图 2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，
∴∠ABP=∠ACP=90°，
∴∠BPC+∠A=180°，
∴乙正确，
故选：D．
【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内角和定理、等腰三角形的性质，正确的理解题
意是解题的关键．7
7．（2018•湖北荆门•3 分）如图，等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P
为 AC 边上的动点，OQ⊥OP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M
所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，利用等腰直角三角形
的性质得 AC=BC= ，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再证明 Rt△AOP≌△
COQ 得到 AP=CQ，接着利用△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形得到 PE= AP= CQ，QF=
BQ，所以 PE+QF= BC=1，然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到 MH= ，即可判定点 M
到 AB 的距离为 ，从而得到点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，最后利用三角形中位线性
质得到点 M 所经过的路线长．
【解答】解：连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，
∵△ACB 为到等腰直角三角形，
∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，
∵O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在 Rt△AOP 和△COQ 中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，8
∴PE= AP= CQ，QF= BQ，
∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= × =1，
∵M 点为 PQ 的中点，
∴MH 为梯形 PEFQ 的中位线，
∴MH= （PE+QF）= ，
即点 M 到 AB 的距离为 ，
而 CO=1，
∴点 M 的运动路线为△ABC 的中位线，
∴当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线长= AB=1．
故选：C．
【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨
迹．也考查了等腰直角三角形的性质．
8.（2018•河北•3 分）已知：如图 4，点 在线段 外，且 .求证：点 在线段
的垂直平分线上.在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作 的平分线 交 于点
B．过点 作 于点 且
C.取 中点 ，连接
D．过点 作 ，垂足为
P AB PA PB= P
AB
APB∠ PC AB C
P PC AB⊥ C AC BC=
AB C PC
P PC AB⊥ C9
9. (2018 四川省绵阳市)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB
的顶点 A 在△ECD 的斜边 DE 上，若 AE= ，AD= ，则两个三角形重叠部分的面积为
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接 BD，作 CH⊥DE，10
∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,
即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△DCB 和△ECA 中，
,
∴△DCB≌△ECA，
∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,
∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，
在 Rt△ABD 中，
∴AB= =2 ，
在 Rt△ABC 中，
∴2AC2=AB2=8，
∴AC=BC=2，
在 Rt△ECD 中，
∴2CD2=DE2= ，
∴CD=CE= +1，
∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA，
∴△CAO∽△CDA，
∴ ： = = =4-2 ，
又∵ = CE = DE·CH，
∴CH= = ，
∴ = AD·CH= × × = ，
∴ =（4-2 ）× =3- .
即两个三角形重叠部分的面积为 3- .
故答案为：D.11
【分析】解：连接 BD，作 CH⊥DE，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=
∠CAB=45°,再由同角的余角相等可得∠DCB=∠ACE；由 SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三角
形的性质知 DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,从而得∠ADB=90°，在 Rt△ABD 中，根据勾股定理
得 AB=2 ，同理可得 AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根
据相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方从而得出两个三角形重叠部分的面积.
二.填空题
1．（2018 四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ABC 的底边 BC=20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，
且 BF=3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线，若点 D 在 EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为
18 ．
【分析】如图作 AH⊥BC 于 H，连接 AD．由 EG 垂直平分线段 AC，推出 DA=DC，推出 DF+DC=AD+DF，
可得当 A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段 AF 的长；
【解答】解：如图作 AH⊥BC 于 H，连接 AD．
∵EG 垂直平分线段 AC，
∴DA=DC，
∴DF+DC=AD+DF，
∴当 A、D、F 共线时，DF+DC 的值最小，最小值就是线段 AF 的长，
∵ •BC•AH=120，
∴AH=12，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，
∵BF=3FC，
∴CF=FH=5，
∴AF= = =13，12
∴DF+DC 的最小值为 13．
∴△CDF 周长的最小值为 13+5=18；
故答案为 18．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，
解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
2. （2018•广西桂林•3 分）如图，在 ΔABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，则图中等
腰三角形的个数是__________
【答案】3
详解：∵AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD 是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC 是等腰三角形．
∴共有 3 个等腰三角形．
故答案为：3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答
本题的关键．
3. （2018·新疆生产建设兵团·5 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为
2，则图中阴影部的面积是 ．13
【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公
式计算即可．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠C=60°，
根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，
∴阴影部分的面积是 = π，
故答案为：
【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求
得圆心角度数是解题的关键．
4.（2018·四川宜宾·3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出
了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为
1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积，则 S= 2 ．（结果保留根
号）
【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．
【分析】根据正多边形的定义可得出△ABO 为等边三角形，根据等边三角形的性质结合 OM
的长度可求出 AB 的长度，再利用三角形的面积公式即可求出 S 的值．
【解答】解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴△ABO 为等边三角形，
∵⊙O 的半径为 1，
∴OM=1，
∴BM=AM= ，
∴AB= ，
∴S=6S△ABO=6× × ×1=2 ．
故答案为：2 ．14
【点评】本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求
出正六边形的边长是解题的关键．
5. （2018·天津·3 分）如图，在边长为 4 的等边 中， ， 分别为 ， 的中点，
于点 ， 为 的中点，连接 ，则 的长为__________．
【答案】
【解析】分析：连接 DE，根据题意可得 ΔDEG 是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解 DG
的长.
详解：连接 DE，
∵D、E 分别是 AB、BC 的中点，
∴DE∥AC，DE= AC
∵ΔABC 是等边三角形，且 BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G 是 EF 的中点，15
∴EG= .
在 RtΔDEG 中，DG=
故答案为： .
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟
练运用性质是解题的关键.
6．（2018·湖北省武汉· 3 分）如图．在△ABC 中，∠ACB=60°，AC=1，D 是边 AB 的中点，
E 是边 BC 上一点．若 DE 平分△ABC 的周长，则 DE 的长是 ．
【分析】延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CN⊥AM 于 N，根据题意得到 ME=EB，根据三
角形中位线定理得到 DE= AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出 AN，
计算即可．
【解答】解：延长 BC 至 M，使 CM=CA，连接 AM，作 CN⊥AM 于 N，
∵DE 平分△ABC 的周长，
∴ME=EB，又 AD=DB，
∴DE= AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC•sin∠ACN= ，
∴AM= ，
∴DE= ，
故答案为： ．16
E
D
C
B
A
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形
中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．
7．（2018•北京•2 分） 右图所示的网格是正方形网格， ________ ．（填“ ”，
“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】如下图所示，
是等腰直角三角形，∴ ，∴ ．
另：此题也可直接测量得到结果．
【考点】等腰直角三角形
8. （2018•江苏盐城•3 分）如图，在直角 中， ， ， ，
、 分别为边 、 上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是直角三
角形，则 ________．
16.【答案】 或
【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：当△BPQ 是直角三角形时，有两种情况：∠BPQ=90 度，∠BQP=90 度。
BAC∠ DAE∠ >
= <
>
G
F
A
B
C
D
E
AFG△ 45FAG BAC∠ = ∠ = ° BAC DAE∠ > ∠17
在直角 中， ， ， ，则 AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )
当∠BPQ=90 度，则△BPQ~△BCA，则 PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，
设 PQ=3x，则 BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，
此时∠AQP 为钝角，则当△APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，
则 10-5x=3x，解得 x= ，
则 AQ=10-5x= ；
（ 2 ）当∠BQP =90 度，则△BQP~△BCA，则 PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，
设 PQ=3x，则 BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，
此时∠AQP 为直角，则当△APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，
则 10-4x=3x，解得 x= ，
则 AQ=10-4x= ；
故答案为： 或
【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确定
当△APQ 是等腰三角形时，再讨论△BPQ 是直角三角形可能的情况；或者先确定△BPQ 是直
角三角形，再讨论△APQ 是等腰三角形的情况；此题先确定△BPQ 是直角三角形容易一些：△
BPQ 是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到△BQP 与△BCA 相似，可得到△
BQP 三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论△APQ 是等腰三角形时，是哪两条相
等，构造方程解出未知数即可，最后求出 AQ。
9 ．（2018• 四川成都•3 分）等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数为
________．
【答案】80°
【考点】三角形的面积，等腰三角形的性质
【 解 析 】【解 答 】 解 ： ∵ 等 腰 三 角 形 的 一 个 底 角 为 ∴ 它 的 顶 角 的 度 数 为 ：
180°-50°×2=80°
故答案为：80°
【分析】根据等腰三角形的两底角相等及三角形的内角和定理，就可求得结果。
三.解答题18
1. （2018•山东淄博•9 分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中
AB=AC，在△ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，
CE，BC 的中点 M，N，G，连接 GM，GN．小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是 MG=NG ；
位置关系是 MG⊥NG ．
（2）类比思考：
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中
AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作等腰直角三
角形 ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证明．
【考点】KY：三角形综合题．
【分析】（1）利用 SAS 判断出△ACD≌△AEB，得出 CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+
∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出 MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
【解答】解：（1）连接 BE，CD 相较于 H，
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵点 M，G 分别是 BD，BC 的中点，
∴MG CD，19
同理：NG BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案为：MG=NG，MG⊥NG；
（2）连接 CD，BE，相较于 H，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接 EB，DC，延长线相交于 H，
同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴ ∠ CEH+ ∠ ECH= ∠ AEH﹣ ∠ AEC+180°﹣ ∠ ACD﹣ ∠ ACE= ∠ ACD﹣45°+180°﹣ ∠
ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本
题的关键．
2．（2018·湖北省孝感·7 分）如图，△ABC 中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如
下操作：
①作∠BAC 的平分线 AM 交 BC 于点 D；
②作边 AB 的垂直平分线 EF，EF 与 AM 相交于点 P；
③连接 PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）线段 PA，PB，PC 之间的数量关系是 PA=PB=PC ；
（2）若∠ABC=70°，求∠BPC 的度数．20
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC；
（2）根据等腰三角形的性质得：∠ABC=∠ACB=70°，由三角形的内角和得：∠BAC=180°﹣2
×70°=40°，由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=20°，最后利用三角形外角的性质可得结
论．
【解答】解：（1）如图，PA=PB=PC，理由是：
∵AB=AC，AM 平分∠BAC，
∴AD 是 BC 的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵EP 是 AB 的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC；
故答案为：PA=PB=PC；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°﹣2×70°=40°，
∵AM 平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=20°，
∵PA=PB=PC，
∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°，
∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°．
【点评】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、
三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键．
3（2018•北京•7 分）如图，在正方形 中， 是边 上的一动点（不与点 ， 重
合），连接 ，点 关于直线 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
ABCD E AB A B
DE A DE F EF BC G DG
E EH DE⊥ DG H BH
GF GC=
BH AE21
【解析】（1）证明：连接 ．
∵ ， 关于 对称．
∴ ． ．
在 和 中．
∴
∴ ．
∵四边形 是正方形
∴ ．
∴
∴
∴
∵ ．
∴
在 和 ．
∴ ≌
∴ ．
（2） ．
证明：在 上取点 使得 ，连接 ．
∵四这形 是正方形．
∴
． ．
∵ ≌
G
HF
E
D C
BA
DF
A F DE
AD FD= AE FE=
ADE△ FDE△
AD FD
AE FE
DE DE
=
=
=
ADE FDE△ ≌△
DAE DFE∠ = ∠
ABCD
90A C∠ = ∠ = ° AD CD=
90DFE A∠ = ∠ = °
180 90DFG DFE∠ = ° − ∠ = °
DFG C∠ = ∠
AD DF= AD CD=
DF CD=
Rt DCG△ Rt DFG△
DC DF
DG DG
=
=
Rt DCG△ Rt DFG△
CG FG=
2BH AE=
AD M AM AE= ME
ABCD
AD AB= 90A ADC∠ = ∠ = °
DAE△ DFE△
A B
CD
E
F H
G
M
G
HF
E
D C
BA22
∴
同理：
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ．
∵
∴
∵
∴
∴
∵ ．
∴
在 和 中
∴ ≌
∴
在 中， ， ．
∴
∴ ．
【考点】正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的
性质与判定
4. （2018·天津·10 分）在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，点 ，
点 .以点 为中心，顺时针旋转矩形 ，得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别
为 ， ， .
ADE FDE∠ = ∠
CDG FDG∠ = ∠
EDG EDF GDF∠ = ∠ + ∠
1 1
2 2ADF CDF= ∠ + ∠
1 452 ADC= ∠ = °
DE EH⊥
90DEH∠ = °
180 45EHD DEH EDH∠ = ° − ∠ − ∠ = °
EHD EDH∠ = ∠
DE EH=
90A∠ = °
90ADE AED∠ + ∠ = °
90DEH∠ = °
90AED BEH∠ + ∠ = °
ADE BEH∠ = ∠
AD AB= AM AE=
DM EB=
DME△ EBH△
DM EB
MDE BEH
DE EH
=
∠ = ∠
= ∠
DME△ EBH△
ME BH=
Rt AME△ 90A∠ = ° AE AM=
2 2 2ME AE AM AE= + =
2BH AE=23
（Ⅰ）如图①，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
（Ⅱ）如图②，当点 落在线段 上时， 与 交于点 .
①求证 ；
②求点 的坐标.
（Ⅲ）记 为矩形 对角线的交点， 为 的面积，求 的取值范围（直接写出结果
即可）.
【答案】（Ⅰ）点 的坐标为 .（Ⅱ）①证明见解析；②点 的坐标为 .（Ⅲ）
.
【解析】分析：（Ⅰ）根据旋转的性质得 AD=AO=5,设 CD=x，在直角三角形 ACD 中运用勾股
定理可 CD 的值，从而可确定 D 点坐标；
（Ⅱ）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；
②由①知 ，再根据矩形的性质得 .从而 ，故 BH=AH，
在 Rt△ACH 中，运用勾股定理可求得 AH 的值，进而求得答案；
（Ⅲ） .
详解：（Ⅰ）∵点 ，点 ，
∴ ， .
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， .
∵矩形 是由矩形 旋转得到的，
∴ .
在 中，有 ，
∴ .
∴ .
∴点 的坐标为 .24
（Ⅱ）①由四边形 是矩形，得 .
又点 在线段 上，得 .
由（Ⅰ）知， ，又 ， ，
∴ .
②由 ，得 .
又在矩形 中， ，
∴ .∴ .∴ .
设 ，则 ， .
在 中，有 ，
∴ .解得 .∴ .
∴点 的坐标为 .
（Ⅲ） .
点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，
灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.
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