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函数与一次函数
一、选择题
1.（2018•山东滨州•3 分）如果规定[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数
y=x﹣[x]的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据定义可将函数进行化简．
【解答】解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1
当 0≤x＜1 时，[x]=0，y=x
当 1≤x＜2 时，[x]=1，y=x﹣1
……
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，
本题属于中等题型．
2． （2018•山东枣庄•3 分）如图，直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象，若点 A（3，m）在直
线 l 上，则 m 的值是（ ）
A．﹣5 B． C． D．7
【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点 A 代入求解可得．
【解答】解：将（﹣2，0）、（0，1）代入，得：
解得： ，2
∴y= x+1，
将点 A（3，m）代入，得： +1=m，
即 m= ，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关
键．
3. （2018·湖南省常德·3 分）若一次函数 y=（k﹣2）x+1 的函数值 y 随 x 的增大而增大，
则（ ）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k﹣2＞0，
解得 k＞2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当 k＞0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大．
4. （2018•湖南省永州市•4 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
【分析】根据分式的意义，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故选：C．
【点评】考查了函数自变量的范围，注意：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5 （2018•株洲市•3 分）已知一系列直线3
分别与直线 相交于一
系列点 ，设 的横坐标为 ，则对于式子 ，下列一定正确的是
( )
A. 大于 1 B. 大于 0 C. 小于－1 D. 小于 0
【答案】B
【解析】分析：利用待定系数法求出 xi，xj 即可解决问题；
详解：由题意 xi=- ，xj=- ，
∴式子 ＞0，
故选：B．
点睛：本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题．
6. （2018 年江苏省泰州市•3 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（9，6），
AB⊥y 轴，垂足为 B，点 P 从原点 O 出发向 x 轴正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发向点 B
运动，当点 Q 到达点 B 时，点 P、Q 同时停止运动，若点 P 与点 Q 的速度之比为 1：2，则下
列说法正确的是（ ）
A．线段 PQ 始终经过点（2，3）B．线段 PQ 始终经过点（3，2）
C．线段 PQ 始终经过点（2，2）D．线段 PQ 不可能始终经过某一定点
【分析】当 OP=t 时，点 P 的坐标为（t，0），点 Q 的坐标为（9﹣2t，6）．设直线 PQ 的解
析式为 y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出 PQ 的解析式即可判断；
【解答】解：当 OP=t 时，点 P 的坐标为（t，0），点 Q 的坐标为（9﹣2t，6）．
设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
将 P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入 y=kx+b，
，解得： ，4
∴直线 PQ 的解析式为 y= x+ ．
∵x=3 时，y=2，
∴直线 PQ 始终经过（3，2），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7. （2018 年江苏省宿迁）函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）。
A. x≠0 B. x＜1 C. x＞1 D. x≠1
【答案】D
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题可得：x-1≠0，
∴x≠1.
故答案为：D.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为 0，计算即可得出答案.
8.（2018 年江苏省宿迁）在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线 l，若直线 l 与两坐标
轴围成的三角形面积为 4，则满足条件的直线 l 的条数是（ ）。
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
【考点】三角形的面积，一次函数图像与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：设直线 l 解析式为：y=kx+b，设 l 与 x 轴交于点 A（- ，0），与 y 轴
交于点 B（0，b）,
∴
∴（2-k）2=8 ，
∴k2-12k+4=0 或（k+2）2=0，
∴k= 或 k=-2.
∴满足条件的直线有 3 条.
故答案为：C.
【分析】设直线 l 解析式为：y=kx+b，设 l 与 x 轴交于点 A（- ，0），与 y 轴交于点 B
（0，b）,依题可得关于 k 和 b 的二元一次方程组，代入消元即可得出 k 的值，从而得出直
线条数.5
1. （2018·四川自贡·4 分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再
利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．演绎 D．公理化
【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思
想的体现．
【解答】解：学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函
数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学
思想．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象，解题的关键是掌握初中数学常用的数学思想．
9. （2018·四川自贡·4 分）已知圆锥的侧面积是 8πcm2，若圆锥底面半径为 R（cm），母
线长为 l（cm），则 R 关于 l 的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式列出关系式，根据反比例函数图象判
断即可．
【解答】解：由题意得， lR=8π，
则 R= ，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、函数图象，掌握圆锥的圆锥的侧面积的计算公式是解题
的关键．
10. （2018·广东深圳·3 分）把函数 y=x 向上平移 3 个单位，下列在该平移后的直线上的
点是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：∵函数 y=x 向上平移 3 个单位，∴y=x+3,
∴当 x=2 时，y=5，
即（2,5）在平移后的直线上，6
故答案为：D.
【分析】根据平移的性质得平移后的函数解析式，再将点的横坐标代入得出 y 值，一一判断
即可得出答案.
11. （2018•广西桂林•3 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，
1），（3，1），（3，0），点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A 作 交 y 轴于
点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动，设点 B 的坐标为（0，b），则 b 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：分别求出当点 A 与点 M、N 重合时直线 AC 的解析式，由 AB⊥AC 可得直线 AB
的解析式，从而求出 b 的值，最终可确定 b 的取值范围.
详解：当点 A 与点 N 重合时，MN⊥AB，
∴MN 是直线 AB 的一部分，
∵N（3，1）
∴此时 b=1；
当点 A 与点 M 重合时，设直线 AC 的解析式为 y=k1x+m,
由于 AC 经过点 A、C 两点，故可得 ，解得：k1= ,
设直线 AB 的解析式为 y=k2x+b,
∵AB⊥AC,
∴ ,
∴k2=
故直线 AB 的解析式为 y= x+b,
把（ ，1）代入 y= x+b 得，b=- .7
∴b 的取值范围是 .
故选 A.
点睛：此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系.
12．（2018 年四川省内江市）已知函数 y= ，则自变量 x 的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．x≥﹣1 且 x≠1 C．x≥﹣1 D．x≠1
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，就可
以求解．
【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥﹣1 且 x≠1．
故选：B．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
13．（2018 年四川省内江市）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块 A 悬于盛有水的水
槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数 y
（单位：N）与铁块被提起的高度 x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】E6：函数的图象．
【分析】根据在铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米
德原理和称重法可知 y 的变化，注意铁块露出水面前读数 y 不变，离开水面后 y 不变，即可
得出答案．
【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知 y 不变；
铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理可知受到8
的浮力变小，根据称重法可知 y 变大；
铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故 y 不
变．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，用到的知识点是函数值随时间的变化，注意分析 y 随 x 的
变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
14．（2018 年四川省南充市）直线 y=2x 向下平移 2 个单位长度得到的直线是（ ）
A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 D．y=2x+2
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线 y=2x 向下平移 2 个单位得到的函数解析式为
y=2x﹣2．
【解答】解：直线 y=2x 向下平移 2 个单位得到的函数解析式为 y=2x﹣2．故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数 y=kx（k≠0）的图象为直线，当
直线平移时 k 不变，当向上平移 m 个单位，则平移后直线的解析式为 y=kx+m．
15. （2018·台湾·分）已知坐标平面上，一次函数 y=3x+a 的图形通过点（0，﹣4），其中
a 为一数，求 a 的值为何？（ ）
A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12
【分析】利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：∵次函数 y=3x+a 的图形通过点（0，﹣4），
∴﹣4=0×3+a，
∴a=﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键，
属于中考基础题．
16．（2018•湖北荆门•3 分）在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≤19
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式求解即可．
【解答】解：根据题意得 x﹣1≥0，1﹣x≠0，
解得 x＞1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于 0，被开方数大于
等于 0 列式计算即可，是基础题，比较简单．
17.（2018•湖北黄冈•3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是
A．x≥-1 且 x≠1 B.x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1
【考点】函数自变量的取值范围。
【分析】自变量 x 的取值范围必须使函数有意义， 中 x+1≥0；分式作为除式，则
x-1≠0.综上即可得解。
【解答】解：依题意，得 x+1≥0
x-1≠0
∴x≥-1 且 x≠1.
故选 A.
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围。要使二次根式有意义，必须使被开方数为非负
数；分式的分母不能为零。
二.填空题
1. (2018 四川省眉山市 1 分 ) 已知点 A（x1 ， y1)、B(x2 ， y2)在直线 y=kx+b 上，且直
线经过第一、二、四象限，当 x1＜x2 时，y1 与 y2 的大小关系为________.
【答案】y1>y2
【考点】一次函数的性质，比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵y=kx+b 图像经过第一、二、四象限，
∴k0，
∴y 随 x 增大而减少，
又∵x1＜x2 ，
∴y1>y2.
故答案为:y1>y2.
【分析】一次函数图像经过第一、二、四象限，根据一次函数性质可知 k0，
所以 y 随 x 增大而减少，从而得出答案.
1
1
−
+
x
x
1+x10
2（2018·浙江衢州·4 分）星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，
再骑车回到家．他离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示，则上午 8：45
小明离家的距离是 1.5 千米．
【考点】一次函数的应用
【分析】首先设当 40≤t≤60 时，距离 y（千米）与时间 t（分钟）的函数关系为 y=kt+b，
然后再把（40，2）（60，0）代入可得关于 k|B 的方程组，解出 k、b 的值，进而可得函数解
析式，再把 t=45 代入即可．
【解答】解：设当 40≤t≤60 时，距离 y（千米）与时间 t（分钟）的函数关系为
y=kt+b．
∵图象经过（40，2）（60，0），∴ ，解得： ，∴y 与 t 的函数关系式为
y=﹣ x+6，当 t=45 时，y=﹣ ×45+6=1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求出函数
解析式．
3. （2018·重庆(A)·4 分） 两地相距的路程为 240 千米，甲、乙两车沿同一线路从
地出发到 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发 40 分钟后，乙车才出发。途中乙
车发生故障，修车耗时 20 分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了 10 千米/小时（仍保
持匀速前行），甲、乙两车同时到达 地。甲、乙两车相距的路程 （千米）与甲车行驶时
间 （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 地还有 千米。
【考点】一次函数的实际应用
【解析】 甲车先行 40 分钟（ ），所行路程为 30 千米，因此甲车的速度为
,A B A
B
B y
x B
x
y
O
千米
小时
2
10
30
40 2
60 3
= h11
。乙车的初始速度为 ，因此乙车故障后
速度为 。
【点评】 本题考查了一次函数的实际应用，难度较高。
4．（2018•湖北恩施•3 分）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x≥﹣ 且 x≠3 ．
【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式求解即可．
【解答】解：根据题意得 2x+1≥0，x﹣3≠0，
解得 x≥﹣ 且 x≠3．
故答案为：x≥﹣ 且 x≠3．
【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于 0，被开方数大于
等于 0 列式计算即可，是基础题，比较简单．
5. （2018·新疆生产建设兵团·5 分）如图，已知抛物线 y1=﹣x2+4x 和直线 y2=2x．我们规
定：当 x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和 y2，若 y1≠y2，取 y1 和 y2 中较小值
为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2．①当 x＞2 时，M=y2；②当 x＜0 时，M 随 x 的增大而增大；③
使得 M 大于
4 的 x 的值不存在；④若 M=2，则 x=1．上述结论正确的是 ②③ （填写所有正确结论的
序号）．
【分析】①观察函数图象，可知：当 x＞2 时，抛物线 y1=﹣x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，进
30 45 /2
3
= km h 445 2 10 60 /3 乙 乙× = + ⇒ =V V km h
60-10 50 /= km h
1 21 2 1 2
2
1 2
1 2
1 3 360 50 ( ) 453 274 145 ( ) 45 240 33 3
45 2 90
+ =+ = + + × ⇒ ⇒ = + = × + + + × =
∴ × =
t tt t t t
t
t tt t
km12
而可得出当 x＞2 时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当 x＜0 时，抛物线 y1=﹣x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，进而可得出
当 x＜0 时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出 M 随 x 的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线 y1=﹣x2+4x 的最大值，由此可得出：使得 M 大于 4 的 x 的值不
存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当 M=2 时的 x 值，
由此可得出：若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．
此题得解．
【解答】解：①当 x＞2 时，抛物线 y1=﹣x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，
∴当 x＞2 时，M=y1，结论①错误；
②当 x＜0 时，抛物线 y1=﹣x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，
∴当 x＜0 时，M=y1，
∴M 随 x 的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴M 的最大值为 4，
∴使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；
④当 M=y1=2 时，有﹣x2+4x=2，
解得：x1=2﹣ （舍去），x2=2+ ；
当 M=y2=2 时，有 2x=2，
解得：x=1．
∴若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及
二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
6.（2018·四川宜宾·3 分）已知点 A 是直线 y=x+1 上一点，其横坐标为﹣ ，若点 B 与点
A 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标为 （ ， ） ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；P5：关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】利用待定系数法求出点 A 坐标，再利用轴对称的性质求出点 B 坐标即可；
【解答】解：由题意 A（﹣ ， ），
∵A、B 关于 y 轴对称，13
∴B（ ， ），
故答案为（ ， ）．
【点评】本题考查一次函数的应用、轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
7.（2018·四川宜宾·3 分）已知：点 P（m，n）在直线y=﹣x+2 上，也在双曲线 y=﹣ 上，
则 m2+n2 的值为 6
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出 n+m
以及 mn 的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．
【解答】解：∵点 P（m，n）在直线 y=﹣x+2 上，
∴n+m=2，
∵点 P（m，n）在双曲线 y=﹣ 上，
∴mn=﹣1，
∴m2+n2=（n+m）2﹣2mn=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正
确得出 m，n 之间关系是解题关键．
8. （2018·天津·3 分）将直线 向上平移 2 个单位长度，平移后直线的解析式为
__________．
【答案】
【解析】分析：直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
详解：将直线 y=x 先向上平移 2 个单位，所得直线的解析式为 y=x+2．
故答案为 y=x+2．
点睛：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解
析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
9. （2018 年江苏省南京市•2 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x
≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得 x≥2，14
故答案为：x≥2．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2018•北京•2 分） 2017 年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名
和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第 22，创新效率排名全球第
________．
【答案】
【解析】从左图可知，创新综合排名全球第 22，对应创新产出排名全球第 11；从右图
可知，创新产出排名全球第 11，对应创新效率排名全球第 3．
【考点】函数图象获取信息
11. （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 如图，一次函数 与 的图象相交
于点 ，则关于 的不等式组 的解集为__________．
创新效率排名
创新产出排名5 10 15 20 25 30
30
25
20
15
10
55
10
15
20
25
30
30252015105 创新综合排名
创新产出排名
11 , 3 ( )
22 , 11 ( )
创新产出排名
创新综合排名5 10 15 20 25 30
30
25
20
15
10
5 5
10
15
20
25
30
30252015105 创新产出排名
创新效率排名15
【答案】
【解析】【分析】先将点 P(n,−4)代入数 y=−x−2,求出 n 的值，再找出直线 落在数
y=−x−2 的下方且都在 x 轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】∵一次函数 y=−x−2 的图象过点 P(n,−4)，
∴−4=−n−2，解得 n=2，
∴P(2,−4)，
又∵y=−x−2 与 x 轴的交点是(−2,0)，
∴关于 x 的不等式组 的解集为−2
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