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二次函数
一、选择题
1．（2018•山东枣庄•3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是
直线 x=1，下列结论正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点有 b2﹣4ac＞0 可对 A 进行判断；由抛物线开口向上得 a＞0，由抛物线与 y 轴
的交点在 x 轴下方得 c＜0，则可对 B 进行判断；根据抛物线的对称轴是 x=1 对 C 选项进行判断；根据抛物线的对称
性得到抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，则可对 D 选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac，所以 A 选项错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，
∴c＜0，
∴ac＜0，所以 B 选项错误；
∵二次函数图象的对称轴是直线 x=1，
∴﹣ =1，∴2a+b=0，所以 C 选项错误；
∵抛物线过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以 D 选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当 a＞0，抛物
线开口向上；对称轴为直线 x=﹣ ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b2﹣4ac＞0，抛物线与 x 轴有两个交
点；当 b2﹣4ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2﹣4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点．
2．（2018•四川成都•3 分）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 图像与 轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在 轴的右侧
C. 当 时， 的值随 值的增大而减小 D. 的最小值为-3
【答案】D 2
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值
【解析】【解答】解：A、当 x=0 时，y=-1，图像与 轴的交点坐标为（0，-1），因此 A 不符合题意；B、 对称轴为直
线 x=-1，对称轴再 y 轴的左侧，因此 B 不符合题意；
C、 当 x＜-1 时 y 的值随 值的增大而减小，当-1＜x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，因此 C 不符合题意；
D、 a=2＞0，当 x=-1 时,y 的最小值=2-4-1=-3，因此 D 符合题意；
故答案为：D
【分析】求出抛物线与 y 轴的交点坐标，可对 A 作出判断；求出抛物线的对称轴，可对 B 作出判断；根据二次函数的
增减性，可对 C 作出判断；求出抛物线的顶点坐标，可对 D 作出判断；即可得出答案。
1. （2018•山东菏泽•3 分）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+a 与反比例函数 y=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图象．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a，b，c 的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出
答案．
【解答】解：∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，
∴a＞0，
∵该抛物线对称轴位于 y 轴的右侧，
∴a、b 异号，即 b＜0．
∵当 x=1 时，y＜0，
∴a+b+c＜0．
∴一次函数 y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数 y= 的图象分布在第二、四象限，
故选：B．3
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
2. （2018•山东滨州•3 分）如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交
于点 A、点 B（﹣1，0），则
①二次函数的最大值为 a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与 x 轴的交点，进而分别分析得出答案．
【解答】解：①∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，且开口向下，
∴x=1 时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为 a+b+c，故①正确；
②当 x=﹣1 时，a﹣b+c=0，故②错误；
③图象与 x 轴有 2 个交点，故 b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵图象的对称轴为 x=1，与 x 轴交于点 A、点 B（﹣1，0），
∴A（3，0），
故当 y＞0 时，﹣1＜x＜3，故④正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出 A 点坐标是解题关键．
1. （2018·湖南省衡阳·3 分）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），顶点坐标（1，n）与 y 轴的交
点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣ ；③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm
总成立；④关于 x 的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）4
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
∴x=﹣1 时，y=0，即 a﹣b+c=0，
而抛物线的对称轴为直线 x=﹣ =1，即 b=﹣2a，
∴3a+c=0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而 c=﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣ ，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x=1 时，二次函数值有最大值 n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即 a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线 y=ax2+bx+c 与直线 y=n﹣1 有两个交点，
∴关于 x 的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
1.（2018·山东青岛·3 分）已知一次函数 y= x+c 的图象如图，则二次函数 y=ax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．5
【分析】根据反比例函数图象一次函数图象经过的象限，即可得出 ＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数 y=ax2+bx+c
的图象对称轴 x=﹣ ＞0，与 y 轴的交点在 y 轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知： ＜0、c＞0，
∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴 x=﹣ ＞0，与 y 轴的交点在 y 轴负正半轴．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据一次函数图象经过的象限，找出 ＜0、c＞0 是解题
的关键．
2.（2018·山东泰安·3 分）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y= 与一次函数 y=ax+b 在同一
坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先利用二次函数图象得出 a，b 的值，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案．
【解答】解：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在 y 轴左侧，故 a，b 同号，则 b＞0，
故反比例函数 y= 图象分布在第一、三象限，一次函数 y=ax+b 经过第一、二、三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出 a，b 的值是解题关键．
3.（2018·山东威海·3 分）如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数 y=4x﹣ x2 刻
画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画，下列结论错误的是（ ）6
A．当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m
B．小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势
C．小球落地点距 O 点水平距离为 7 米
D．斜坡的坡度为 1：2
【分析】求出当 y=7.5 时，x 的值，判定 A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断 B；求出抛物
线与直线的交点，判断 C，根据直线解析式和坡度的定义判断 D．
【解答】解：当 y=7.5 时，7.5=4x﹣ x2，
整理得 x2﹣8x+15=0，
解得，x1=3，x2=5，
∴当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m 或 5 侧面 cm，A 错误，符合题意；
y=4x﹣ x2
=﹣ （x﹣4）2+8，
则抛物线的对称轴为 x=4，
∴当 x＞4 时，y 随 x 的增大而减小，即小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势，B 正确，不符合题意；
，
解得， ， ，
则小球落地点距 O 点水平距离为 7 米，C 正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数 y= x 刻画，
∴斜坡的坡度为 1：2，D 正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关7
键．
4.（2018·山东威海·3 分）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与 y 轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故 A 正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故 B 正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于 2，
∴ ＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故 C 正确；
（D）对称轴 x= ＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故 D 错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题
型．
5.（2018·山东潍坊·3 分）已知二次函数 y=﹣（x﹣h）2（h 为常数），当自变量 x 的值满足 2≤x≤5 时，与其对应
的函数值 y 的最大值为﹣1，则 h 的值为（ ）
A．3 或 6 B．1 或 6 C．1 或 3 D．4 或 6
【分析】分 h＜2、2≤h≤5 和 h＞5 三种情况考虑：当 h＜2 时，根据二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，
解之即可得出结论；当 2≤h≤5 时，由此时函数的最大值为 0 与题意不符，可得出该情况不存在；当 h＞5 时，根据8
二次函数的性质可得出关于 h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【解答】解：当 h＜2 时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当 2≤h≤5 时，y=﹣（x﹣h）2 的最大值为 0，不符合题意；
当 h＞5 时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h 的值为 1 或 6．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分 h＜2、2≤h≤5 和 h＞5 三种情况求出 h 值是解题的关
键．
1．（2018•北京•2 分） 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，
运动员起跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系
（ ）．下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳
后飞行到最高点时，水平距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设对称轴为 ，
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
y m x m 2y ax bx c= + +
0a ≠ x y
4020 O
46.2
54.0
57.9
x/m
y/m
10m 15m 20m 22.5m
x h=
0 54.0 40 46.2 0 40 202h
+< =9
由（ ， ）和（ ， ）可知， ，
∴ ，故选 B．
【考点】抛物线的对称轴．
2. （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 如图是二次函数 （ ， ， 是常数， ）图象的一部分，与
轴的交点 在点 和 之间，对称轴是 .对于下列说法：① ；② ；③ ；④
（ 为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
【答案】A
【解析】【分析】由开口方向和对称轴的位置可判断①；由对称轴为直线 x=1 可判断②；由 x=3 时 可判断③；
根据函数在 时取得最大值，可以判断④，由-1
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